Bilangan asli: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Lihat pula: subhimpunan dijelaskan di artikel bilangan Tag: Suntingan visualeditor-wikitext |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. |
||
| (9 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Three Baskets with Apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]]
Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Baris 9 ⟶ 8:
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua [[bilangan rasional]] bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
== Sejarah bilangan asli ==
Baris 18 ⟶ 15:
Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan [[sistem bilangan]] untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang [[Babylonia]] mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang [[Mesir]] kuno memiliki sistem bilangan dengan [[hieroglif]] berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari [[Karnak]], tertanggal sekitar [[1500]] SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.
Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.
Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>
== Penulisan ==
Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan <math> \mathbf{N} </math> atau <math>\mathbb{N}</math>
|url = https://archive.org/details/1979RudinW |title = Principles of Mathematical Analysis |last = Rudin |first=W. |publisher=McGraw-Hill |year=1976 |isbn=978-0-07-054235-8 |location = New York |page=25}}</ref> Karena bilangan asli dapat mengandung {{math|0}} atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:<ref
</ref><ref>{{cite book |last1=Grimaldi |first1=Ralph P. |title=Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction |publisher=Pearson Addison Wesley |isbn=978-0-201-72634-3 |edition=5 |year=2004}}</ref>
* Bilangan asli tanpa adanya nol: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math>
* Bilangan asli dengan nol: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>
Karena bilangan asli membentuk [[subhimpunan]] dari [[bilangan bulat]] (sering kali
:<math display>
\begin{align}
Baris 47 ⟶ 53:
=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian ===
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]].
Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
Baris 59 ⟶ 65:
| title = Mathematics with Understanding
| publisher = Elsevier
| page = 116
| isbn = 978-1-4832-8079-0
| lang = en
| url = https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&pg=PA116
| quote = ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian}}</ref>
* [[Sifat asosiatif|Pengelompokan]]: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, maka {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} dan {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book
| last = Davisson | first = Schuyler Colfax
| title = College Algebra
| date = 1910
| page = 2
| publisher = Macmillian Company
| lang = en
| url = https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&pg=PA2
| quote = Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]}}</ref>
* [[Sifat komutatif|Pertukaran]]: untuk semu bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} dan {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book
| last1 = Brandon | first1 = Bertha (M.)
Baris 79 ⟶ 85:
| last4 = Cooke | first4 = Ralph J.
| date = 1962
| page = 25
| title = Laidlaw mathematics series
| publisher = Laidlaw Bros.
| volume = 8
| lang = en
| url = https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref>
Baris 90 ⟶ 96:
=== Ketakhinggaan ===
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut ''countably infinite''. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[Bijeksi|bijektif]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan kardinal]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan alef#Alef-nol|alef-nol]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld
== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, [[bilangan kompleks]], dan lain sebagainya.)
* [[Himpunan terhitung]]
* [[Masalah identifikasi Benacerraf]]
Baris 106 ⟶ 112:
== Bibliografi ==
{{refbegin|2}}
* {{cite book
|last=Carothers |first=N.L.
Baris 124 ⟶ 121:
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=natural+numbers#v=onepage&q=%22natural%20numbers%22&f=false
|ref = {{harvid|Carothers|2000}}
}}
* {{cite book
|last1=Thomson |first1=Brian S.
|last2=Bruckner |first2=Judith B.
|last3=Bruckner |first3=Andrew M.
|year=2008 |edition=
|title=Elementary Real Analysis
|publisher=ClassicalRealAnalysis.com
Baris 268 ⟶ 134:
|via=Google Books
|url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC
|ref = {{harvid|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}}
}}
{{refend}}
| |||