Subgrup normal: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20210609)) #IABot (v2.0.8) (GreenC bot
Kim Nansa (bicara | kontrib)
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan)
Baris 13:
Untuk setiap subgrup {{math | '' N ''}} dari {{math | '' G ''}}, kondisi berikut adalah [[Ekuivalen logis | ekuivalen]] ke {{math | '' N ''} } menjadi subgrup normal dari {{math | '' G ''}}. Oleh karena itu, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai definisi:
 
* Gambar konjugasi {{math | '' N ''}} oleh salah satu elemen {{math | '' G ''}} adalah [[himpunan bagian]] dari {{math | '' N ''}}.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}'
* Gambar konjugasi {{math | '' N ''}} oleh elemen apa pun dari {{math | '' G ''}} sama dengan {{math | '' N ''}}.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
* Untuk {{math | '' g ''}} di {{math | '' G ''}}, koset kiri dan kanan {{math | '' gN ''}} dan {{math | '' Ng ''}} adalah sama.{{sfn|Hungerford|2003|p=41}}
Baris 43:
* Normalitas dipertahankan pada pengambilan [[produk langsung dari grup | produk langsung]],{{sfn|Hungerford|2003|p=46}} yaitu jika <math>N_1 \triangleleft G_1</math> dan <math>N_2 \triangleleft G_2</math>, maka <math>N_1\times N_2\; \triangleleft \;G_1\times G_2</math>.
* Setiap subgrup [[indeks (teori grup) | indeks]] 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, {{math | '' H ''}}, dari indeks hingga, {{math | '' n ''}}, pada {{math | '' G ''}} berisi subgrup, {{math|''K''}}, normal di {{math | '' G ''}} dan pembagi indeks {{math | '' n ''!}} disebut [[normal core]]. Khususnya, jika {{math | '' p ''}} adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan {{math | '' G ''}}, maka setiap subgrup indeks {{math | '' p ''} } normal.{{sfn|Robinson|1996|p=36}}
* Fakta bahwa subgrup normal dari {{math | '' G ''}} adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada '' G '' menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah [[grup sederhana | sederhana]] [[jika dan hanya jika]] isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya,{{sfn|Dõmõsi|Nehaniv|2004|p=7}} sebuah grup berhingga adalah [[grup sempurna | sempurna]] jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime [[Indeks dari subgrup | indeks]], dan sebuah grup adalah [[grup tidak sempurna | tidak sempurna]] jika dan hanya jika [[subgrup turunan]] tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.
 
=== Kisi subgrup normal ===
Baris 58:
Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut [[grup hasil bagi]] dan dilambangkan dengan {{math|''G''/''N''}}. Ada [[homomorfisme grup | homomorfisme]] alami, {{math|''f'': ''G'' → ''G/N''}}, given by {{math|''f''(''a'') {{=}} ''aN''}}. Homomorfisme ini memetakan <math> N </math> ke dalam elemen identitas {{math | ''G/N''}}, yang merupakan kohimpunan {{math|''eN'' {{=}} ''N''}},{{sfn|Hungerford|2003|pp=42–43}} that is, <math>\ker(f)=N</math>.
 
Secara umum, homomorfisme grup, {{math|''f'': ''G'' → ''H''}} mengirim subgrup dari {{math | '' G ''}} ke subgrup dari {{math | '' H ''}}. Juga, preimage dari setiap subgrup dari {{math | '' H ''}} adalah subgrup dari {{math | '' G ''}}. Kami menyebut preimage dari grup trivial {{math | {'' e ''} }} di {{math | '' H ''}} '''[[kernel (algebra) | kernel]]''' dari homomorfisme dan dilambangkan dengan {{math|ker(''f'')}}. Ternyata, kernel selalu normal dan citra {{math|''G''}}, {{math|''f''(''G'')}}, selalu [[isomorfik]] menjadi {{math|''G''/ker(''f'')}} (the [[teorema isomorfisme pertama]]).{{sfn|Hungerford|2003|p=44}} Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari {{mvar | G}}, {{math|''G''/''N''}}, dan himpunan semua gambar homomorfik dari {{math | '' G ''}} ([[hingga]] [[isomorfisme]]).{{sfn|Robinson|1996|p=20}} Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, {{math|''f'': ''G'' → ''G/N''}}, adalah {{math | '' N ''}} itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan [[domain fungsi | domain]] {{math|''G''}}.{{sfn|Hall|1999|p=27}}
 
== Lihat pula ==
Baris 109:
*{{cite book|last=Hungerford|first=Thomas|title=Algebra|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|year=2003|ref=harv}}
*{{cite book|last=Robinson|first=Derek J. S.|title=A Course in the Theory of Groups|volume=80|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1996|isbn=978-1-4612-6443-9|zbl=0836.20001|edition=2nd|ref=harv}}
*{{cite book|last=Thurston|first=William|authorlink=William Thurston|title=Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1|url=https://archive.org/details/threedimensional0001thur|editor-last=Levy|editor-first=Silvio|series=Princeton Mathematical Series|publisher=Princeton University Press|year=1997|isbn=978-0-691-08304-9|ref=harv}}
*{{cite book | last=Bradley | first=C. J. | title=The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups | publisher=Clarendon Press | publication-place=Oxford New York | year=2010 | isbn=978-0-19-958258-7 | oclc=859155300 | page=}}
{{refend}}