Wikipedia

Identitas Bézout: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.392 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
RaFaDa20631 (bicara | kontrib)
Pengurus
95.574 suntingan
 
(13 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{short description|Rumus yang menghubungkan dua angkabilangan dan pembagifaktor persekutuan terbesarnya}}{{About|teorema Bézout dalam aritmetika|teorema Bézout dalam geometri aljabar|teorema Bézout}}
{{About|Teorema Bézout dalam aritmetika | Teorema Bézout dalam geometri aljabar | Teorema Bézout}}
 
Dalam [[teori bilangan]] elementer, i'''dentitasidentitas Bézout''', atau disebut juga '''lema Bézout'''), adalahmenyatakan [[teorema]] sebagai berikut:{{math_theorem
| name = Identitas Bézout
| math_statement = Misalkan <math> a </math> dan <math> b </math> adalah [[bilangan bulat]] dengan [[pembagifaktor persekutuan terbesar]] <math> d </math>. Maka, maka akan ada bilangan bulat <math> x </math> dan <math> y </math> sepertisehingga bilangan <math> ax + by = d </math>. Lebih umumnya lagi, bilangan bulat daridengan bentuk <math> ax + by </math> persisadalah kelipatan dari <math> d </math>.
}}
 
Bilangan bulat <math>x</math> dan <math>y</math> disebut '''koefisien Bézout''' untuk <math>(a,b)</math>;, dan bilangan-bilangan merekatersebut tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dihitung dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]] (''extended Euclidean algorithm''). Jika <math>a</math> dan <math>b</math> tidak nol, [[Algoritme Euklides|algoritma Euklides]] diperluas menghasilkan salah satu dari dua pasangan sedemikian rupa sehingga <math>|x|\le \left |\frac{b}{/d}\right |</math> dan <math>|y|\le\left |\frac{a}{/d}\right |</math>. (kesetaraanKesamaan tersebut dapat terjadi hanya jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> adalah kelipatan dari yangbilangan lain).
 
Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar, seperti [[lemmalema EuklideanEuklides]] atau [[Teoremateorema sisa CinaTiongkok]], dihasilkan dari identitas Bézout.
 
== Struktur penyelesaian ==
 
Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah bukan bilangan tak nol, serta satu buah pasangan koefisien Bézout <math>(x,y)</math> telah dihitung (katakanlah dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), maka semua pasangan dapat dinyatakan berikut:<math display="block">\left(x-k\frac{b}{d},\ y+k\frac{a}{d}\right),</math>dengan <math>k</math> menyatakan sebarang bilangan bulat, <math>d</math> merupakan [[faktor persekutuan terbesar]] dari <math>a</math> dan <math>b</math>. Pada bentuk tersebut, pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat. Sebaliknya, jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah bilangan tak nol, maka tepatnya akan ada dua dari pasangan tersebut memenuhi <math display="inline"> |x| \le \left |b/d\right |</math> dan <math display="inline">|y| \le \left |a/d\right |</math>, dan kesamaan tersebut hanya dapat terjadi jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> membagi bilangan lain.
Jika <math>a</math> dan <math>b</math> tidaknol dan satu pasang koefisien Bézout <math>(x,y)</math> telah dihitung (misalnya, menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), semua pasangan dapat diwakilkan dalam bentuk
 
IniSolusi ini bergantung pada propertisifat [[Divisipembagian EuclideanEuklides]], yang mengatakan sebagai berikut: diberikan dua bilangan bulat <math>c</math> dan <math>d</math>,. jikaJika <math>d</math> tidak membagi <math>c</math>, maka terdapat tepat satu pasangbuah pasangan <math>(q,r)</math> sehingga <math>c = dq + r</math> dan <math>0 < r < |d|</math>, dan adasehingga lagi sehinggajuga <math>c = dq + r</math> dan <math>-|d| < r < 0</math>.▼
:<math>\left(x-k\frac{b}{\gcd(a,b)},\ y+k\frac{a}{\gcd(a,b)}\right)</math>,
di mana <math>k</math> adalah bilangan bulat sembarang dan pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat.
 
Dua pasangpasangan dari koefisien Bézout kecil diperoleh dari koefisien yang diberikanpasangan <math>(x,y)</math> dengan memilih untuk <math>k</math> dalam rumus di atas salah satu dari dua bilangan bulat tersebut di sebelahnyadekat <math display="inline">\frac{x}{b/\gcd(a,b)d}</math> untuk <math>k</math> di rumus sebelumnya.▼
Di antara pasangan koefisien Bézout ini, tepat dua di antaranya memuaskan
:<math> |x| \le \left |\frac{b}{\gcd(a,b)}\right |</math> dan <math>|y| \le \left |\frac{a}{\gcd(a,b)}\right |</math>
dan kesetaraan hanya dapat terjadi jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> membagi yang lain.
 
Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal initersebut.▼
▲Ini bergantung pada properti [[Divisi Euclidean]]: diberikan dua bilangan bulat<math>c</math> dan <math>d</math>, jika <math>d</math> tidak membagi <math>c</math>, maka terdapat tepat satu pasang <math>(q,r)</math> sehingga <math>c = dq + r</math> dan <math>0 < r < |d|</math>, dan ada lagi sehingga <math>c = dq + r</math> dan <math>-|d| < r < 0</math>.
 
▲Dua pasang koefisien Bézout kecil diperoleh dari koefisien yang diberikan <math>(x,y)</math> dengan memilih untuk <math>k</math> dalam rumus di atas salah satu dari dua bilangan bulat di sebelahnya <math>\frac{x}{b/\gcd(a,b)}</math>.
 
▲Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal ini.
 
== Contoh ==
 
Misalkan, <math>a = 12</math> dan <math>b = 42</math>, sehingga <math>\gcdoperatorname{FPB}(12,42) = 6</math>. Kemudian identitasIdentitas Bézout berikut, dengan koefisien Bézout ditulisditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya., ditulis sebagai berikut:
 
:<math>
Baris 44 ⟶ 36:
</math>
 
Jika <math>(x,y) = (18,-5)</math> adalah pasangan asli dari koefisien Bézout <math display="inline">\frac{18}{42/6} \in [2, 3]</math>, akan menghasilkan pasangan minimal melaluiberikut dengan memilih <math>k = 2</math>, masing-masingdan <math>k = 3</math>, yaitu: <math display="inline">(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4,-1)</math>, dan <math display="inline">(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3,1)</math>. [[Ranah Bézout]] adalah [[ranah integral]] tempat memegang identitas Bézout. Secara khusus, identitas Bézout berlaku di [[ranah ideal utama]]. Setiap teorema yang dihasilkan dari identitas Bézout dengan demikian benar di semua ranah ini.
 
== Bukti ==
Diberikan bilangan bulat taknol <math>a</math> dan <math>b</math>, dan misalkan <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \text{ dan } ax+by>0\}.</math> Himpunan <math>S</math> tidak kosong karena berisi salah satunya <math>a</math> atauataupun <math>-a</math> (dengan <math>x = \pm 1</math> dan <math>y = 0</math>). Karena <math>S</math> adalah himpunan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] takkosong, ini<math>S</math> memiliki unsuranggota minimum <math>d = as + bt</math>, denganberdasarkan ''[[prinsip urutanwell-ordering rapiprinciple]]''. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> adalah pembagifaktor persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, kitamaka harus membuktikandibuktikan bahwa <math>d</math> adalah [[pembagi]] persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan bahwa untuk suatusebarang pembagi persekutuan lainnya <math>c</math>, termasuk bilanganmaka <math>c \le d</math>.
 
[[DivisiPembagian Euklides]] dari <math>a</math> oleh <math>d</math> bolehdapat ditulis <math>a=dq+r</math> dengan <math>0\le r<d</math>. Sisa pembagian <math>r</math> terdapat di <math>S\cup \{0\}</math>, sebab<math display="block">
:<math>a=dq+r</math> dengan <math>0\le r<d</math>.
Sisa <math>r</math> ada di <math>S\cup \{0\}</math>, lantaran
:<math>
\begin{align}
r & = a - qd \\
Baris 58 ⟶ 47:
& = a(1-qs) - bqt.
\end{align}
</math>Dengan demikian, <math>r</math> adalah bilangan dari bentuk <math>ax+by</math>, dan karena itu <math>r\in S\cup \{0\}</math>. Akan tetapi, <math>0\le r<d</math> dan <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil di {{mvar|S}}, maka sisa pembagian <math>r</math> tidak terdapat di <math>S</math>, sehingga mengakibatkan <math>r</math> menjadi 0. Maka dari itu, dapat disiratkan bahwa <math>d</math> pembagi <math>a</math>. Dengan cara yang serupa, <math>d</math> juga pembagi <math>b</math>, dan demikian <math>d</math> adalah pembagi persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>.
</math>
<!--
Thus {{mvar|r}} is of the form <math>ax+by</math>, and hence <math>r\in S\cup \{0\}</math>. However, {{math|0 ≤ ''r'' < ''d''}}, and {{mvar|d}} is the smallest positive integer in {{mvar|S}}: the remainder {{mvar|r}} can therefore not be in {{mvar|S}}, making {{mvar|r}} necessarily 0. This implies that {{mvar|d}} is a divisor of {{mvar|a}}. Similarly {{mvar|d}} is also a divisor of {{mvar|b}}, and {{mvar|d}} is a common divisor of {{mvar|a}} and {{mvar|b}}.
 
Sekarang, misalkan <math>c</math> adalah sebarang pembagi persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dalam artian bahwa akan ada <math>u</math> dan <math>v</math> sehingga <math>a=cu</math> dan <math>b = cv</math>. Jadi,<math display="block">\begin{align}d&=as + bt\\
Now, let {{mvar|c}} be any common divisor of {{mvar|a}} and {{mvar|b}}; that is, there exist {{mvar|u}} and {{mvar|v}} such that
{{math|1=''a'' = ''cu''}} and {{math|1=''b'' = ''cv''}}. One has thus
:<math>\begin{align}d&=as + bt\\
& =cus+cvt\\
&=c(us+vt).\end{align} </math>Maka dapat dikatakan bahwa <math>c</math> adalah pembagi <math>d</math>, dan demikian bahwa <math>c \le d</math>.
 
That is {{mvar|c}} is a divisor of {{mvar|d}}, and, therefore {{math|''c'' ≤ ''d''}}-->
== Perumuman ==
 
=== Perumuman untuk tiga bilangan bulat atau lebih ===
Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jika<math display="block">\operatorname{FPB}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d,</math>maka akan terdapat bilangan bulat <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> sehingga <math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math> memiliki sifat berikut bahwa <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan <math>d</math>.
 
=== Perumuman untuk polinomial ===
== Untuk tiga atau lebih bilangan bulat ==
{{main|Faktor persekutuan terbesar polinomial#Identitas Bézout dan algoritma FPB yang diperluas}}
Tak selamanya bahwa identitas Bézout berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, ketika mengerjakan [[gelanggang polinomial]] bilangan bulat, faktor persekutuan terbesar dari {{math|2''x''}} dan {{math|''x''<sup>2</sup>}} adalah ''x'', tetapi hasil pembagian persekutuan tersebut tidak mempunyai sebarang koefisien bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> yang memenuhi {{math|1=2''xp'' + ''x''<sup>2</sup>''q'' = ''x''}}.
 
Sayangnya, identitas Bézout's bekerja untuk [[polinomial univariat]] atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]], yang dilakukan dengan cara yang sama untuk bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dihitung menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]] (''extended Euclidean algorithm'').
Identitas Bézout dapat diperluas menjadi lebih dari dua bilangan bulat: jika
:<math>\gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d</math>
 
Karena [[Akar polinomial|akar]] dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial <math>a</math> dan <math>b</math> sehingga {{math|1=''af'' + ''bg'' = 1}} jika dan hanya jika {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} tidak memiliki akar di sebarang [[lapangan tertutup secara aljabar]] (biasanya di lapangan [[bilangan kompleks]]).
maka bilangan bulat <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> seperti yang
 
=== Perumuman untuk PID ===
:<math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math>
Identitas Bézout tidak hanya berlaku di [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] bilangan bulat, tetapi juga berlaku di PID yang lain. PID pada konteks ini berarti ''[[principle ideal domain]]''. Jika {{math|''R''}} adalah PID, {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} merupakan anggota {{math|''R''}}, seta {{mvar|d}} merupakan faktor persekutuan terbesar dari {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}, maka akan ada anggota {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} di {{math|''R''}} sehingga <math>a x + b y = d.</math> Hal ini dikarenakan bahwa [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>R a + R b</math> adalah ''principal'' dan sama dengan <math>R d.</math>
 
identitas Bézout yang berlaku dalam suatu domain integral disebut [[domain Bézout]].
memiliki sifat berikut:
* <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk ini;
* setiap angka dari formulir ini adalah kelipatan <math>d</math>.
 
== Sejarah ==
 
[[Matematikawan]]Seorang asalmatematikawan [[Orangberkebangsaan Prancis|Prancis]] yang bernama [[Étienne Bézout]] (1730–1783) membuktikan identitas iniBezout untuk polinomial.<ref>{{cite book |author=Bézout, É.|authorlink=Étienne Bézout|url=https://archive.org/details/bub_gb_RDEVAAAAQAAJ |title=Théorie générale des équations algébriques |place=Paris, France |publisher=Ph.-D. Pierres |year=1779}}</ref> NamunSayangnya, pernyataan untuk bilangan bulat ini sudah dapat ditemukan dalam karya ahlisebelumnya milik seorang matematikawan matematikaberkebangsaan Prancis lainnya, yang bernama [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]] (1581–1638).<ref>
{{cite book | last=Tignol | first=Jean-Pierre | title=Galois' Theory of Algebraic Equations | publisher=World Scientific| location=Singapore | year=2001 | isbn=981-02-4541-6}}
</ref><ref>
{{cite book|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|edition=2nd|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|year=1624|pages= 18–33|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|edition=2nd|pages=18–33}} Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Mengingat dua bilangan [yang] relatif prima, temukan kelipatan terendah dari masing-masing [sedemikian rupa sehingga] satu kelipatan melebihi yang lain dengan satu kesatuan (1).) Masalah ini, (yaitu, <math>ax - by = 1)</math>, adalah kasus khususistimewa dari persamaan Bézout, persamaan dantersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang munculditemukan padadi halaman 199 ff.
</ref><ref>
See also: {{cite journal|date=February 2009|author=Maarten Bullynck|title=Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany|doi=10.1016/j.hm.2008.08.009|journal=Historia Mathematica|volume=36|issue=1|pages=48–72|url=http://hal.inria.fr/docs/00/66/32/92/PDF/Gauss_Modular_Oct2008.pdf}}</ref>
 
== Lihat pula ==
* [[Teorema AF+BG]]
* [[Teorema AF+BG]], analog dari identitas Bézout untuk polinomial homogen dalam tiga tak tentu
* [[Teorema dasar aritmetika]]
* [[Lema Euklides|Lema Euklidean]]
 
== Catatan ==
{{Reflist|colwidth=30em}}
 
== Pranala luar ==
Baris 105 ⟶ 94:
{{Authority control}}
 
{{DEFAULTSORT:Identitas BezoutsBezout}}
[[Kategori:Persamaan Diophantus]]
[[Kategori:LemmaLema]]
[[Kategori:Artikel yang berisimemuat buktipembuktian]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Identitas_Bézout"