Persamaan Schrödinger: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20240809)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
| (15 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{mekanika kuantum|cTopic=persamaan}}
Dalam [[mekanika kuantum]], '''persamaan Schrödinger''' adalah [[persamaan matematika]] yang menjelaskan perubahan tiap waktu dari sebuah sistem fisika di mana efek kuantum, seperti [[dualitas gelombang-partikel]], menjadi signifikan. Persamaan ini merupakan perumusan matematis untuk mempelajari sistem mekanika kuantum. Persamaan ini diajukan oleh [[fisikawan]] [[Erwin Schrödinger]] pada tahun [[1925]] dan mempublikasikannya pada tahun 1926. [[Erwin Schrödinger]] sendiri memperoleh [[Nobel Fisika|Hadiah Nobel Fisika]] pada tahun 1933 berkat karyanya ini.<ref>{{cite news|url=https://www.theguardian.com/technology/2013/aug/12/erwin-schrodinger-google-doodle|title=Physicist Erwin Schrödinger's Google doodle marks quantum mechanics work|date=13 August 2013|newspaper=[[The Guardian]]|accessdate=25 August 2013}}</ref><ref name="sch">{{cite journal|last=Schrödinger|first=E.|year=1926|title=An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules|url=http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|journal=[[Physical Review]]|volume=28|issue=6|pages=1049–1070|bibcode=1926PhRv...28.1049S|doi=10.1103/PhysRev.28.1049|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217040121/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf|archivedate=17 December 2008}}</ref> Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial dengan tipe [[persamaan gelombang]], yang digunakan sebagai model matematika dari pergerakan gelombang.
Dalam [[mekanika klasik]], [[Hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]]
Konsep fungsi gelombang adalah dasar bagi [[postulat mekanika kuantum]].
Dalam [[interpretasi Kopenhagen]] mekanika kuantum, fungsi gelombang adalah penjelasan paling lengkap untuk berbagai sistem fisik. Penyelesaian persamaan Schrödinger tidak hanya dapat menjelaskan sistem [[
Persamaan Schrödinger bukanlah satu-satunya cara untuk mempelajari sistem mekanika kuantum dan membuat prediksi, karena formulasi mekanika kuantum lainnya seperti [[mekanika matriks]] yang dikenalkan oleh [[Werner Heisenberg]], dan [[formulasi integral lintasan]], dikembangkan oleh [[Richard Feynman]]. [[Paul A.M. Dirac|Paul Dirac]] menggabungkan mekanika matriks dan persamaan Schrödinger menjadi satu formulasi tunggal.
Baris 14 ⟶ 15:
<math>\mathrm{i}</math> adalah [[bilangan imaginer]], <math>t</math> adalah [[waktu]], ∂ / ∂<math>t</math> adalah [[turunan parsial]] terhadap <math>t</math>, ħ adalah [[konstanta Planck]] dibagi 2π, ψ(<math>t</math>) adalah [[fungsi gelombang]], dan H(<math>t</math>) adalah [[Hamiltonian]].
== Persamaan ==
=== Persamaan tergantung-waktu ===
Bentuk persamaan Schrödinger tergantung dari kondisi fisiknya (lihat dibawah untuk contoh-contoh khusus). Bentuk paling umumnya adalah [[Persamaan Schrödinger#Tergantung waktu|persamaan tergantung-waktu]] yang menjelaskan sebuah sistem berkembang dengan waktu:<ref name=Shankar1994>
{{cite book
|last=Shankar |first=R.
|year=1994
|title=Principles of Quantum Mechanics
|url=https://archive.org/details/principlesofquan0000shan_x3c9 |edition=2nd
|publisher=[[Kluwer Academic]]/[[Plenum Publishers]]
|isbn=978-0-306-44790-7
}}</ref>{{rp|143}}
[[Berkas:Wave packet (dispersion).gif|jmpl|200px|Sebuah [[fungsi gelombang]] yang memenuhi persamaan Schrodinger nonrelativistik dengan {{math|''V'' {{=}} 0}}. Dengan kata lain, fungsi ini sesuai dengan partikel yang bergerak bebas melalui ruang kosong. [[Bagian riil]] dari [[fungsi gelombang]] digambarkan disini.]]
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tergantung-waktu''' ''(umum)''
|equation=<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\vert\Psi(\mathbf{r},t)\rangle = \hat H\vert\Psi(\mathbf{r},t)\rangle</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger 3 dimensi''' ''
|equation=<math>-\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} + U(x,y,z)\psi(x,y,z) = E\psi(x,y,z)</math>
Atau diringkas
<math>-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2\psi + U(x,y,z)\psi(x,y,z) = E\psi(x,y,z)</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
dengan <math>\nabla</math> adalah operator nabla [[Divergence|divergensi]] lalu {{math|''i''}} adalah [[satuan imajiner]], {{math|''ħ''}} adalah [[konstanta Planck]] tereduksi yang sama dengan:<math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math>, lambang {{math|{{sfrac|∂|∂''t''}}}} menunjukkan [[turunan parsial]] terhadap [[waktu]] {{math|''t''}}, {{math|''Ψ''}} (huruf Yunani [[psi (huruf)|psi]]) adalah [[fungsi gelombang]] sistem kuantum, {{math|'''r'''}} dan {{math|''t''}} adalah posisi vektor dan waktu, dan {{math|''Ĥ''}} adalah [[operator (fisika)|operator]] [[Hamiltonian (mekanika kuantum)|Hamiltonian]] (yang mengkarakterisasi total energi sistem).
[[Berkas:StationaryStatesAnimation.gif|300px|jmpl|ka|Setiap gambar merupakan fungsi gelombang yang memenuhi persamaan Schrödinger tak tergantung waktu untuk [[osilator harmonis kuantum|osilator harmonis]]. Kiri: bagian riil (biru) dan bagian imajiner (kanan) dari fungsi gelombang. Kanan: [[distribusi probabilitas]] dalam menemukan partikel dengan fungsi gelombang ini pada posisi tertentu. Kedua baris teratas adalah contoh '''[[keadaan stasioner]]'''. Baris bawah adalah contoh keadaan ''non'' stasioner. Kolom sebelah kanan menunjukkan mengapa keadaan stasioner disebut "stasioner".]]
Contoh paling umum adalah persamaan [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] untuk partikel tunggal yang bergerak dalam sebuah [[medan listrik]] (bukan [[medan magnet]]; lihat [[Persamaan Pauli]]):<ref>[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html "Schrodinger equation"]. ''hyperphysics.phy-astr.gsu.edu''.</ref>
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tergantung waktu dalam basis posisi'''<br/>''(partikel [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] tunggal)''
|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
dimana {{math|''μ''}} adalah "[[massa tereduksi]]" partikel, {{math|''V''}} [[energi potensial]], {{math|∇<sup>2</sup>}} adalah [[Laplasian]] (operator diferensial), dan {{math|''Ψ''}} adalah fungsi gelombang (lebih tepatnya dalam konteks ini adalah "fungsi gelombang ruang-posisi"). Dalam bahasa sederhana, persamaan ini berarti "total [[energi]] sama dengan [[energi kinetik]] ditambah [[energi potensial]]", tetapi dengan bentuk yang tidak umum.
Dengan diketahui operator diferensial tertentu, maka persamaan ini adalah [[persamaan diferensial parsial]] [[persamaan diferensial linear|linear]]. Juga merupakan [[persamaan difusi]], tetapi tidak seperti [[persamaan panas]], persamaan ini juga persamaan gelombang karena adanya [[satuan imajiner]] pada bagian transient.
Istilah ''"Persamaan Schrödinger"'' dapat merujuk ke kedua persamaan umum atau versi nonrelativistiknya yang spesifik. Versi umumnya sangat umum dan bisa digunakan untuk semua mekanika kuantum, mulai dari [[persamaan Dirac]] hingga [[teori medan kuantum]], dengan memasukkan berbagai pernyataan pada Hamiltonian. Versi nonrelativistik adalah berupa perkiraan dari kenyataan sebenarnya namun menunjukkan hasil yang akurat pada banyak situasi, tetapi pada jangkauan tertentu saja (lihat [[mekanika kuantum relativistik]] dan [[teori medan kuantum relativistik]]).
Untuk menggunakan persamaan Schrödinger, digunakan operator Hamiltonian untuk sistemnya untuk menghitung energi kinetik dan potensial partikel-partikel pada sistem, kemudian dimasukkan dalam persamaan Schrödinger. Hasil persamaan diferensial parsial kemudian diselesaikan untuk persamaan gelombang yang kemudian akan memuat informasi mengenai sistem.
=== {{anchor|Time independent equation}}Persamaan tak tergantung-waktu ===
Persamaan Schrödinger tergantung-waktu yang dijelaskan diatas memprediksi bahwa fungsi gelombang dapat membentuk [[gelombang berdiri]] disebut [[keadaan stasioner]] (atau "orbital", seperti [[orbital atom]] atau [[orbital molekul]]). Keadaan-keadaan ini penting karena pada studi berikutnya, memudahkan dalam penyelesaian persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu untuk keadaan apapun. Keadaan stasioner juga dapat dijelaskan menggunakan bentuk persamaan yang lebih sederhana, ''persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''.
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''' (''umum'')
|equation=<math>\operatorname{\hat H}\vert\Psi\rangle=E\vert\Psi\rangle</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
dengan ''{{math|E}}'' adalah konstanta sama dengan total energi pada sistem. Hanya digunakan apabila operator [[Hamiltonian (mekanika kuantum)|Hamiltonian]] tidak tergantung waktu. Namun, dalam kasus ini keseluruhan fungsi gelombang tetap memiliki ketergantungan waktu.
Dengan kata lain, persamaan ini mengatakan:
::''Ketika operator Hamiltonian berperan pada fungsi gelombang tertentu {{math|Ψ}} dan hasilnya sebanding dengan fungsi gelombang yang sama {{math|Ψ}}, maka {{math|Ψ}} adalah [[keadaan stasioner]], dan konstanta proporsionalitas {{math|E}} adalah energi dari keadaan {{math|Ψ}}.''
Dalam terminologi [[aljabar linear]], persamaan ini adalah [[Eigenvalue dan eigenvector|persamaan eigenvalue]] dan fungsi gelombang disini merupakan [[eigenfunction]] dari operator Hamiltonian.
Seperti sebelumnya, bentuk paling umum adalah persamaan [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] untuk partikel tunggal yang bergerak dalam sebuah medan listrik (bukan medan magnet):
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''' (''partikel tunggal nonrelativistik'')
|equation=<math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r}) = E \Psi(\mathbf{r})</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
dengan definisi seperti diatas.
Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu dijelaskan lebih lanjut [[#Tak tergantung waktu|dibawah]].
== Latar belakang dan perkembangan sejarah ==
[[Berkas:Erwin Schrodinger2.jpg|ka|jmpl|[[Erwin Schrödinger]]]]
{{Main article|Justifikasi teoritis dan percobaan untuk persamaan Schrödinger}}
Setelah kemunculan kuantisasi cahaya [[Max Planck]] (lihat [[radiasi benda-hitam]]), [[Albert Einstein]] menginterpretasikan [[kuantum|kuanta]] Planck sebagai [[foton]], [[corpuscular theory of light|partikel cahaya]], dan mengemukakan bahwa [[hubungan Planck|energi sebuah foton berbanding lurus dengan frekuensinya]], salah satu tanda-tanda pertama [[dualitas gelombang-partikel]]. Karena energi dan [[momentum]] saling berhubungan seperti [[frekuensi]] dan [[bilangan gelombang]] pada [[relativitas khusus]], momentum sebuah foton {{math|''p''}} berbanding terbalik dengan [[panjang gelombang]] {{math|''λ''}}, atau berbanding lurus dengan [[bilangan gelombang]] {{math|''k''}}:
:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k,</math>
dengan {{math|''h''}} adalah [[konstanta Planck]] dan {{math|''ħ''}} adalah konstanta Planck tereduksi, {{math|''h/2π''}}. [[Louis de Broglie]] mengemukakan hipotesis bahwa persamaan ini benar untuk semua partikel, meski partikel yang bermassa seperti elektron. Ia mengasumsikan jika gelombang materi merambat bersama partikel mereka, elektron-elektron membentuk [[gelombang berdiri]], berarti hanya frekuensi rotasional tertentu di sekeliling atom nukleus yang dimungkinkan.<ref>
{{Cite journal
|last = de Broglie
|first = L.
|year = 1925
|title = Recherches sur la théorie des quanta
|trans-title = On the Theory of Quanta
|url = http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/04/70/78/PDF/tel-00006807.pdf
|journal = [[Annales de Physique]]
|volume = 10
|issue = 3
|pages = 22–128
|doi =
|deadurl = yes
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20090509012910/http://www.ensmp.fr/aflb/LDB-oeuvres/De_Broglie_Kracklauer.pdf
|archivedate = 9 May 2009
|df = dmy-all
}} .</ref>
Orbit terkuantisasi ini sesuai dengan [[tingkat energi]] diskret, dan de Broglie memakai formula [[model Bohr]] untuk tingkat energi. Model Bohr didasarkan pada kuantisasi momentum sudut {{math|''L''}} yang diasumsikan menurut:
:<math> L = n{h \over 2\pi} = n\hbar.</math>
Menurut de Broglie, elektron dijelaskan melalui sebuah gelombang dan sejumlah bilangan panjang gelombang yang harus sesuai sepanjang keliling orbit elektron:
:<math>n \lambda = 2 \pi r.\,</math>
Pendekatan ini membatasi gelombang elektron dalam satu dimensi, sepanjang orbit lingkar berjari-jari {{math|''r''}}.
Pada tahun 1921, sebelum de Broglie, Arthur C. Lunn di Universitas Chicago telah menggunakan argumen yang sama yang berbasis dari penyelesaian energi-momentum relativistik untuk menurunkan apa yang kita sebtut saat ini sebagai hubungan de Broglie.<ref>{{cite journal|last=Weissman|first=M.B. |author2=V. V. Iliev |author3=I. Gutman|title=A pioneer remembered: biographical notes about Arthur Constant Lunn|journal=Communications in Mathematical and in Computer Chemistry|year=2008|volume=59|issue=3|pages=687–708}}</ref> Tidak seperti de Broglie, Lunn merumuskan persamaan diferensial yang saat ini dikenal sebagai persamaan Schrödinger. Sayangnya paper ini ditolak oleh Physical Review.<ref>{{cite book|last=Kamen|first=Martin D.|title=Radiant Science, Dark Politics|url=https://archive.org/details/radiantscienceda00kame|year=1985|publisher=University of California Press|location=Berkeley and Los Angeles, CA|isbn=0-520-04929-2|pages=[https://archive.org/details/radiantscienceda00kame/page/29 29]–32}}</ref>
Menindaklanjuti ide de Broglie, fisikawan [[Peter Debye]] berkomentar bahwa jika partikel berperilaku seperti gelombang, maka pastinya memiliki bentuk persamaan gelombang. Schrödinger pun berusaha mencari persamaan gelombang 3-dimensi yang layak untuk elektron. Ia dibimbing oleh analogi [[William Rowan Hamilton|William R. Hamilton]] antara [[mekanika]] dan [[optik]], dikodekan dalam pengamatan bahwa batas panjang gelombang nol optik menyerupai sistem mekanis—lintasan sinar cahaya menjadi jejak tajam mematuhi [[prinsip Fermat]], sebuah analog dari [[prinsip tindakan terkecil]].<ref>
{{Cite book
|last=Schrodinger |first=E.
|year=1984
|title=Collected papers
|publisher=[[Friedrich Vieweg und Sohn]]
|isbn=3-7001-0573-8
}} Lihat bagian pengenalan pada paper tahun 1926. </ref>
== Referensi ==
Baris 22 ⟶ 156:
* {{en}} [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde108.pdf Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations].
* {{en}} [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1403.pdf Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations].
* {{en}} [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf The Schrödinger Equation in One Dimension] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060524165051/http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/ |date=2006-05-24 }}.
* {{en}} [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html All about 3D schrodinger Equation ]
* {{en}} [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070425131659/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page |date=2007-04-25 }}.
{{fisika-stub}}
| |||