Wikipedia

Kombinasi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
EmausBot (bicara | kontrib)
Bot
578.978 suntingan
k Bot: Migrasi 38 pranala interwiki, karena telah disediakan oleh Wikidata pada item d:Q202805
k Mengembalikan suntingan oleh 114.122.22.17 (bicara) ke revisi terakhir oleh Hadithfajri
Tag: Pengembalian
 
(30 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
Istilah '''kombinasi''' dalam [[Kombinatorika|matematika kombinatorik]] berarti [[himpunan]] objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan [[permutasi]] yang mementingkan urutan objek. Perkataan '''kombinasi''' memiliki sebutan lainnya yaitu '''gabungan''', '''padu-padan''' atau '''kepadupadanan'''
 
== Definisi ==
Baris 136:
 
== Koefisien Binomial ==
{{utama|Teorema Binomial}}
Suatu [[binomial]] <math>(a + b)^n</math> yang dijabarkan dalam bentuk jumlahan, akan membangkitkan koefisien-koefisien yang merupakan bilangan kombinasi.
:<math>(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k </math>
Baris 167 ⟶ 168:
1 8 28 56 70 56 28 8 1
 
== Contoh penggunaan kombinasi ==
== Membangkitkan Kombinasi ==
* Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 4 bola biru dan 3 bola hitam. Tiga bola diambil sekaligus dari dalam kotak secara acak. Ada berapa carakah bola yang terambil:
<!--===Fungsi Pembangkit Kombinasi===
** bebas
Jika diberikan fungsi:
: <math>fC^{12}_3 = \frac{12!}{3! (S12-3)!} = \prod_frac{s12!}{3! 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \incdot S9!}^{3 }\cdot (x2 +\cdot s)1 \cdot 9!} = 220</math> cara
** sama
dapat digunakan untuk membangkitkan kombinasi dari himpunan ''S''.
: <math>C^{5}_3 + C^{4}_3 + C^{3}_3 = \frac{5!}{3! (5-3)!} + \frac{4!}{3! (4-3)!} + \frac{3!}{3! (3-3)!} = \frac{5!}{3! 2!} + \frac{4!}{3! 1!} + \frac{3!}{3! 0!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} + \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} + \frac{3!}{1 \cdot 3!} = 10 + 4 + 1 = 15</math> cara
Sebagai contoh, jika <math>S = \{a, b, c\}</math>:
** berbeda
:<math>f(\{a, b, c\}) = \prod_{s \in \{a, b, c\}}^{ } (x + s)</math>
: <math>C^{5}_1 \cdot C^{4}_1 \cdot C^{3}_1 = \frac{5!}{1! (5-1)!} \cdot \frac{4!}{1! (4-1)!} \cdot \frac{3!}{1! (3-1)!} = \frac{5!}{1! 4!} \cdot \frac{4!}{1! 3!} \cdot \frac{3!}{1! 2!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} \cdot \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} \cdot \frac{3 \cdot 2!}{1 \cdot 2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60</math> cara
::<math>= (x + a)(x + b)(x + c)</math>
** dua diantaranya sama
::<math>= x^3 + (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x + abc</math>
: <math>C^{5}_2 \cdot C^{4}_1 + C^{5}_2 \cdot C^{3}_1 + C^{4}_2 \cdot C^{5}_1 + C^{4}_2 \cdot C^{3}_1 + C^{3}_2 \cdot C^{5}_1 + C^{3}_2 \cdot C^{4}_1
Menggunakan fungsi pembangkit ini, setiap koefisien <math>x^k</math> akan menunjukkan kombinasi ''k'' dari himpunan S (berupa perkalian).
= \frac{5!}{2! (5-2)!} \cdot \frac{4!}{1! (4-1)!} + \frac{5!}{2! (5-2)!} \cdot \frac{3!}{1! (3-1)!} + \frac{4!}{2! (4-2)!} \cdot \frac{5!}{1! (5-1)!} + \frac{4!}{2! (4-2)!} \cdot \frac{3!}{1! (3-1)!} + \frac{3!}{2! (3-2)!} \cdot \frac{5!}{1! (5-1)!} + \frac{3!}{2! (3-2)!} \cdot \frac{4!}{1! (4-1)!}
Jika yang diinginkan bukan daftar kombinasinya melainkan banyaknya kombinasi, maka dapat digunakan <math>a = b = c = 1</math>. Sehingga:
= \frac{5!}{2! 3!} \cdot \frac{4!}{1! 3!} + \frac{5!}{2! 3!} \cdot \frac{3!}{1! 2!} + \frac{4!}{2! 2!} \cdot \frac{5!}{1! 4!} + \frac{4!}{2! 2!} \cdot \frac{3!}{1! 2!} + \frac{3!}{2! 1!} \cdot \frac{5!}{1! 4!} + \frac{3!}{2! 1!} \cdot \frac{4!}{1! 3!}
:<math>f(S) = (x + 1)(x + 1)(x + 1)</math>
= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} \cdot \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} + \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2 \cdot 1 \cdot 3!} \cdot \frac{3 \cdot 2!}{1 \cdot 2!} + \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} \cdot \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} + \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2 \cdot 1 \cdot 2!} \cdot \frac{3 \cdot 2!}{1 \cdot 2!} + \frac{3 \cdot 2!}{1 \cdot 2!} \cdot \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} + \frac{3 \cdot 2!}{1 \cdot 2!} \cdot \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!}
::<math>= (x + 1)^3</math>
::<math>= x^340 + 3x^230 + 3x30 + 118 + 15 + 12 = 145</math> cara
Fungsi pembangkit untuk banyaknya kombinasi juga dapat dinyatakan sebagai:
:<math>f(n) = (x + 1)^n</math>
Yang merupakan bentuk '''binomial''', dengan koefisien <math>x^k</math> akan menunjukkan <math>C_k^n</math>.
 
===Menambah Himpunan Kuasa secara rekursif===
Karena himpunan seluruh kombinasi dari ''S'' adalah sama dengan himpunan kuasa dari ''S'', yaitu <math>\mathcal{P}(S)</math>, maka kita dapat membentuk seluruh kombinasi dari {''a, b, c, d''} dengan cara yang ditunjukkan dalam langkah-langkah berikut ini. Untuk membedakan, daftar himpunan bagian yang baru terbentuk dalam setiap langkah dicetak tebal, dan setiap elemen diberi indeks ''n'', ''k'' sesuai kombinasi ke ''k'' dari ''n'' unsur.
* Mulai dari sebuah himpunan kosong { }, maka <math>\mathcal{P}(\{ \})</math> berisi:
C(0, 0) = { }
* Dengan menambah setiap elemen <math>\mathcal(P)(\{ \})</math>, dan menggabungkan dengan himpunan kuasa semula, maka terbentuklah <math>\mathcal(P)(\{ a \})</math>:
C(0, 0) = { }
C(1, 0) = '''{ a }''' <- didapat dari 0 + { a }
* Kemudian tambah setiap elemen <math>\mathcal(P)(\{ a \})</math>, dan menggabungkan dengan himpunan kuasa sebelumnya, terbentuklah <math>\mathcal(P)(\{ a, b\})</math>:
C(0, 0) = { }
C(1, 0) = { a }
C(1, 1) = '''{ b }''' <- dari C(0, 0) + { b }
C(2, 0) = '''{ a, b }''' <- dari C(1, 0) + { b }
* Langkah berikutnya menghasilkan:
C(0, 0) = { }
C(1, 0) = { a }
C(1, 1) = { b }
C(2, 0) = { a, b }
C(1, 2) = '''{ c }''' <- dari 0 + { c }
C(2, 1) = '''{ a, c }''' <- dari 1 + { c }
C(2, 2) = '''{ b, c }''' <- dari 2 + { c }
C(0, 0) = '''{ a, b, c }''' <- dari 3 + { c }
* Kemudian:
0: { }
1: { a }
2: { b }
3: { a, b }
4: { c }
5: { a, c }
6: { b, c }
7: { a, b, c }
8: '''{ d }'''
9: '''{ a, d }'''
10: '''{ b, d }'''
11: '''{ a, b, d }'''
12: '''{ c, d }'''
13: '''{ a, c, d }'''
14: '''{ b, c, d }'''
15: '''{ a, b, c, d }'''-->
 
== Lihat pula ==
* [[Faktorial]]
* [[Kombinasi dan Permutasipermutasi]]
* [[Permutasi]]
* [[Kombinadik]]
* [[Membangkitkan Kombinasi]]
 
== Bacaan lebih lanjut ==
[[Kategori:Kombinatorik]]▼
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-502-5 }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2A Untuk Kelas XI Semester 1 Program IPS|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-563-7 }} {{id icon}}
 
▲[[Kategori:KombinatorikKombinatorika]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Kombinasi"