Bilangan asli: Perbedaan antara revisi

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat [[universal]]. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui [[aksioma Peano]] (sebagai ilustrasi, lihat [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html aritmetika Peano] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}).

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.<ref>[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html "...&nbsp;a{{efn|A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 &nbsp;BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place."]<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23 January 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19 January 2013}}</ref>}} Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan [[India]], [[Brahmagupta]].

Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>ThisIni isumum commondi indalam textsbuku aboutajar mengenai [[Realanalisis analysisreal]]. SeeSebagai contoh, for example,lihat {{harvp|Carothers (|2000)}}, phlm. 3; oratau {{harvp|Thomson, |Bruckner and |Bruckner (2000)|2008}}, phlm. 2.</ref>

SeseorangDiberikan dapatsuatu secarahimpunan rekursifbilangan mendefinisikanasli [[Penjumlahan<math> \mathbb{N} |penjumlahan]]</math> dan [[operasifungsi (matematika)|operatorpenerus]] pada<math> S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} </math> yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menyetelmenetaplan {{<math|''> a'' + 0 {{=}} ''a''}} </math> dan {{<math|''> a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} for</math> alluntuk {{semua <math|''> a''}}, {{</math|''b''}}.{{math|''S''}}> harusdan dibaca<math> sebagaib "[[Fungsi penerus|penerus]]"</math>. IniMaka, mengubah<math> bilangan asli {{math|(ℕ\N, +)}} menjadi</math> adalah [[komutatifmonoid]] [[monoidkomutatif]] dengan [[elemen identitas]] 0, yang disebut [[objekmonoid bebas]] dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi [[propertisifat pembatalan]], dan dapat dimasukkan ke dalam suatu [[kelompokGrup (matematika) | kelompokgrup]] (dalam arti kata [[teori kelompok]]). Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah [[bilangan bulat]].

Bila 1 didefinisikan sebagai {{<math|''> S''(0)}} </math>, thenmaka {{<math|''> b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}} </math>. Itu adalahberarti, {{<math|''> b'' + 1}} hanyalah</math> adalah penerus {{dari <math|''> b''}} </math>.

Secara analogi, jikadiberikan penjumlahanbahwa telahpenambahan ditentukanhimpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat {{slink||Penambahan}}), operator [[perkalian]] <math>\times</math> dapat didefinisikan melalui {{<math|''> a'' ×\times 0 {{=}} 0}} </math> dan {{<math|''> a'' ×\times S(''b'') {{=}} (''a'' ×\times ''b'') + ''a''}} </math>. ThisIni turnsmengubah {{math|(ℕ<sup>*</supmath> (\N^\star, ×\times)}} </math> menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan [[bilangan prima]].

=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian ===

PenjumlahanPenambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. PropertiSifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. SemiringsSemiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dimanadengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang setaraekuivalen dengan fakta bahwa {{<math|ℕ}}> \N </math> tidak [[penutupanKetertutupan (matematika)|tertutup]] dalamdi bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu naturalbilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan naturalbilangan lainasli), berarti bahwa {{<math|ℕ}}> adalah\N </math> '' bukan bukanlah'' a [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan sebuah [[semiring]] (juga dikenal sebagai .

Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × adalahdinyatakan seperti di atas, kecuali bahwa mereka diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.

* [[WakilanRepresentasi kanonik dari bilangan bulat positif]]

{{refbegin|2}}

|year=2008 |edition=Second2