Resolusi (teori Galois): Perbedaan antara revisi

Dalam [[teori Galois]], disiplin dalam bidang [[aljabar abstrak]], '''resolusi''' untuk [[grup permutasi]] '' G '' adalah [[polinomial]] koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu '' p '' dan akar [[bilangan rasional | rasional]] jika dan hanya jika [[grup Galois]] dari '' p '' termasuk dalam '' G ''. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam '' G '', maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya berlaku jika akar rasional adalah [[akar sederhana (polinomial) | akar sederhana]].

Resolusi diperkenalkanditemukan oleh [[Joseph Louis Lagrange]] dan secara sistematis digunakan oleh [[Évariste Galois]]. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung [[grup Galois]]. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah

* <math>X^2-\Delta</math> dimana <math>\Delta</math> adalah [[diskriminan]], yang merupakan resolvent untuk [[grup alternatif]]. Dalam kasus [[persamaan kubik]], resolusi ini kadang disebut '''resolusi kuadrat'''; akarnyaakar muncul secaradari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.

* [[Resolusi kubik]] dari sebuah [[fungsi kuartik | persamaan kuartik]], yang merupakan penyekat untuk [[grup dihedral]] dari 8 elemen.

* [[Fungsi Kuintil#Kuintik solvabel | Resolusi Cayley]] adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.

Ketiga resolusi ini memiliki sifat '' seperabel '', yang berarti, jika memiliki banyak akar, maka polinomial '' p '' tidak dapat disederhanakan. Tidak diketahui apakah resolusi yang dapat dipisahkan untuk setiap grup permutasi.

Untuk setiap persamaan, akar dapat diekspresikan dalam bentuk akar dan akar pemecah untuk grup yang dapat larut, karena, gugus Galois dari persamaan di atas bidang yang dihasilkan oleh akar ini dapat diselesaikan.

Misalkan {{mvar | '' n ''}} adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]], yang akan menjadi derajat dari persamaan yang akan kita pertimbangkandipertimbangkan, dan {{math|(''X''₁, ..., ''X_n'')}} daftar memerintahkan [[tak tentu (variabel) | tak tentu]]. IniHal ini mendefinisikan '' polinomial generik '' dari derajat {{mvar|''n''}}

[[Grup simetris]] {{math|''S''_''n''}} actsdari on thetindakan {{math|''X''_''i''}} dengan menggunakannya, dan inimenggunakan menginduksiinduksi tindakan pada polinomial {{math|''X''_''i''}}. [[Pemusat (teori kelompokgrup) | Pemusat]] dari polinomial tertentu di bawah tindakan ini umumnya sepeletrivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup {{math|''S''_''n''}}. Jika penstabil tidak sepelenon-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa subkelompok[[subgrup]] non-sepeletrivial {{mvar | '' G ''}}; dikatakan sebagai '' invariantl invarian'' dari {{mvar | '' G lG''}}. Sebaliknya, subgrup {{mvar | '' G ''}} dari {{math|''S''_''n''}}, invariantinvarian dari {{mvar | '' G ''}} adalah '''resolusi invarian''' untuk {{mvar | '' G ''}} jika bukan merupakan invarian dari subgrup yang lebih besar dari {{math|''S''_''n''}}.<ref>http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf</ref>

Menemukan invarianInvarian untuk subgrup tertentu {{mvar | '' G ''}} dari {{math|''S''_''n''}} relatif mudah; seseorang dapat menjumlahkan [[Orbit (teori grup) | orbit]] dari sebuah monomial di bawah aksi {{math|''S''_''n''}}. Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup yang lebih besar. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup {{math | '' G ''}} dari {{math|''S''_''4''}} dari urutan 4, terdiri dari {{math|(12)(34)}}, {{math|(13)(24)}}, {{math|(14)(23)}} dan identitas (untuk notasinya, lihat [[grup permutasi]]). Monomial tersebut {{math|''X''₁''X''₂}} givesmemberikan the invariantinvarian {{math|2(''X''₁''X''₂&nbsp;+&nbsp;''X''₃''X''₄)}}. IniHal ini bukan invarian penyelesai untuk {{math | '' G ''}}, sebagai invarian oleh {{math | (12)}}, pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral {{math|⟨(12),&nbsp;(1324)⟩}}, dan digunakan untuk mendefinisikan [[resolusi kubik]] dari [[persamaan kuartik]].

Jika {{mvar | '' P ''}} adalah invarian penyelesaian untuk grup {{mvar | '' G ''}} dari [[indeks (teori grup) | indeks]] {{mvar | '' m ' '}}, lalumaka orbitnyaorbit di bawah {{math|''S''_''n''}} memiliki pesananurutan {{mvar | '' m ''}}. Maka {{math|''P''₁}}, ..., {{math|''P_m''}} menjadiadalah elemen orbit. Maka polinomial

adalah invarian di bawah {{math|''S''_''n''}}. Jadi, ketika diperluas, koefisiennya adalah polinomial di {{math|''X''_''i''}} yang invarian di bawah aksi grup simetri dan dengan diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Dengan kata lain, {{math|''R''_''G''}} adalah [[polinomial irreduksi]] di {{mvar | '' Y ''}} yang koefisiennyakoefisien polinomial dalam koefisien {{mvar | '' F ''}}. Memiliki invarian resolvent sebagai rootakar, ini disebut '''resolusi''' (terkadang '''persamaan resolusi''').

dengan koefisien di bidang tertentu {{mvar | '' K ''}} (biasanya [[bidang rasional]]) dan akar {{math|''x''_''i''}} dalam ekstensi [[bidang tertutup aljabar]]. Mengganti {{math|''X''_''i''}} oleh {{math|''x''_''i''}} dan koefisien {{mvar | '' F ''}} oleh {{mvar | '' f ''}} yang mendahului, polinomial <math>R_G^{(f)}(Y)</math>, juga disebut '' resolusi '' atau '' resolventresolusi khusus '' dalam kasus ambiguitas). Jika [[grup Galois]] dari {{mvar | '' f ''}} ada dike {{mvar | '' G ''}}, maka spesialisasi dari resolusi invariantinvarian adalah invarian oleh {{mvar | '' G ''}} dan dengan demikian merupakan rootakar dari <math>R_G^{(f)}(Y)</math> yang dimiliki {{mvar | '' K ''}} (rasional pada {{mvar | '' K ''}}). Sebaliknya jika <math>R_G^{(f)}(Y)</math> memilikiadalah akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari {{mvar | '' f ''}} terdapat dalamke {{mvar | '' G ''}}.

* '''{{vanchor|Resolusi GaloisLagrange}}''' adalahmengacu pemecahpada sehinggapolinomial invarianlinear penentu linier di akarnya.

:dimana <math>\omega</math> adalah [[akar satuan ke-n primitif]]. IniHal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.

* '''Resolusi relatif''' didefinisikan serupa sebagai resolusi, tetapi hanya mempertimbangkan aksi elemen dari subgrup tertentu {{mvar | '' H ''}} dari {{math|''S''_''n''}}, memiliki properti yangsifat, jika resolusi relatif untuk subgrup {{mvar | '' G ''}} dari {{mvar | '' H ''}} memiliki akar sederhana rasional dan grup Galois dari {{mvar | ''f''}} terkandung dalamke {{mvar|''H''}}, maka grup Galois dari {{mvar | '' f ''}} terdapat dalamke {{mvar | '' G ''}}. Dalam konteks ini, resolusi biasa disebut '''resolusi mutlak'''.

[[Kategori: Bidang (matematika)]]

[[Kategori: Teori grup]]

[[Kategori: Teori Galois]]

[[Kategori: Persamaan]]