Matematika: Perbedaan antara revisi

Matematika banyak digunakan dalam [[ilmu pengetahuan]] untuk fenomena pemodelan. Hal ini memungkinkan ekstraksi perkiraan kuantitatif dari hukum-hukum percobaan. Misalnya, pergerakan planet dapat diprediksi dengan akurasi tinggi menggunakan [[Hukum gravitasi universal Newton|hukum gravitasi Newton]] yang dipadukan dengan perhitungan matematis. Ketakbergantungan kebenaran matematis dari percobaan manapun menyiratkan bahwa keakuratan perkiraan semacam itu hanya bergantung pada kecukupan model untuk menggambarkan kenyataan. Jadi, ketika munculnya beberapa perkiraan yang tidak tepat, itu berarti bahwa model harus diperbaiki atau diubah, bukan berarti matematika salah. Misalnya, presesi apsis atau perihelium Merkurius tidak dapat dijelaskan dengan hukum gravitasi Newton, tetapi dijelaskan secara akurat oleh [[relativitas umum]] [[Einstein]]. Pengesahan percobaan teori Einstein ini menunjukkan bahwa hukum gravitasi Newton hanyalah hampiran (yang masih sangat akurat dalam kehidupan sehari-hari).

Beberapa bidang matematika, seperti [[statistika]] dan [[teori permainan]], dikembangkan dalam korelasi langsung dengan terapannya, dan sering dikelompokkan dengan nama [[matematika terapan]]. Bidang matematika lainnya dikembangkan secara independen dari aplikasi apapunapa pun (dan oleh karena itu disebut [[matematika murni]]), tetapi aplikasi praktis sering ditemukan kemudian.{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name=wigner1960 /> Contoh yang tepat adalah masalah [[faktorisasi prima]], yang merujuk kepada [[Euklides]], tetapi yang tidak memiliki aplikasi praktis sebelum digunakan dalam sistem kripto [[RSA|sistemkripto RSA]] (untuk keamanan [[jaringan komputer]]).

Selain mengetahui cara [[pencacahan|mencacah]] objek-objek ''fisika'', manusia [[prasejarah]] juga mengenali cara mencacah besaran ''abstrak'', seperti [[waktu]] — [[hari]], [[musim]], [[tahun]].<ref>Sebagai contoh, periksalah [[Raymond L. Wilder]], ''Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study'', ''passim''</ref><ref>{{Cite book|last=Zaslavsky, Claudia.|url=http://worldcat.org/oclc/843204342|title=Africa Counts : Number and Pattern in African Culture.|date=1999|publisher=Chicago Review Press|isbn=978-1-61374-115-3|oclc=843204342|access-date=29 Mei 2020|archive-date=31 Maret 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210331144030/https://www.worldcat.org/title/africa-counts-number-and-pattern-in-african-culture/oclc/843204342|url-status=live}}</ref> [[Aritmetika|Aritmetika dasar]] ([[penjumlahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]], dan [[pembagian]]) mengikuti secara alami.

Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], [[lukisan|pelukisan]], dan pola-pola [[menenun|penenunan]] dan pencatatan waktu dan tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke mukadepan ketika orang [[Babilonia]] dan [[Mesir Kuno]] mulai menggunakan [[aritmetika]], [[aljabar]], dan [[geometri]] untuk penghitungan [[pajak]] dan urusan keuangan lainnya, bangunan dan konstruksi, dan [[astronomi]].<ref>Kline 1990, Chapter 1.</ref>{{sfn|Kline|1990|loc=Chapter 1}} Pengkajian matematika yang sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300 SM.

[[Berkas:Persian Khwarazmi.jpg|jmpl|lurus|Matematikawan Persia [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]] ({{nowrap|780 M – 850M–850 M}}), pencetus [[aljabar]].]]

Selama [[periode modern awal]], matematika mulai berkembang dengan pesat di [[Eropa Barat]]. Pengembangan [[kalkulus]] oleh [[Isaac Newton]] dan [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]] pada abad ke-17 merevolusi matematika. [[Leonhard Euler]] adalah matematikawan paling terkenal dpada abad ke-18, menyumbangkan banyak teorema dan penemuan. Mungkin matematikawan terkemuka abad ke-19 adalah matematikawan Jerman [[Carl Friedrich Gauss|Carl Gauss]], yang membuat banyak kontribusi untuk bidang-bidang seperti [[aljabar]], [[analisis matematika|analisis]], [[geometri diferensial]], [[matriks (matematika)|teori matriks]], [[teori bilangan]], dan [[statistik]]. Pada awal abad ke-20, [[Kurt Gödel]] mengubah matematika dengan menerbitkan [[Teorema ketidaklengkapan Gödel|teorema ketidaklengkapan]], yang menunjukkan sebagian bahwa setiap sistem aksioma yang konsisten—jikakonsisten — jika cukup kuat untuk menggambarkan aritmetika—akanaritmetika — akan berisi proposisi benar yang tidak dapat dibuktikan.

Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya masalah-masalah itu dijumpai di dalam [[perdagangan]], [[pengukuran tanah]], dan kemudian [[astronomi]]; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang [[fisikawan]] [[Richard Feynman]] menemukan [[:en:Path integral formulation|rumus integral lintasan]] [[mekanika kuantum]] menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan [[teori dawai]] masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya membersatukanmempersatukan empat [[Interaksi dasar|gaya dasar alami]], terus saja mengilhami matematika baru.<ref>{{cite book|title = The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus|author = Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L.|publisher = [[Oxford University Press]]|year = 2002}}</ref>

Penggunaan bahasa yang ketat secara mendasar merupakan sifat [[pembuktian matematika]]. Para matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "[[teorema]]" yang salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.<ref>Lihatlah ''bukti palsu'' untuk contoh sederhana dari hal-hal yang bisa salah di dalam bukti formal. [[:en:Four color theorem|sejarah Teorema Empat Warna]] berisi contoh-contoh bukti-bukti salah yang tanpa sengaja diterima oleh para matematikawan lainnya pada saat itu.</ref> Tingkat kekakuan diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu: [[bangsa Yunani]] menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu metode yang digunakan [[Isaac Newton]] kuranglah kaku. Masalah yang melekat pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang [[:en:Computer-assisted proof|bukti berbantuan-komputer]]. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa, bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.<ref>Ivars Peterson, ''Wisatawan Matematika'', Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Sedikit keluhan akan ketidakmampuan program komputer memeriksa secara wajar," (merujuk kepada bukti Haken-Apple terhadap Teorema Empat Warna).</ref> [[Aksioma]] menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan.

[[Carl Friedrich Gauss]] mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".<ref>Waltershausen</ref> Di dalam bahasa aslinya, Latin ''Regina Scientiarum'', juga di dalam [[bahasa Jerman]] ''Königin der Wissenschaften'', kata yang bersesuaian dengan ''ilmu pengetahuan'' berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipunini pun arti asli di dalam bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit makna menjadi ilmu pengetahuan ''alam'' adalah pada masa terkemudianberikutnya. Bila seseorang memandang [[ilmu pengetahuan]] hanya terbatas pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya [[matematika murni]], bukanlah ilmu pengetahuan.

[[Albert Einstein]] menyatakan bahwa ''"sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.''"<ref name=certain>Einstein, p. 28. Kutipan ini adalah jawaban Einstein terhadap pertanyaan: "betapa mungkin bahwa matematika, di samping yang lain tentunya, menjadi ciptaan pemikiran manusia yang terbebas dari pengalaman, begitu luar biasa bersesuaian dengan objek-objek kenyataan?" Dia juga memperhatikanmemerhatikan ''Keefektifan tak ternalar Matematika di dalam Ilmu Pengetahuan Alam''.</ref>

Pengkajian ruang bermula dengan [[geometri]] – khususnya–khususnya, [[geometri]] [[Euklides]]. [[Trigonometri]] memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi [[Teorema Pythagoras]] yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi, [[geometri non-Euklides]] (yang berperan penting di dalam [[relativitas umum]]) dan [[topologi]]. Besaran dan ruang berperan penting di dalam [[geometri analitik]], [[geometri diferensial]], dan [[geometri aljabar]]. Di dalam geometri diferensial terdapat konsep-konsep [[:en:Fiber bundle|buntelan serat]] dan kalkulus [[:en:manifold|lipatan]].

Daftar masyhur 23 soal terbuka, disebut "[[Masalah Hilbert]]", disusun pada tahun 1900 oleh matematikawan Jerman [[David Hilbert]].<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-05-06|title=Hilbert's Problems: 23 and Math|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|access-date=23 Januari 2022|website=Simons Foundation|language=en-US}}</ref> Daftar ini mendapat sambutan hebat di kalangan matematikawan<ref>{{Cite web |last=Newton |first=Tommy |date=2007 |title=A New Approach to Hilbert's Third Problem |url=https://www.wku.edu/scholar/documents/spring2007/hilberts_third_problem.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20130122213603/https://www.wku.edu/scholar/documents/spring2007/hilberts_third_problem.pdf |archive-date=22 Januari 2013 |access-date=21 Februari 2022 |website=www.wku.edu}}</ref>, dan setidaknya 13 soal (tergantung cara menafsirkan) kini telah diselesaikan.<ref name=":0">{{Cite web|date=6 Mei 2020|title=Hilbert's Problems: 23 and Math|url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/|access-date=2022-01-23|website=Simons Foundation|language=en-US}}</ref> Daftar baru dari tujuh soal penting, berjudul "[[Masalah Milenium]]", diterbitkan pada tahun 2000. Hanya satu dari mereka, [[hipotesis Riemann]], menggandakan salah satu masalah Hilbert. Solusi untuk semua soal ini dijanjikan hadiah 1 juta dolar.<ref>{{Cite web|title=The Millennium Prize Problems {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|access-date=23 Januari 2022|website=www.claymath.org|archive-date=2015-07-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20150703184941/http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems|dead-url=yes}}</ref> Kini, hanya satu dari masalah ini yang telah diselesaikan, yaitu [[konjektur Poincaré]].<ref>{{Cite web|title=Millennium Problems {{!}} Clay Mathematics Institute|url=http://www.claymath.org/millennium-problems|access-date=23 Januari 2022|website=www.claymath.org}}</ref>

* [[:en:Carl B. Boyer|Boyer, Carl B.]], ''A History of Mathematics'', Wiley; 2 edition (March 6, 1991). ISBN 0-471-54397-7. — A—A concise history of mathematics from the Concept of Number to contemporary Mathematics.

* [[:en:Philip J. Davis|Davis, Philip J.]] and [[:en:Reuben Hersh|Hersh, Reuben]], ''[[:en:The Mathematical Experience|The Mathematical Experience]]''. Mariner Books; Reprint edition (January 14, 1999). ISBN 0-395-92968-7. — A—A gentle introduction to the world of mathematics.

* Gullberg, Jan, ''Mathematics — FromMathematics—From the Birth of Numbers''. W. W. Norton & Company; 1st edition (October 1997). ISBN 0-393-04002-X. — An—An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.

* Hazewinkel, Michiel (ed.), ''[[:en:Encyclopaedia of Mathematics|Encyclopaedia of Mathematics]]''. Kluwer Academic Publishers 2000. — A—A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM, and online [http://eom.springer.de/default.htm].