Sistem koordinat bola: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (13 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Main|Bola (geometri)#Persamaan}}
[[Berkas:3D Spherical.svg|thumb|240px|right|Sistem koordinat bola {{math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}} digunakan dalam bidang '''''fisika''''' ([[International Organisation for Standardisation|ISO]] [[ISO/IEC 80000|80000-2:2019]]): Jarak radial {{mvar|r}}, sudut {{mvar|θ}} ([[theta]]), dan sudut azimuthal {{mvar|φ}} ([[phi]]). Simbol {{mvar|ρ}} ([[rho]]) {{mvar|r}}.]]
Baris 5 ⟶ 6:
[[Berkas:Spherical coordinate system.svg|thumb|240px|right|A globe showing the radial distance, polar angle and azimuthal angle of a point {{mvar|P}} with respect to a [[unit sphere]], in the mathematics convention. In this image, {{mvar|r}} equals 4/6, {{mvar|θ}} equals 90°, and {{mvar|φ}} equals 30°.]]
Dalam [[matematika]], '''Sistem Koordinat Bola''' adalah sistem koordinat yang digunakan untuk ruang [[tiga dimensi]] di mana posisi suatu titik ditentukan oleh tiga angka dari [[jarak radial]] titik tersebut dari titik asal tetap dan nilai sudut kutub tersebut yang diukur dari arah puncak yang tetap dan ketika [[sudut azimut]] tersebut dari hasil proyeksi [[ortogonal]] pada bidang referensi yang melewati asal dan ortogonal untuk zenit, diukur dari arah referensi tetap di pesawat itu. Ini dapat dilihat sebagai versi tiga dimensi dari sistem koordinat kutub.
== Persamaan pada Sistem Koordinat Bola ==
[[Berkas:Sphere and Ball.png|ka|jmpl|Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola]]
{{Lihat pula|Bola (geometri)}}
Dalam [[Geometri analitis|geometri analitik]] , bola dengan pusat {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>)}} dan jari jari {{mvar|r}} adalah lokus titik {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} sedemikian rupa sehingga
:<math> (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.</math>
biarkan {{mvar|a, b, c, d, e}} [[bilangan real]] dengan sebuah {{math|''a'' ≠ 0}} dan put
:<math>x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}.</math>
Lalu persamaan
:<math>f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0</math>
tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika <math>\rho < 0</math> dan disebut persamaan '''bola imajiner'''. Jika <math>\rho = 0</math>, satu-satunya solusi <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah intinya <math>P_0 = (x_0,y_0,z_0)</math> dan persamaannya disebut persamaan '''titik bola'''. Akhirnya, dalam kasus ini <math>\rho > 0</math>, <math>f(x,y,z) = 0</math> adalah persamaan bola yang pusatnya adalah <math>P_0</math> dan yang radiusnya adalah <math>\sqrt \rho</math>.<ref name=Albert54 />
Jika {{mvar|a}} dalam persamaan di atas adalah nol maka {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = 0}} adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.<ref name=Woods266>{{harvnb|Woods|1961|loc=p. 266}}.</ref>
Titik-titik di bola dengan jari-jari <math>r > 0</math> dan pusat <math>(x_0,y_0,z_0)</math> dapat diparameterisasi via
:<math>\begin{align} x &= x_0 + r \sin \theta \; \cos\varphi \\
y &= y_0 + r \sin \theta \; \sin\varphi \qquad (0 \leq \theta \leq \pi,\; 0 \leq \varphi < 2\pi ) \\
z &= z_0 + r \cos \theta \,\end{align}</math><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=342}}.</ref>
[[Keliling]] <math> \theta </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah ''z'' positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling <math> \varphi </math> dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada ''xy-'' plane.
Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan [[integral]] dari bentuk [[diferensial]] berikut:
:<math> x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.</math>
Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,{{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} dan {{math|(''dx'', ''dy'', ''dz'')}}, yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.
Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar [[lingkaran]] tentang semua [[diameter]]nya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips]] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi [[spheroid prolate]] ; diputar tentang sumbu minor, sebuah [[spheroid oblate]].<ref>{{harvnb|Albert|2016|loc=p. 60}}.</ref>
== Konveksi utama ==
Baris 11 ⟶ 40:
|+ Konveksi utama
|-
! Koordinat !! arah geografis lokal yang sesuai <br/> {{math|(''Z'', ''X'', ''Y'')}} !! Bagian (<br>Bahasa Inggris<
|-
| {{math|(''r'', ''θ''<sub>inc</sub>, ''φ''<sub>az,right</sub>)}} || {{math|(''U'', ''S'', ''E'')}} || right
Baris 21 ⟶ 50:
== Dalam Koordinat Kartesius ==
Koordinat bola dari suatu titik dalam konvensi ISO anda bisa melihat catatan dibawah ini, yaitu (khususnya untuk fisika):
* {{math|''r''}} adalah jari-jari.
* {{math|''a''}} adalah kemiringan.
* {{math|''φ''}} adalah azimut koordinat Kartesius pada Koordinat Bola.
Anda dapat memporoleh dari hasil [[Sistem koordinat Kartesius|koordinat kartesius]] pada nilai {{math|( ''x'', ''y'', ''z'' )}} dengan rumusnya adalah:
: <math>\begin{align}
r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \\
Baris 32 ⟶ 61:
\theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}.
\end{align}</math>
[[Garis singgung]] iversi dilambangkan dengan nilai {{math|''φ'' {{=}} arctan {{sfrac|''y''|''x''}}}} harus didefinisikan dengan tepat cara mempertimbangkan kuadran yang benar dari nilai {{math|(''x'', ''y'')}}.
Sebaliknya, koordinat kartesius dapat diambil dari koordinat bola yaitu lihat catatan dibawah ini:
* {{mvar|r}} ''jari jari''.
* {{mvar|θ}} ''inklinasi''.
* {{mvar|φ}} ''azimut''.
darimana {{math|''r'' ∈ {{tutup-buka|0, ∞}}}}, {{math|''θ'' ∈ {{tutup-tutup|0, π}}}}, {{math|''φ'' ∈ {{tutup-buka|0, 2π}}}} adalah ...,oleh
: <math>\begin{align}
x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
z &= r \cos\theta.
\end{align}</math>
== Sistem Koordinat Tabung ==
{{stub-matematika}}
{{Artikel|Sistem Koordinat Tabung}}
----
: <math>\begin{align}
r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\
\theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\
\varphi &= \varphi.
\end{align}</math>
----
: <math>\begin{align}
\rho &= r \sin \theta, \\
\varphi &= \varphi, \\
z &= r \cos \theta.
\end{align}</math>
----
== Koordinat bola yang dimodifikasi ==
Kemungkinan cara modifikasi pada [[elipsoid]] adalah dengan menggunakan versi koordinat bola yang dimodifikasi.
Misalkan P adalah ellipsoid yang ditentukan oleh nilai level
: <math>ax^2 + by^2 + cz^2 = d.</math>
Koordinat yang dimodifikasi oleh koordinat bola dari titik P saat konvensi ISO dapat diperoleh dari koordinat kartesius pada nilai {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}} oleh karena itu rumusnya adalah:
: <math>\begin{align}
x &= \frac{1}{\sqrt{a}} r \sin\theta \, \cos\varphi, \\
y &= \frac{1}{\sqrt{b}} r \sin\theta \, \sin\varphi, \\
z &= \frac{1}{\sqrt{c}} r \cos\theta, \\
r &= ax^2 + by^2 + cz^2.
\end{align}</math>
Elemen volume yang sangat kecil diberikan oleh:
: <math>
\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| =
\frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi =
\frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega.
</math>
Faktor [[akar kuadrat]] yang berasal dari properti [[determinan]] yang memungkinkan sebuah konstanta ditarik oleh kolom:
: <math>
\begin{vmatrix}
ka & b & c \\
kd & e & f \\
kg & h & i
\end{vmatrix} =
k \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}.
</math>
== Integrasi dan diferensiasi dalam koordinat bola ==
- Dalam pengembangan -
<!--[[File:Kugelkoord-lokale-Basis-s.svg|thumb|240px|right|Unit vectors in spherical coordinates]]
The following equations (Iyanaga 1977) assume that the colatitude {{mvar|θ}} is the inclination from the {{mvar|z}} (polar) axis (ambiguous since {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, and {{mvar|z}} are mutually normal), as in the physics convention discussed.
The [[line element]] for an infinitesimal displacement from {{math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}} to {{math|(''r'' + d''r'', ''θ'' + d''θ'', ''φ'' + d''φ'')}} is
: <math>
\mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\hat{\mathbf r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\hat{\boldsymbol\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}},</math>
where
:<math>\begin{align}
\hat{\mathbf r} &= \sin \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} +
\sin \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} + \cos \theta \,\hat{\mathbf z}, \\
\hat{\boldsymbol\theta} &= \cos \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} +
\cos \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} - \sin \theta \,\hat{\mathbf z}, \\
\hat{\boldsymbol\varphi} &= -\sin \varphi \,\hat{\mathbf x} +
\cos \varphi \,\hat{\mathbf y}
\end{align}</math>
are the local orthogonal [[unit vectors]] in the directions of increasing {{mvar|r}}, {{mvar|θ}}, and {{mvar|φ}}, respectively,
and {{math|'''x̂'''}}, {{math|'''ŷ'''}}, and {{math|'''ẑ'''}} are the unit vectors in Cartesian coordinates. The linear transformation to this right-handed coordinate triplet is a [[rotation matrix]],
:<math>
R =\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi&\sin\theta\sin\varphi& \cos\theta\\
\cos\theta\cos\varphi&\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta\\
-\sin\varphi&\cos\varphi &0
\end{pmatrix}.
</math>
The general form of the formula to prove the differential line element, is<ref name="q74503">{{cite web |title=Line element (dl) in spherical coordinates derivation/diagram |date=October 21, 2011 |work=[[Stack Exchange]] |url=https://math.stackexchange.com/q/74503 }}</ref>
: <math>
\mathrm{d}\mathbf{r} =
\sum_i \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i} \,\mathrm{d}x_i =
\sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|
\frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|} \, \mathrm{d}x_i =
\sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \,\mathrm{d}x_i \hat{\boldsymbol{x}}_i,
</math>
that is, the change in <math>\mathbf r</math> is decomposed into individual changes corresponding to changes in the individual coordinates.
To apply this to the present case, one needs to calculate how <math>\mathbf r</math> changes with each of the coordinates. In the conventions used,
: <math>
\mathbf{r} = \begin{bmatrix}
r \sin\theta \, \cos\varphi \\
r \sin\theta \, \sin\varphi \\
r \cos\theta
\end{bmatrix}.
</math>
Thus,
: <math>
\frac{\partial\mathbf r}{\partial r} = \begin{bmatrix}
\sin\theta \, \cos\varphi \\
\sin\theta \, \sin\varphi \\
\cos\theta
\end{bmatrix}, \quad
\frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta} = \begin{bmatrix}
r \cos\theta \, \cos\varphi \\
r \cos\theta \, \sin\varphi \\
-r \sin\theta
\end{bmatrix}, \quad
\frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi} = \begin{bmatrix}
-r \sin\theta \, \sin\varphi \\
r \sin\theta \, \cos\varphi \\
0
\end{bmatrix}.
</math>
The desired coefficients are the magnitudes of these vectors:<ref name="q74503" />
: <math>
\left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial r}\right| = 1, \quad
\left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta}\right| = r, \quad
\left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi}\right| = r \sin\theta.
</math>
The [[Surface integral|surface element]] spanning from {{mvar|θ}} to {{math|''θ'' + d''θ''}} and {{mvar|φ}} to {{math|''φ'' + d''φ''}} on a spherical surface at (constant) radius {{mvar|r}} is then
: <math>
\mathrm{d}S_r =
\left\|\frac{\partial r \hat{\mathbf r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial r \hat{\mathbf r}}{\partial \varphi}\right\| \mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi =
r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~.
</math>
Thus the differential [[solid angle]] is
: <math>\mathrm{d}\Omega = \frac{\mathrm{d}S_r}{r^2} = \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi.</math>
The surface element in a surface of polar angle {{mvar|θ}} constant (a cone with vertex the origin) is
: <math>\mathrm{d}S_\theta = r \sin\theta \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}r.</math>
The surface element in a surface of azimuth {{mvar|φ}} constant (a vertical half-plane) is
: <math>\mathrm{d}S_\varphi = r \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta.</math>
The [[volume element]] spanning from {{mvar|r}} to {{math|''r'' + d''r''}}, {{mvar|θ}} to {{math|''θ'' + d''θ''}}, and {{mvar|φ}} to {{math|''φ'' + d''φ''}} is specified by the [[determinant]] of the [[Jacobian matrix]] of [[partial derivative]]s,
:<math>
J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}
=\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\
\sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\theta&-r\sin\theta&0
\end{pmatrix},
</math>
namely
: <math>
\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| =
r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi =
r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega ~.
</math>
Thus, for example, a function {{math|''f''(''r'', ''θ'', ''φ'')}} can be integrated over every point in ℝ<sup>3</sup> by the [[Multiple integral#Spherical coordinates|triple integral]]
: <math>\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^\infty f(r, \theta, \varphi) r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~.</math>
The [[del]] operator in this system leads to the following expressions for [[gradient]], [[divergence]], [[curl (mathematics)|curl]] and [[Laplacian]],
: <math>
\begin{align}
\nabla f = {} &{\partial f \over \partial r}\hat{\mathbf r}
+ {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\hat{\boldsymbol\theta}
+ {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt]
\nabla\cdot \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\varphi \over \partial \varphi}, \\[8pt]
\nabla \times \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)
- {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \hat{\mathbf r} \\[8pt]
& {} + \frac 1 r \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}
- {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \hat{\boldsymbol\theta} \\[8pt]
& {} + \frac 1 r \left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)
- {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt]
\nabla^2 f = {} & {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right)
+ {1 \over r^2 \sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} \\[8pt]
= {} & \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\right)f + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)f + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}f ~.
\end{align}
</math>
Further, the inverse Jacobian in Cartesian coordinates is
:<math>
J^{-1}
=\begin{pmatrix}
\frac{x}{r}&\frac{y}{r}&\frac{z}{r}\\\\
\frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
\end{pmatrix}.
</math>
The [[metric tensor]] in the spherical coordinate system is <math>g=J^T J </math>.-->
== Jarak dalam Koordinat Bulat ==
- Dalam pengembangan -
== Kinematika ==
- Dalam pengembangan -
== Referensi ==
{{Reflist}}
[[Kategori:Sistem koordinat tiga dimensi]]
[[Kategori:Sistem koordinat ortogonal]]
| |||