Identitas Bézout: Perbedaan antara revisi

Diberikan bilangan bulat taknol <math>a</math> dan <math>b</math>, dan misalkan <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \text{ dan } ax+by>0\}.</math> Himpunan <math>S</math> tidak kosong karena berisi <math>a</math> ataupun <math>-a</math> (dengan <math>x = \pm 1</math> dan <math>y = 0</math>). Karena <math>S</math> adalah himpunan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] takkosong, <math>S</math> memiliki anggota minimum <math>d = as + bt</math>, berdasarkan ''[[well-ordering principle]]''. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> adalah faktor persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, maka harus dibuktikan bahwa <math>d</math> adalah [[pembagi]] persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya <math>c</math>, maka <math>c \le d</math>.

Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jika<math display="block">\operatorname{FPB}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d,</math>maka akan terdapat bilangan bulat <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> sehingga <math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math> memiliki sifat berikut bahwa <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan <math>d</math>.

Karena [[Akar polinomial|akar]] dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial <math>a</math> dan <math>b</math> sehingga {{math|1=''af'' + ''bg'' = 1}} jika dan hanya jika {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} tidak memiliki akar di sebarang [[medanlapangan tertutup secara aljabar]] (biasanya di medanlapangan [[bilangan kompleks]]).

[[Kategori:Artikel yang berisimemuat buktipembuktian]]