Wikipedia

Irisan kerucut: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Akuindo (bicara | kontrib)
44.580 suntingan
Esther Rossini (bicara | kontrib)
1.445 suntingan
Image suggestions feature: 1 image added.
 
(13 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 8:
 
== Jenis-jenis irisan kerucut ==
[[Berkas:Conicas1.PNG|jmpl|Potongan kerucut, Elips]]
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah [[parabola]]. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah [[Hiperbola (geometri)|hiperbola]]. Sebuah [[elips]] terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. [[Lingkaran]] adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.
 
Baris 16 ⟶ 17:
Secara [[geometri analitis]], irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:{{cquote|tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap ''F'' (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap ''L'' (disebut direktriks) yang tidak mengandung F<ref>{{cite book|last=Leithold|first=Louis|title=The Calculus with Analytic Geometry|url=https://archive.org/details/calculuswithanal0004leit|year=1981|publisher=Harper & Row, Publisher, Inc.|location=New York|id=ISBN 0-06-043935-1|pages=[https://archive.org/details/calculuswithanal0004leit/page/657 657]|chapter=13 }}</ref>.}}
 
[[Berkas:Eccentricity.png|ka|jmpl|280px|Eksentrisitas adalah rasio antara ''FMFP'' dan ''MP'MP''.<FONT COLOR="#ff0000">Elips (''e'' = 1/2)</FONT>, <FONT COLOR="#00ff00">parabola (''e'' = 1)</FONT> dan <FONT COLOR="#0000ff">hiperbola (''e'' = 2)</FONT> dengan fokus (''F'') dan direktriks yang tetap.]]
Rasio yang konstan tersebut disebut [[eksentrisitas]], dilambangkan dengan ''e'', dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk ''e'' = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < ''e'' < 1 sebuah elips, ''e'' = 1 sebuah parabola, dan ''e'' > 1 sebuah hiperbola.
 
Baris 34 ⟶ 35:
== Bentuk persamaan umum ==
Bentuk persamaan umum sebagai berikut:
:<math>Ax^2 + BxyBy^2 + Cy^2Cx + DxDxy + Ey + F = 0</math>
 
]
kesimpulan:
* Jika A = B = 0 maka persamaan adalah [[garis lurus]]/linear
Baris 48 ⟶ 49:
: Titik pusat (0,0): <math>y = mx</math>
: Titik pusat (h,k): <math>y - k = m (x - h)</math>
: Bergradien <math>m = \frac{y}{x}</math> (satu titik) dan <math>m = \frac{yy_2-y_1}{xx_2-x_1}</math> (dua titik)
: Dua titik: <math>\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}</math>
: Sejajar: <math>m_1 = m_2</math>
Baris 182 ⟶ 183:
! !! colspan=2 align="center"| Titik pusat (0,0)
|-
| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>y = mx \pm r\sqrt{1+m^2} </math>
|-
| Parabola || <math>y = mx - p m </math> || <math>y = mx + \frac{p}{m} </math>
|-
| Elips || <math>y = mx \pm \sqrt{b^2 + a^2m^2} </math> || <math>y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} </math>
|-
| Hiperbola || <math>y = mx \pm \sqrt{b^2 - a^2m^2} </math> || <math>y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} </math>
|-
! !! colspan=2 align="center"| Titik pusat (h,k)
|-
| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>(y - k) = m(x - h) \pm r\sqrt{1+m} </math>
|-
| Parabala || <math>(y - k) = m(x - h) - p m </math> || <math>(y - k) = m(x -h) + \frac{p}{m} </math>
|-
| Elips || <math>(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{b^2 + a^2m^2} </math> || <math>(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} </math>
|-
| Hiperbola || <math>y = mx \pm \sqrt{b^2 - a^2m^2} </math> || <math>y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} </math>
|}
 
: jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka <math>m_2 = m_1 </math>
: jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka <math>m_2 = \frac{-1}{m_1} </math>
 
; melalui titik <math>(x_1, y_1) </math>
Baris 212 ⟶ 213:
! !! colspan=2 align="center"| Titik pusat (0,0)
|-
| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>x x_1 + y y_1 = r^2 </math>
|-
| Parabola || <math>x x_1 = 2py + 2py_1 </math> || <math>y y_1 = 2px + 2px_1 </math>
|-
| Elips || <math>\frac{x x_1}{b^2} + \frac{y y_1}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1 </math>
|-
| Hiperbola || <math>\frac{x x_1}{b^2} - \frac{y y_1}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{x x_1}{a^2} - \frac{y y_1}{b^2} = 1 </math>
|-
! !! colspan=2 align="center"| Titik pusat (h,k)
|-
| Lingkaran || colspan=2 align="center"| <math>(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2 </math> atau <br><math> x x_1 + y y_1 + \frac{1}{2} A x + \frac{1}{2} A x_1 + \frac{1}{2} B y + \frac{1}{2} B y_1 + C = 0 </math>
|-
| Parabola || <math>(x - h)(x_1 - h) = 2p(y - k) + 2p(y_1 - k) </math> || <math>(y - k)(y_1 - k) = 2p(x - h) + 2p(x_1 - h) </math>
|-
| Elips || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{b^2} + \frac{(y - k)(y_1 - k)}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{a^2} + \frac{(y - k)(y_1 - k)}{b^2} = 1 </math>
|-
| Hiperbola || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{b^2} - \frac{(y - k)(y_1 - k)}{a^2} = 1 </math> || <math>\frac{(x - h)(x_1 - h)}{a^2} - \frac{(y - k)(y_1 - k)}{b^2} = 1 </math>
|}
 
Baris 246 ⟶ 247:
* Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap <math>y^2 = 16x </math>!
jawab:
:<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4 </math>
:<math>y = mx + \frac{p}{m}</math>
:<math>y = 2x + \frac{4}{2}</math>
Baris 253 ⟶ 254:
* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap <math>y^2 = 16x</math>!
jawab:
:<math>y^2 = 16x -> y^2 = 4 (4x) \text { jadi } p = 4 </math>
:<math>y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (4,8) } (8)^2 - 16 (4) = 0 = 0</math> (dalam)
dengan cara bagi adil
:<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math>
Baris 263 ⟶ 264:
* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap <math>y^2 = 16x</math>!
jawab:
:<math>y^2 -= 16x =-> 0y^2 maka= masukkan lah4 (1,54x) (5)^2\text -{ 16jadi (1)} p = 9 > 04</math> (luar)
:<math>y^2 - 16x = 0 \text{ maka masukkan lah (1,5) } (5)^2 - 16 (1) = 9 > 0</math> (luar)
dengan cara bagi adil
:<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math>
:<math>5y = 8x2(4)x + 8 2(4)(1)</math>
:<math>5y = 8x + 8</math>
:<math>y = \frac{8}{5}x + \frac{8}{5}</math>
Baris 299 ⟶ 301:
: untuk persamaan singgung pertama
:<math>y y_1 = 2px + 2px_1</math>
:<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x2(4)x + 82(4)(\frac{17 + \sqrt{33}}{8})</math>
:<math>(5 + \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 + \sqrt{33}</math>
 
: untuk persamaan singgung kedua
:<math>y y_2 = 2px + 2px_2</math>
:<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x2(4)x + 82(4)(\frac{17 - \sqrt{33}}{8})</math>
:<math>(5 - \frac{\sqrt{33}}{5}) y = 8x + 17 - \sqrt{33}</math>
 
; Titik pusat (h,k)
* Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math> melalui persamaan yang tegak lurus <math>y - 2x - 5 = 0 </math>!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana
:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>
:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>
 
cari gradien persamaan <math>y - 2x - 5 = 0 </math>
:<math>y - 2x - 5 = 0 </math>
:<math>y = 2x + 5 </math>
gradien (<math>m_1 </math>) = 2 karena tegak lurus menjadi <math>m_2 = - \frac{1}{2} </math>
 
cari <math>p </math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2 </math>
:<math>y = mx + \frac{p}{m}</math>
:<math>y = - \frac{1}{2}x + \frac{2}{- \frac{1}{2}} -> y = - \frac{1}{2}x - 4 </math>
 
* Tentukan persamaan garis singgung <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math> yang berordinat 6!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana
:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>
:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>
 
cari absis dimana ordinat 6
:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>
:<math>(6 - 3)^2 = 8x </math>
:<math>9 = 8x </math>
:<math>x = \frac{9}{8} </math>
 
:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math>
 
dengan cara bagi adil
:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1 </math>
:<math>(y - 3)(6 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(\frac{9}{8}) </math>
:<math>(y - 3)3 = 4x + \frac{9}{2} </math>
:<math>3y - 9 = 4x + \frac{9}{2} </math>
:<math>3y = 4x + \frac{27}{2} </math>
:<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{27}{6} </math>
 
* Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap <math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>!
Baris 349 ⟶ 354:
:<math>y^2 - 6y - 8x + 9 = 0 </math>
:<math>y^2 - 6y + 9 = 8x </math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x </math>
:<math>(y - 3)^2 = 8x -> (y - 3)^2 = 4 (2x) \text { jadi } p = 2</math>
 
:<math>(y - 3)^2 - 8x = 0 \text { maka masukkan lah (1,6) } (6 - 3)^2 - 8 (1) = 9 - 8 = 1 > 0 </math> (luar)
dengan cara bagi adil
:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1 </math>
:<math>(y - 3)(6 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(1) </math>
:<math>(y - 3)3 = 4x + 4 </math>
:<math>3y - 9 = 4x + 4 </math>
:<math>3y = 4x + 13 </math>
:<math>y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3} </math>
 
masukkan lah <math>(y - 3)^2 = 8x </math>
:<math>(\frac{4}{3}x + \frac{13}{3} - 3)^2 = 8x </math>
:<math>(\frac{4}{3}x + \frac{4}{3})^2 = 8x </math>
:<math>\frac{16}{9}x^2 + \frac{32}{9}x + \frac{16}{9} - 8x = 0 </math>
:<math>\frac{16}{9}x^2 - \frac{40}{9}x + \frac{16}{9} = 0 </math> (dibagi 8/9)
:<math>2x^2 + 5x + 2 = 0 </math>
 
maka kita mencari nilai x
:<math>x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math>
:<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} </math>
:<math>x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} </math>
:<math>x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = 2 </math> atau <math>x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2} </math>
 
maka kita mencari nilai y
: untuk <math>x_1 </math>
:<math>y_1 = \frac{4}{3} (2) + \frac{13}{3} = \frac{8}{3} + \frac{13}{3} = 7</math>
jadi <math>(2, 7) </math>
 
: untuk <math>x_2 </math>
:<math>y_2 = \frac{4}{3} (\frac {1}{2}) + \frac{13}{3} = \frac{2}{3} + \frac{13}{3} = 5</math>
jadi <math>(\frac{1}{2}, 5) </math>
 
kembali dengan cara bagi adil
: untuk persamaan singgung pertama
:<math>(y - k)(y_1 - k) = 2px + 2px_1 </math>
:<math>(y - 3)(7 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(2) </math>
:<math>(y - 3)4 = 4x + 8 </math>
:<math>4y - 12 = 4x + 8 </math>
:<math>4y = 4x + 20 </math> (dibagi 4)
:<math>y = x + 5 </math>
 
: untuk persamaan singgung kedua
:<math>(y - k)(y_2 - k) = 2px + 2px_2 </math>
:<math>(y - 3)(5 - 3) = 4x2(2)x + 4 2(2)(\frac{1}{2}) </math>
:<math>(y - 3)2 = 4x + 2 </math>
:<math>2y - 6 = 4x + 2 </math>
:<math>2y = 4x + 8 </math> (dibagi 2)
:<math>y = 2x + 4 </math>
 
== Referensi ==
{{reflist}}
 
 
{{irisan kerucut}}
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Irisan_kerucut"