Aljabar: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Quadratic formula.svg|jmpl|Rumus [[persamaan kuadrat]] mengungkapkan solusi dari persamaan derajat dua <math>ax^2 + bx +c=0</math> dalam koefisien <math>a, b, c</math>, dimana <math>a</math> bukan nol.]]

 

 

Aljabar elementer berbeda dari [[aritmetika]] dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam <math>x + 2 = 5</math> huruf <math>x</math> tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: <math>x=3</math>. Dalam [[Ekivalensi massa-energi|{{math|1=''E'' = ''mc''{{smallsup|2}}}}]], huruf <math>E</math> dan <math>m</math> adalah variabel, dan huruf <math>c</math> adalah [[Konstanta (matematika)|konstanta]], kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.

 

== Etimologi ==

 

== Berbagai arti dari "aljabar" ==

 

=== Sejarah awal aljabar ===

 

Pada zaman [[Plato]], matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Orang Yunani menemukan aljabar geometri, di mana suku-suku dinyatakan oleh sisi-sisi dari objek geometri, biasanya garis, yang memiliki huruf-huruf yang berasosiasi dengan mereka.<ref name=citeboyer>{{Harv|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}} "In the arithmetical theorems in Euclid's ''Elements'' VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's ''Algebra'' made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the ''Algebra'' are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> [[Diofantus]] (abad ke-3 Masehi) adalah seorang Matematikawan Yunani dari [[Iskandariyah]] dan penulis serangkaian buku yang disebut ''[[Arithmetica]]''. Teks-teks ini berurusan dengan penyelesaian [[persamaan aljabar]],<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq#v=onepage&q=&f=false|title=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching|last=Cajori|first=Florian|year=2010|isbn=1-4460-2221-8|page=34|author-link=Florian Cajori}}</ref> dan telah menuntun pada hadirnya [[persamaan Diofantin]] dalam [[teori bilangan]].

 

 

 

Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan [[teori persamaan]], Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin ''al-jabr'', layak menyandang gelar itu.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |pages=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n197 178], 181 |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam ''Al-Jabr'' adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam ''Arithmetica'' dan bahwa ''Arithmetica'' lebih diperingkas, sedangkan ''Al-Jabr'' sepenuhnya retoris.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |page=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n247 228] |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "[[reduksi (matematika)|reduksi]]" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki [[variabel (matematika)|variabel]] dan [[eksponensiasi|pangkat]] sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh ''al-jabr'' pada mulanya,<ref name=Boyer-229>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 229}} "It is not certain just what the terms ''al-jabr'' and ''muqabalah'' mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word ''al-jabr'' presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word ''muqabalah'' is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."</ref> dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat,<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 230}} "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."</ref> didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri.<ref>Gandz and Saloman (1936), ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".</ref> Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".<ref name=Rashed-Armstrong>{{Cite book | last1=Rashed | first1=R. | last2=Armstrong | first2=Angela | year=1994 | title=The Development of Arabic Mathematics | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=0-7923-2565-6 | oclc=29181926 | pages=11–2 | ref=harv | postscript= }}</ref>

 

 

=== Sejarah modern aljabar ===

* [[Aljabar relasional]]: satu himpunan [[relasi berhingga]] yang tertutup di bawah operator tertentu.

Banyak struktur matematika disebut '''aljabar''':

** [[Aljabar asosiatif]]

** [[Aljabar Lie]]

** [[Aljabar Hopf]]

** [[Aljabar simetri]]

** [[Aljabar eksterior]]

** [[Algebra di atas himpunan|Medan himpunan]]

* Dalam [[teori kategori]]

* Dalam [[logika]],

** [[Aljabar relasi]], aljabar Boolean beresidu, diperluas dengan kerumitan yang disebut konvers.

* R. B. J. T. Allenby: ''Cincin, Bidang dan Kelompok''. ISBN 0-340-54440-6

* [[Leonhard Euler|L. Euler]]: ''[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ unsur-Unsur dari Aljabar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=2011-04-13 }}'', ISBN 978-1-899618-73-6

 

== Pranala luar ==

 

* [http://www.khanacademy.org/math/algebra Khan Academy: Konseptual video dan contoh bekerja]

* [http://algebrarules.com Algebrarules.com: open source sumber daya untuk belajar dasar-dasar Aljabar]

* (Inggris)<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> Entri </span>[http://plato.stanford.edu/entries/{{{1}}} Algebra]{{Pranala mati|date=Januari 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> di </span>''[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]''