Bilangan asli: Perbedaan antara revisi

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.<ref>[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html "...&nbsp;a{{efn|A tablet found at Kish ... thought to date from around 700 &nbsp;BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place."]<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23 January 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19 January 2013}}</ref>}} Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan [[India]], [[Brahmagupta]].

Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>Ini umum di dalam buku ajar mengenai [[analisis real]]. Sebagai contoh, lihat {{harvp|Carothers|2000}}, hlm. 3; atau {{harvp|Thomson|Bruckner|Bruckner|20002008}}, hlm. 2.</ref>

Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan <math> \mathbf{N} </math> atau <math>\mathbb{N}</math>. Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai <math> J </math>.<ref>{{harvp|Rudin|1976}},cite hlm. 25.</ref>book

Karena bilangan asli dapat mengandung {{math|0}} atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:<ref>{{harvpcite book |title=ISO 80000-2:2019 |chapter-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf#page=10 |publisher=[[International Organization for Standardization]]| chapter = Standard number sets and intervals | date=19 May 2020}}; |page=4|url=https://www.iso.org/standard/64973.html|ref={{harvpharvid|GrimaldiInternational Organization for Standardization|20042020}}}}</ref>

Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]].

* [[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]] di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b''}} dan {{math|''a'' × ''b''}} adalah bilangan asli.<ref>{{harvp|Fletcher|Howell|2014}},cite hlm. 116. "...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian]</ref>book

* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, [[bilangan kompleks]], dan lain sebagainya.)

== ReferensiBibliografi ==

|year=2008 |edition=Second2