Aljabar: Perbedaan antara revisi

'''Aljabar''' (dari [[Bahasabahasa Arab|bahasa arab]] الجبر ''"al-jabr"'' yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak"<ref name="oed">{{Cite web|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra|title=algebra|website=Oxford English Dictionary|publisher=Oxford University Press|access-date=2017-02-21|archive-date=2013-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20131231173558/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra|dead-url=yes}}</ref>) adalah salah satu bagian dari bidang [[matematika]] yang luas, bersama-sama dengan [[teori bilangan]], [[geometri]] dan [[Analisis matematis|analisis]]. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini;<ref>I. N. Herstein, ''Topics in Algebra'', "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964</ref> aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika.<ref>I. N. Herstein, ''Topics in Algebra'', "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964</ref> Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti [[Grup (matematika)|grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Medan (matematika)|medan]]. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut [[aljabar elementer]], sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut [[aljabar abstrak]] atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.

Kata ''aljabar'' berasal dari [[Bahasa Arab|bahasa arab]] {{Lang|ar|الجبر}} (''al-jabr'' secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku ''IlmAl Kitaab al- muhtasar fii hisaab al jabr wa'l-muḳābala muqabaala''<ref>Ekkehard Kopp "[https://www.openbookpublishers.com/product/1279 Making up Numbers : A History of Invention in Mathematics]" Open Book Publishers</ref> karya matematikawan dan astronom [[Persia]], [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]]. Kosakata ini memasuki bahasa Inggris selama abad kelima belas, baik dari spanyolSpanyol, italiaItalia, atau Pertengahan Latin. Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi [[tulang]]. Makna matematisnya pertama kali tercatat pada abad keenam belas16.<ref>{{cite encyclopedia|title=Algebra|editor=T. F. Hoad|encyclopedia=The Concise Oxford Dictionary of English Etymology|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|year=2003|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780192830982.001.0001/acref-9780192830982-e-349|subscription=yes}}</ref>

[[Berkas:Image-Al-Kitāb_alKitāb al-muḫtaṣar_fī_ḥisāb_almuḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr_wağabr wa-l-muqābala.jpg|jmpl|Halaman dari karya [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]] yang berjudul ''al-Kitab al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala'' (''Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan'']]

Akar aljabar dapat ditelusuri hingga bangsamasa Babilonia kuno,<ref>{{Cite book|title=A Concise History of Mathematics|last=Struik|first=Dirk J.|publisher=Dover Publications|year=1987|isbn=0-486-60255-9|location=New York}}</ref> yang mengembangkan sistem aritmetika lanjut, yang dengannya mereka dapatuntuk melakukan perhitungan menurut gaya [[algoritme]]. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang biasanyadewasa diselesaikanini hariumum inidiselesaikan dengan menggunakan [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], dan [[persamaan taktentu]]. Sebaliknya, sebagian besar [[matematika Mesir Kuno|orang Mesir]] pada era ini, serta [[Matematika Yunani|Yunani]] dan [[matematika Tiongkok|Tiongkok]] pada milenium 1 SM, biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam ''[[Papirus Matematika Rhind]]'', ''[[Elemen Euklides]]'', dan ''[[Sembilan Bab mengenai Seni Matematika]]''. Karya geometris dari Yunani, seperti yang ditulis dalam ''Elemen'', menyediakan kerangka kerja untuk perumuman rumus melampaui solusi dari soal tertentu menjadi sistem yang lebih umum yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun hal ini tidak terealisasi sampai sebelum munculnya [[Matematika Islam abad pertengahan]].<ref>{{harvnb|Boyer|1991}}</ref>

Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan [[bangsa Persia|Persia]], Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). DiaIa kemudian menulis ''[[Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan]]'', yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada [[geometri]] dan [[aritmetika]].<ref>{{Cite journal|title=Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra|author=Roshdi Rashed|publisher=Saqi Books|date=November 2009|isbn=0-86356-430-5|ref=harv|postscript= }}</ref>

Matematikawan [[periode HellenistikHelenistik]], [[Heron dari Iskandariyah]] dan Diofantus,<ref>{{cite web|url=http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |title=Diophantus, Father of Algebra |publisher= |accessdate=2014-10-05 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130727040815/http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |archivedate=2013-07-27 |df= }}</ref>, juga [[matematika India|Matematikawan India]] seperti [[Brahmagupta]] meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun ''Arithmetica''-nya Diophantus dan ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta]]''-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi.<ref>{{cite web|url=http://www.algebra.com/algebra/about/history/|title=History of Algebra|publisher=|accessdate=2014-10-05}}</ref> Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya ''Brahmasphutasiddhanta''. Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia seringkalisering kali menggunakan metode ''ad hoc'' istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, [[bilangan negatif]], atau [[nol]], dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.<ref name="Meri2004">{{cite book|author=Josef W. Meri|title=Medieval Islamic Civilization|url=https://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|accessdate=25 November 2012|year=2004|publisher=Psychology Press|isbn=978-0-415-96690-0|page=31}}</ref>

Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan [[teori persamaan]], Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin ''al-jabr'', layak menyandang gelar itu.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |pages=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n197 178], 181 |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam ''Al-Jabr'' adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam ''Arithmetica'' dan bahwa ''Arithmetica'' lebih diperingkas, sedangkan ''Al-Jabr'' sepenuhnya retoris.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |page=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n247 228] |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "[[reduksi (matematika)|reduksi]]" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki [[variabel (matematika)|variabel]] dan [[eksponensiasi|pangkat]] sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh ''al-jabr'' pada mulanya,<ref name=Boyer-229>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 229}} "It is not certain just what the terms ''al-jabr'' and ''muqabalah'' mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word ''al-jabr'' presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word ''muqabalah'' is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."</ref> dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat,<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 230}} "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."</ref> didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri.<ref>Gandz and Saloman (1936), ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".</ref> Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".<ref name=Rashed-Armstrong>{{Cite book | last1=Rashed | first1=R. | last2=Armstrong | first2=Angela | year=1994 | title=The Development of Arabic Mathematics | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=0-7923-2565-6 | oclc=29181926 | pages=11–2 | ref=harv | postscript= }}</ref>

Matematikawan Persia lainnya, [[Umar Khayyām]] diakui jasanya sebagai pengidentifikasi dasar-dasar [[geometri aljabar]] dan penemu solusi geometris umum untuk [[fungsi kubik|persamaan kubik]]. Bukunya ''Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar'' (1070), yang menetapkan prinsip-prinsip aljabar, adalah bagian dari tubuh Matematika Persia yang sebenarnya dikirimkan ke Eropa.<ref>[[#refmathmaster|Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers]], p. 92</ref> Matematikawan Persia lainnya, [[Sharaf al-Din al-Tusi]], menemukan solusi aljabar dan numerik untuk beberapa kasus persamaan kubik.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> Dia juga mengembangkan konsep mengenai [[fungsi (matematika)|fungsi]].<ref>{{Cite journal|last=Victor J. Katz|first=Bill Barton|title=Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching|journal=Educational Studies in Mathematics|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Netherlands]]|volume=66|issue=2|date=October 2007|doi=10.1007/s10649-006-9023-7|pages=185–201 [192]|last2=Barton|first2=Bill|ref=harv|postscript= }}</ref> Matematikawan India, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] dan [[Bhāskara II]], Matematikawan Persia [[Al-Karaji]],<ref name="Boyer al-Karkhi ax2n">{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 239}} "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer.&nbsp;... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis!&nbsp;... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax²ⁿ + bxⁿ = c (only equations with positive roots were considered),"</ref> dan Matematikawan Tiongkok, [[Zhu Shijie]], menyelesaikan beberapa kasus persamaan kubik, [[persamaan kuartik|kuartik]], [[persamaan kuintik|kuintik]], dan persamaan-persamaan [[polinomial]] berorde lebih tinggi menggunakan [[metode numerik]]. Pada abad ke-13, penyelesaian persamaan kubik oleh [[Fibonacci]] adalah wakil dari awal kebangkitan aljabar Eropa. [[Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī]] (1412–1486) mengambil "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Dia juga menghitung ∑''n''², ∑''n''³ dan menggunakan metode pendekatan berurutan (suksesif) untuk menentukan [[akar kuadrat]].<ref>{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html|title=Al-Qalasadi biography|website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk|access-date=2017-10-17}}</ref> Ketika dunia Islam mengalami kemunduran, dunia Eropa mengalami kebangkitan. Dan pada ketika itulah aljabar berkembang lebih jauh.

[[Aljabar abstrak]] dikembangkan pada abad ke-19, yang berasal dari ketertarikan dalam memecahkan persamaan, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut [[teori Galois]], dan pada permasalahan [[bilangan konstruktibel|konstruktibilitas]].<ref>"[http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra]". </ref> George Peacock adalah pelopor pemikiran aksiomatis dalam aritmetika dan aljabar. [[Augustus De Morgan]] menemukan [[aljabar relasi]] dalam karyanya ''Syllabus of a Proposed System of Logic'' (Silabus dari Sistem Logika yang Diusulkan). [[Josiah Willard Gibbs]] mengembangkan aljabar dari vektor-vektor dalam ruang tiga-dimensi, dan [[Arthur Cayley]] mengembangkan aljabar matriks (ini adalah aljabar tak-komutatif).<ref>"[http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=9781108005043 The Collected Mathematical Papers]".</ref>

* [[Aljabar di atas lapanganmedan]] atau lebih umumnya ''aljabar di atas gelanggang''.<br>Banyak kelas pada aljabar di atas lapangan atau di atas gelanggang memiliki nama spesifik:

** [[Aljabar tak-asosiatiftakasosiatif]]

** ''[[Aljabar-C*-algebra]]''

** ''[[FAljabar-algebraF]]'' dan ''[[FKoaljabar-coalgebraF]]''

** ''[[TAljabar-algebraT]]''

'''Aljabar elementer''' adalah bentuk aljabar paling dasar. Aljabar elementer diajarkan kepada siswa/mahasiswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang [[matematika]] lebih dari sekadar prinsip-prinsip dasar [[aritmetika]]. Di dalam aritmetika, hanya [[bilangan]] dan operasi aritmetika (seperti +, −, ×, ÷) yang muncul. Di dalam aljabar, bilangan seringkalisering kali diwakili oleh simbol, yang disebut [[variabel (matematika)|variabel]] (seperti ''a'', ''n'', ''x'', ''y'', atau ''z''). Ini berguna, karena:

* Setiap elemen mempunyai invers: untuk setiap anggota ''a'' dari ''S'', terdapat anggota ''a''^-1−1 sedemikian sehingga ''a'' ∗ ''a''^-1−1 dan ''a''^-1−1 ∗ ''a'' kedua-duanya identik dengan elemen identitas.

=== Gelanggang dan medanLapangan ===

Sebuah '''[[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]''' memiliki dua operasi[[Operasi biner]] (+) dan (×), dengan × distributif di atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk ''grup abelian''. Di bawah operator kedua (×), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas, atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas perjumlahanpenjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers perjumlahanpenjumlahan dari ''a'' ditulis sebagai −''a''−a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.

Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat perjumlahanpenjumlahan yang membuatnya sebagai '''[[domain integral]]''', atau '''daerah bilangan bulat''', atau '''ranah bilangan bulat,'''.

Sebuah '''[[medan (matematika)|medan atau lapangan]]''' adalah ''gelanggang'' dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk ''grup abelian'' di bawah ×. Identitas perkalian (×) ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari ''a'' ditulis sebagai ''a''⁻¹.

Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh-contoh medanlapangan.

* [[Leonhard Euler|L. Euler]]: ''[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ unsur-Unsur dari Aljabar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=2011-04-13 }}'', ISBN 978-1-899618-73-6

* {{Cite book|title=Realm of Algebra|url=https://archive.org/details/realmofalgebra00asim|last=Asimov|first=Isaac|publisher=Houghton Mifflin|year=1961|author-link=Isaac Asimov}}

* [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra Khan Academy: asal-Usul Aljabar, online gratis micro kuliah] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130509005401/https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra |date=2013-05-09 }}

* [http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 4000 Tahun dari Aljabar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071004172100/http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 |date=2007-10-04 }}, kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).

* (Inggris)<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> Entri </span>[http://plato.stanford.edu/entries/{{{1}}} Algebra]{{Pranala mati|date=Januari 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> di </span>''[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]''