Grup abelian yang dihasilkan tak hingga: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 22 Juni 2021 00.54 sunting HsfBot (bicara \| kontrib) Bot 1.172.010 suntingan k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Templat dengan kontrol karakter Unicode - Spasi dalam kategori) Tag: WPCleaner ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 13 Juli 2024 21.53 sunting balikkan Kim Nansa (bicara \| kontrib) 3.306 suntingan Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan)
Baris 3: :''x'' = ''n''<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''n''<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + ''n''<sub>''s''</sub>''x''<sub>''s''</sub> dengan [[bilangan bulat]] ''n''<sub>1</sub>, ..., ''n''<sub>''s''</sub>. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa himpunan {{nowrap\|1={''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub>}{{null}}}} adalah '' [[himpunan pembangkit grup \| himpunan pembangkit]] '' dari '' G '' atau itu ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''s''</sub> ''menghasilkan'' ''G''. Setiap grup abelian hingga dihasilkan secara tak terbatas. Grup abelian yang dihasilkan secara terbatas dapat diklasifikasikan sepenuhnya. Baris 9: == Contoh == * [[Bilangan bulat]], <math>\left(\mathbb{Z},+\right)</math>, adalah grup abelian yang dihasilkan tanpa batas. * [[Aritmetika modular \| Bilangan bulat modulo <math>n</math>]], <math>\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+\right)</math>, adalah gruo abelian yang terbatas (maka dihasilkan secara terbatas). * Setiap [[Jumlah langsung grup \| jumlah langsung]] dari banyak grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi grup abelian yang dihasilkan tak terbatas. * Setiap [[Kisi (grup) \| kisi]] membentuk [[grup abelian bebas]] yang dihasilkan tanpa batas. Tidak ada contoh lain (hingga isomorfisme). Secara khusus, grup <math>\left(\mathbb{Q},+\right)</math> dari [[bilangan rasional]] tidak dihasilkan secara terbatas:<ref name="Silverman-Tate-1992">Silverman & Tate (1992), [{{Google books\|plainurl=y\|id=mAJei2-JcE4C\|page=102\|text=not finitely generated}} p. 102]</ref> jika <math>x_1,\ldots,x_n</math> adalah bilangan rasional, pilih [[bilangan asli]] <math> k </math> [[coprime]] untuk semua penyebut; maka <math> 1/k </math> tidak dapat disebu <math>x_1,\ldots,x_n</math>. The group <math>\left(\mathbb{Q}^,\cdot\right)</math> bilangan rasional bukan nol juga tidak dihasilkan secara terbatas. Kelompok bilangan real di bawah penambahan <math> \left(\mathbb{R},+\right)</math> dan bilangan riil bukan nol dalam perkalian <math>\left(\mathbb{R}^,\cdot\right)</math> juga tidak dihasilkan secara terbatas.<ref name="Silverman-Tate-1992" /><ref>de la Harpe (2000), [{{Google books\|plainurl=y\|id=60fTzwfqeQIC\|page=46\|text=The multiplicative group Q}} p. 46]</ref> == Klasifikasi == '''Teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga''' dapat dinyatakan dengan dua cara, menggeneralisasi dua bentuk [[teorema fundamental grup abelian hingga \| teorema fundamental grup abelian '' hingga '']]. Teorema, dalam kedua bentuk, pada gilirannya menggeneralisasi ke [[teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga melalui domain ideal utama]], yang pada gilirannya mengakui generalisasi lebih lanjut. === Dekomposisi primer === Formulasi dekomposisi primer menyatakan bahwa setiap grup abelian '' G '' yang dihasilkan tak terbatas isomorfik ke [[Jumlah langsung grup \| jumlah langsung]] dari [[grup siklik prima]] dan [[grup siklik]] tak terbatas. Grup siklik primer adalah grup yang [[urutan grup \| urutan]] adalah pangkat dari [[bilangan prima \| prima]]. Artinya, setiap grup abelian yang dihasilkan tak terbatas bersifat isomorfik ke grup bentuk :<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{q_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{q_t},</math> di mana '' n '' ≥ 0 adalah '' [[Peringkat grup abelian \| peringkat]] '', dan angka ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> adalah kekuatan dari bilangan prima (tidak harus berbeda). Secara khusus, '' G '' terbatas jika dan hanya jika '' n '' = 0. Nilai '' n '', ''q''<sub>1</sub>, ..., ''q''<sub>''t''</sub> adalah ([[hingga]] menyusun ulang indeks) secara unik ditentukan oleh '' G '', yaitu, hanya ada satu dan satu cara untuk merepresentasikan '' G '' sebagai dekomposisi semacam itu. === Dekomposisi faktor invarian === Kita juga dapat menulis grup abelian '' G '' yang dihasilkan secara terbatas sebagai [[jumlah langsung]] dari formulir :<math>\mathbb{Z}^n \oplus \mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u},</math> di mana '' k '' <sub> 1 </sub> [[pembagian \| membagi]] ''k''<sub>2</sub>, yang membagi ''k''<sub>3</sub> dan seterusnya sampai ''k''<sub>''u''</sub>. Sekali lagi, peringkat '' n '' dan '' [[faktor invarian]] '' ''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>''u''</sub> ditentukan secara unik oleh '' G '' (di sini dengan urutan unik). Pangkat dan urutan faktor invarian menentukan kelompok hingga isomorfisme. === Kesetaraan === Baris 32: === Sejarah === Sejarah dan penghargaan untuk teorema fundamental diperumit oleh fakta bahwa itu terbukti ketika [[teori grup]] tidak mapan, dan dengan demikian bentuk awal, sementara pada dasarnya hasil dan bukti modern, sering dinyatakan untuk kasus tertentu. Singkatnya, bentuk awal dari kasus hingga terbukti di {{harv\|Gauss\|1801}}, kasus yang terbatas telah dibuktikan {{harv\|Kronecker\|1870}}, dan dinyatakan dalam istilah teori-grup oleh {{harv\|Frobenius\|Stickelberger\|1878}}. Kasus [[Grup yang disajikan secara terbatas \| '' disajikan '']] diselesaikan dengan [[bentuk normal Smith]], dan karenanya sering dikreditkan ke {{harv\|Smith\|1861}},<ref name="fuchs"/> meskipun kasus '' dihasilkan '' yang tidak terbatas terkadang malah dikreditkan oleh {{harv\|Poincaré\|1900}}; detail ikuti. Teori grup [[László Fuchs]] menyatakan:<ref name=fuchs>{{cite book Baris 66: Eugen Netto, 1882</ref><ref>Wussing (2007), pp. [https://books.google.com/books?id=Xp3JymnfAq4C&pg=PA234 234–235]</ref> Teorema fundamental untuk [[Grup yang disajikan secara hingga \| '' disajikan secara terbatas '']] grup abelian dibuktikan oleh [[Henry John Stephen Smith]] oleh {{harv\|Smith\|1861}},<ref name="fuchs"/> sebagai matriks integer sesuai dengan presentasi terbatas dari kelompok abelian (ini menggeneralisasi untuk modul yang disajikan secara halus di atas domain ideal utama), dan [[Bentuk normal Smith]] sesuai dengan klasifikasi grup abelian yang disajikan secara terbatas. Teorema fundamental untuk kelompok abelian '' yang dihasilkan secara terbatas '' dibuktikan oleh [[Henri Poincaré]] oleh {{harv\|Poincaré\|1900}}, menggunakan bukti matriks (yang menggeneralisasi domain ideal utama). Ini dilakukan dalam konteks komputasi [[Homologi (matematika) \| homologi]] dari sebuah kompleks, khususnya [[Bilangan Betti]] dan [[Koefisien torsi (topologi) \| koefisien torsi]] dari dimensi kompleks, di mana bilangan Betti sesuai dengan peringkat bagian bebas.<ref name=stillwell175 /> Bukti Kronecker digeneralisasikan menjadi grup abelian yang '' dihasilkan secara halus '' oleh [[Emmy Noether]] pada {{harv\|Noether\|1926}}.<ref name=stillwell175 /> == Korelasi == Dinyatakan secara berbeda, teorema fundamental mengatakan bahwa grup abelian yang dihasilkan secara terbatas adalah jumlah langsung dari [[grup abelian gratis]] dari [[peringkat grup abelian \| peringkat]] dan grup abelian hingga, masing-masing unik hingga isomorfisme. Grup abelian terbatas hanyalah [[subgrup torsi]] dari '' G ''. Pangkat '' G '' didefinisikan sebagai pangkat bagian bebas torsi dari '' G ''; ini hanyalah angka '' n '' pada rumus di atas. Sebuah [[korelasi]] pada teorema fundamental adalah bahwa setiap [[grup abelian bebas torsi]] adalah abelian bebas. Kondisi yang dihasilkan tak terbatas sangat penting di sini: <math>\mathbb{Q}</math> bebas torsi tetapi bukan abelian gratis. Setiap [[subgrup]] dan [[grup faktor]] dari grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi dihasilkan abelian tak terhingga. Grup abelian yang dihasilkan tak terbatas, bersama dengan [[homomorfisme grup]], membentuk [[kategori abelian]] yang merupakan [[Subkategori#Jenis subkategori \| Serre subkategori]] dari [[kategori grup abelian]]. == Grup abelian yang dibuat tidak terbatas == Perhatikan bahwa tidak setiap grup abelian dengan peringkat terbatas dihasilkan secara terbatas; kelompok peringkat 1 <math>\mathbb{Q}</math> adalah salah satu contoh berlawanan, dan grup peringkat-0 diberikan oleh jumlah langsung [[himpunan tak hingga \| terhitung tak terhingga banyak]] salinan dari <math>\mathbb{Z}_{2}</math> adalah satu sama lain. == Lihat pula == Baris 95: * {{cite book \|last1=de la Harpe \|first1=Pierre \|title=Topics in geometric group theory \|series=Chicago lectures in mathematics \|year=2000 \|publisher=University of Chicago Press \|isbn=978-0-226-31721-2 }} {{refend}} {{DEFAULTSORT:Finitely Generated Abelian Group}}