Trigonometri: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 26 November 2021 12.57 sunting Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.171 suntingan →‎Fungsi trigonometri: akan terjadi perubahan besar-besar. Tag: VisualEditor ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 16 Juni 2024 06.13 sunting balikkan Vëantur07 (bicara \| kontrib) 420 suntingan k Menambah bagian translate dari halaman bahasa Inggris. Belum memasukan reference Tag: VisualEditor
(27 revisi perantara oleh 13 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: ~~{{Under construction}}~~[[Berkas:Circle-trig6.svg\|jmpl\|350px\|ka\|Semua [[fungsi trigonometrik]] dari sudut ''θ'' dapat dibangun secara geometri dalam lingkaran satuan yang berpusat pada ''O''.]] '''Trigonometri''' (dari [[bahasa Yunani]] ''trigonon'' = "tiga sudut" dan ''metron'' = "mengukur")<ref>{{cite web\|url=http://www.etymonline.com/index.php?term=trigonometry\|title=trigonometry\|publisher=Online Etymology Dictionary}}</ref> adalah sebuah cabang [[matematika]] yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di [[Periode Helenistik\|masa Helenistik]] pada abad ke-3 SM dari penggunaan [[geometri]] untuk mempelajari [[astronomi]]. Baris 6: == Sejarah awal == {{main\|Sejarah trigonometri}}{{Bagian tanpa referensi\|date=November 2021}} Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman [[Mesir]] Kuno dan [[Babilonia]] dan peradaban [[Lembah Indus]], lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel [[aljabar]] yang digunakan untuk menghitung [[astronomi]] dan juga trigonometri. [[Lagadha]] adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya [[Vedanga]], [[Jyotisha]], yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India. Matematikawan Yunani [[Hipparchus]] sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Matematikawan Yunani lainnya, [[Ptolemy]] sekitar tahun [[100]] mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Definisi modern dari sinus pertama kali dibuktikan dalam Surya Siddhanta, dan sifat-sifatnya didokumentasikan lebih lanjut pada abad ke-5 (AD) oleh matematikawan dan astronom India Aryabhata. Karya-karya Yunani dan India ini diterjemahkan dan diperluas oleh ahli matematika Islam abad pertengahan. Pada tahun 830 M, matematikawan Persia Habash al-Hasib al-Marwazi membuat tabel kotangen pertama. Pada abad ke-10 M, dalam karya matematikawan Persia Abū al-Wafā' al-Būzjānī, keenam fungsi trigonometri digunakan. Abu al-Wafa memiliki tabel sinus dengan kelipatan 0,25°, akurasi hingga 8 desimal, dan tabel nilai tangen yang akurat. Dia juga membuat inovasi penting dalam trigonometri bola Polimatik Persia Nasir al-Din al-Tusi telah digambarkan sebagai pencipta trigonometri sebagai disiplin matematika tersendiri. Dia adalah orang pertama yang memperlakukan trigonometri sebagai disiplin matematika yang independen dari astronomi, dan dia mengembangkan trigonometri bola menjadi bentuknya yang sekarang. Dia membuat daftar enam kasus berbeda dari segitiga siku-siku dalam trigonometri bola, dan dalam bukunya On the Sector Figure, dia menyatakan hukum sinus untuk segitiga bidang dan bola, menemukan hukum garis singgung untuk segitiga bola, dan memberikan bukti untuk keduanya. hukum-hukum ini. Pengetahuan tentang fungsi dan metode trigonometri mencapai Eropa Barat melalui terjemahan Latin Almagest Yunani karya Ptolemeus serta karya astronom Persia dan Arab seperti Al Battani dan Nasir al-Din al-Tusi. Salah satu karya paling awal tentang trigonometri oleh matematikawan Eropa utara adalah De Triangulis oleh matematikawan Jerman abad ke-15 Regiomontanus, yang didorong untuk menulis, dan diberi salinan Almagest, oleh kardinal sarjana Yunani Bizantium Basilios Bessarion yang tinggal bersamanya. selama beberapa tahun. Pada saat yang sama, terjemahan Almagest lainnya dari bahasa Yunani ke bahasa Latin diselesaikan oleh George dari Trebizond dari Kreta. Trigonometri masih sangat sedikit diketahui di Eropa utara abad ke-16 sehingga Nicolaus Copernicus mencurahkan dua bab De revolutionibus orbium coelestium untuk menjelaskan konsep dasarnya. ~~Matematikawan Yunani lainnya, [[Ptolemy]] sekitar tahun [[100]] mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.~~ Matematikawan [[Silesia]] [[Bartholemaeus Pitiskus]] menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada [[1595]] dan memperkenalkan kata ini ke dalam [[bahasa Inggris]] dan [[bahasa Prancis\|Prancis]]. Baris 24: Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk [[astronomi]] (dan termasuk [[navigasi]], di laut, udara, dan angkasa), [[teori musik]], [[akustik]], [[optik]], analisis pasar finansial, [[elektronik]], [[teori probabilitas]], [[statistika]], [[biologi]], pencitraan medis/''[[medical imaging]]'' (''[[CAT scan]]'' dan ''[[ultrasound]]''), [[farmasi]], [[kimia]], [[teori angka]] (dan termasuk [[kriptologi]]), [[seismologi]], [[meteorologi]], [[oseanografi]], berbagai cabang dalam ilmu [[fisika]], [[survei]] darat dan [[geodesi]], [[arsitektur]], [[fonetika]], [[ekonomi]], [[teknik listrik]], [[teknik mekanik]], [[teknik sipil]], [[grafik komputer]], [[kartografi]], [[kristalografi]]. Pada abad ke-3 Masehi, [[astronom]] pertama kali mencatat panjang sisi-sisi dan sudut-sudut dari [[segitiga siku-siku]] antara masing-masing sisi yang memiliki hubungan: ini dia, jika setidaknya salah satu panjang sisi dan salah satu nilai sudut diketahui, lalu semua sudut dan panjang dapat ditentukan secara [[Algoritma\|algoritme]]. Penghitungan ini didefiniskan menjadi [[fungsi trigonometrik]] dan saat ini menjadi dalam bagian matematika [[matematika murni\|murni]] dan [[matematika terapan\|terapan]]: contohnya untuk menganalisis metode dasar seperti [[transformasi fourier]] atau [[gelombang persamaan]], menggunakan [[fungsi trigonometrik]] untuk memahami fenomena hal yang berhubungan dengan lingkaran melalui banyak penggunaan dibidang yang berbeda seperti fisika, teknik [[teknik mesin\|mesin]] dan [[teknik listrik\|listrik]], musik dan akustik, astronomi, dan biologi. Trigonometri juga memiliki peranan dalam menemukan ''[[ilmu ukur wilayah\|surveying]]''. Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "''quadrance''", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut [[trigonometri rasional]] dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari [[Universitas New South Wales]]. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [http://web.maths.unsw.edu.au/~norman/book.htm]. == Fungsi trigonometri == [[Berkas:TrigonometryTriangle.svg\|jmpl\|Segitiga siku-siku <math>ABC</math> dengan mana <math>AC = b</math> dan <math>BC = a</math> adalah [[Kaki (geometri)\|sisi segitiga]] dan <math>AB = c</math> adalah [[hipotenusa]].\|440x440px]] ~~{{Cleanup\|2=hanya berisikan rumus, tidak ada eksplanasi secara argumentasi. Seharusnya, bagian ini dijelaskan lebih lanjut, bukan menyerupai rumus-rumus saja.}}~~ [[Berkas:TrigonometryTriangle.svg\|jmpl\|Segitiga siku-siku <math>ABC</math> dimana <math>AC = b</math> dan <math>BC = a</math> adalah [[Kaki (geometri)\|sisi segitiga]] dan <math>AB = c</math> adalah [[hipotenusa]].]] === Definisi dasar === Fungsi trigonometri dapat didefinisikan melalui segitiga siku-siku, dimana <math>ABC</math> adalah [[segitiga siku-siku]], <math>a</math> dan <math>b</math> adalah sisi-sisi segitiga beserta <math>c</math> adalah [[hipotenusa]] atau sisi miring segitiga. Misalkan <math>A</math> adalah sudut yang diketahui. Fungsi trigonometri dapat didefinisikan melalui segitiga siku-siku, dengan mana <math>ABC</math> adalah [[segitiga siku-siku]], <math>a</math> dan <math>b</math> adalah sisi-sisi segitiga beserta <math>c</math> adalah [[hipotenusa]] atau sisi miring segitiga. Misalkan <math>A</math> adalah sudut yang diketahui. * Fungsi '''[[Sinus (trigonometri)\|sin]]''' didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan hipotenusa. <blockquote><math>\sin A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{hipotenusa}} = \frac{a}{c} </math>.</blockquote> Baris 38 ⟶ 39: * Fungsi [[Tangen\|'''tan''']] didefinisikan sebagai rasio sisi depan dengan sisi samping. <blockquote><math>\tan A = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} = \frac{a}{b} </math></blockquote> :Fungsi '''tan''' juga didefinisikan sebagai ~~rasoi~~rasio fungsi sinus dengan kosinus <blockquote><math>\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}</math>. </blockquote> Ketiga fungsi di atas merupakan salah satu fungsi trigonometri paling dasar. Kita dapat mencari suatu panjang maupun sudut segitiga sembarang dengan fungsi sinus dan kosinus melalui [[hukum sinus]] dan [[Hukum kosinus\|kosinus]].<ref>{{Cite book\|last=Forseth\|first=Krystle Rose\|last2=Burger\|first2=Christopher\|last3=Gilman\|first3=Michelle Rose\|last4=Rumsey\|first4=Deborah J.\|date=2008-04-07\|url=https://books.google.co.id/books?id=nfwGEJaLlgsC&pg=PA218&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false\|title=Pre-Calculus For Dummies\|publisher=John Wiley & Sons\|isbn=978-0-470-16984-1\|language=en}}</ref><ref name="courses.lumenlearning.com">{{Cite web\|title=Trigonometric Identities {{!}} Boundless Algebra\|url=https://courses.lumenlearning.com/boundless-algebra/chapter/trigonometric-identities/\|website=courses.lumenlearning.com\|access-date=2021-11-26}}</ref> Beberapa fungsi trigonometri lainnya, antara lain, [[kosekan]] ('''csc'''), [[sekan]] ('''sec'''), dan [[kotangen]] ('''cot'''). :<math>\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b}{a} </math>. :<math>\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{c}{b} </math>. :<math>\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{c}{a} </math>. === Grafik fungsi trigonometri === Berikut adalah grafik mengenai fungsi trigonometri. {\| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;" !Fungsi !Periode ![[Ranah/Domain\|Ranah]]/Domain !Kisaran/Range !Grafik \|- !sinus \|<math>2\pi</math> \|<math>(-\infty,\infty)</math> \|<math>[-1,1]</math> \|[[Berkas:Sine_one_period.svg\|400x400px]] \|- !kosinus \|<math>2\pi</math> \|<math>(-\infty,\infty)</math> \|<math>[-1,1]</math> \|[[Berkas:Cosine_one_period.svg\|400x400px]] \|- !tangen \|<math>\pi</math> \|<math>x \neq n\pi</math> \|<math>(-\infty,\infty)</math> \|[[Berkas:Tangent-plot.svg\|400x400px]] \|- !sekan \|<math>2\pi</math> \|<math>x \neq \pi/2 + n\pi</math> \|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math> \|[[Berkas:Secant.svg\|400x400px]] \|- !kosekan \|<math>2\pi</math> \|<math>x \neq \pi/2+n\pi</math> \|<math>(-\infty,-1] \cup [1,\infty)</math> \|[[Berkas:Cosecant.svg\|400x400px]] \|- !kotangen \|<math>\pi</math> \|<math>x \neq n\pi</math> \|<math>(-\infty,\infty)</math> \|[[Berkas:Cotangent.svg\|400x400px]] \|} == Identitas trigonometri == ~~:<math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 </math>~~ === Identitas Pythagoras === ~~:<math>1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A </math>~~ {{Main\|Identitas Pythagoras}} ~~:<math>1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A </math>~~ [[Identitas Pythagoras]] adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari identitas Pythagoras.<ref name="courses.lumenlearning.com"/> Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep [[teorema Pythagoras]] melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras, antara lain: {{Equation box 1 \|indent =: \|title= \|equation = <math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1 </math> \|cellpadding= 6 \|border \|border colour = #0073CF \|background colour=#F5FFFA}} {{collapse top\|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}} Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka :<math>\sin^2 A + \cos^2 A = \left(\frac{b}{c}\right)^2 + \left(\frac{a}{c}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}</math> Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras, <math>a^2 + b^2 = c^2</math>. Jadi, :<math>\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{c^2}{c^2} = 1</math>. <math>\blacksquare</math> {{collapse bottom}} {{Equation box 1 \|indent =: \|title= \|equation = <math>1 + \tan^2 A = \sec^2 A </math> \|cellpadding= 6 \|border \|border colour = #0073CF \|background colour=#F5FFFA}} {{collapse top\|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}} :<math>1 + \tan^2 A = \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} + \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A</math>. <math>\blacksquare</math> {{collapse bottom}} {{Equation box 1 \|indent =: \|title= \|equation = <math>1 + \cot^2 A = \csc^2 A </math> \|cellpadding= 6 \|border \|border colour = #0073CF \|background colour=#F5FFFA}} {{collapse top\|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}} :<math>1 + \cot^2 A = \frac{\sin^2 A}{\sin^2 A} + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A</math>. <math>\blacksquare</math> {{collapse bottom}} == Kesamaan nilai trigonometri == Baris 68 ⟶ 153: :<math>\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} </math> == Rumus ~~perkalian~~Perkalian ~~trigonometri~~Trigonometri == :<math>2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A - B) </math> Baris 122 ⟶ 207: == Persamaan trigonometri == :Jika <math>\sin x = \sin \alpha </math>, maka <math>x = \alpha + k \cdot 360^\circ \text{ atau }x = (180^\circ - \alpha) + k \cdot 360^\circ</math> serta <math>x = \alpha + k \cdot 2\pi k \text{ atau }x = (2\pi - \alpha) + k \cdot 2\pi k</math> :Jika <math>\cos x = \cos \alpha </math>, maka <math>x = \pm \alpha + k \cdot 360^\circ</math> serta <math>x = \pm \alpha + k \cdot 2\pi k</math> :Jika <math>\tan x = \tan \alpha </math>, maka <math>x = \alpha + k \cdot 180^\circ</math> serta <math>x = \alpha + k \picdot k\pi</math> :Persamaan <math>a \cos x + b \sin x = c </math> dapat diubah menjadi <math>k \cos (x - \alpha) = c</math>, maka <math>k = \sqrt{a^2 + b^2}</math>, <math>\tan \alpha = \frac{b}{a}</math> serta <math>a^2 + b^2 \ge c^2</math> ~~== Batas-batas nilai ==~~ ~~: Hasil dari sinus dan kosinus: <math>-1 \le y \le 1</math>~~ ~~: Hasil dari tangen dan kotangen: <math>-\infty \le y \le \infty</math>~~ ~~: Hasil dari sekan dan kosekan: <math>y \le -1 \lor y \ge 1</math>~~ == Lihat pula == Baris 158 ⟶ 238: === Pustaka === * {{cite book\|first=Carl B.\|last=Boyer\|authorlink=Carl Benjamin Boyer\|title=A History of Mathematics\|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye\|edition=Second Edition\|publisher=John Wiley & Sons, Inc.\|year=1991\|isbn=0-471-54397-7}} * {{springer\|title=Trigonometric functions\|id=p/t094210}} * Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . [[Cambridge University Press]]. * {{cite book\|first=Yosep Dwi\|last=Kristanto\|authorlink=Yosep Dwi Kristanto\|title=Matematika Langkah Demi Langkah untuk SMA/MA Kelas X\|publisher=Grasindo\|year=2016\|isbn=9786023756506\|url = https://books.google.co.id/books?id=4MNGDwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=id}} * Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Weiner. Baris 174 ⟶ 254: * [http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20060414195120/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ \|date=2006-04-14 }}, by [[Eli Maor]], Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented. * [http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html Trigonometry] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20071104225720/http://baqaqi.chi.il.us/buecher/mathematics/trigonometry/index.html \|date=2007-11-04 }} by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. * [https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle] at * [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's Short Course in Trigonometry] by David Joyce of [[Clark University]] * [http://www.mecmath.net/trig/trigbook.pdf Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130729114530/http://www.mecmath.net/trig/trigbook.pdf \|date=2013-07-29 }} *[https://grabnaukri.com/trigonometry-formulas/ Detailed knowledge of Trigonometry formulas] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20210511133446/https://grabnaukri.com/trigonometry-formulas/ \|date=2021-05-11 }} {{Bidang matematika}}