Teorema Apollonius: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
RaFaDa20631 (bicara | kontrib) k Moving from Category:Artikel yang berisi bukti to Category:Artikel yang memuat pembuktian using Cat-a-lot |
||
| (3 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Apollonius' theorem.svg|jmpl|Visualisasi dari teorema Apollonius, total luas persegi berwarna merah <!-- AB^2 + AC^2 -->sama dengan dua kali lipat dari luas persegi panjang biru ditambah dengan luas persegi panjang hijau<!-- 2 (AD^2 + BD^2) -->.]]Dalam [[geometri]], '''teorema Apollonius''' adalah suatu [[teorema]] yang mengaitkan panjang [[Garis berat (geometri)|garis berat]] pada [[segitiga]] dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga <math>ABC</math>, jika <math>AD</math> merupakan sebuah garis berat, maka<math display="block">|AB|^2 + |AC|^2 = 2(|AD|^2+|BD|^2)</math>[[Berkas:Appolonius theorem.svg|jmpl|teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema Apollonius. Dalam ilustrasi ini, luas berwarna hijau akan sama akan sama dengan luas daerah berwarna merah]]
▲Ini adalah sebuah [[kasus khusus]] mengenai [[teorema Stewart]]. Untuk sebuah segitiga sama kaki dengan <math>|AB| = |AC|</math>, garis berat <math>AD</math> tegak lurus dengan <math>BC</math> dan teoremanya mereduksi ke [[teorema Pythagoras]] untuk segitiga <math>ADB</math> (atau segitiga <math>ADC</math>). Dari fakta bahwa diagonal [[jajar genjang]] membagi satu sama lain, teoremanya setara dengan [[Hukum jajaran genjang|hukum jajar genjang]].
▲Teorema ini dinamai untuk seorang matematikawan Yunani, [[Apollonius dari Perga]].
== Bukti ==
[[Berkas:ApolloniusTheoremProof.svg|jmpl|Bukti teorema Apollonius]]
Teorema
Misalkan segitiga memiliki sisi <math>a,b,c</math>, dengan sebuah [[Garis berat (geometri)|garis berat]] <math>d</math> digambar ke sisi <math>a</math>. Misalkan <math>m</math> menjadi panjang dari segmen <math>a</math> yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar <math>m</math> adalah setengah dari <math>a</math>. Misalkan pula sudut dibentuk di antara <math>a</math> dan <math>d</math>
▲Teorema tersebut dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus mengenai [[teorema Stewart]], atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat [[hukum jajaran genjang]]). Berikut ini merupakan sebuah bukti bebas menggunakan hukum kosinus.<ref>{{cite book|last1=Godfrey|first1=Charles|last2=Siddons|first2=Arthur Warry|year=1908|url=https://archive.org/details/bub_gb_LGsLAAAAYAAJ|title=Modern Geometry|publisher=University Press|page=[https://archive.org/details/bub_gb_LGsLAAAAYAAJ/page/n36 20]}}</ref>
▲Misalkan segitiga memiliki sisi <math>a,b,c</math> dengan sebuah [[Garis berat (geometri)|garis berat]] <math>d</math> digambar ke sisi <math>a</math>. Misalkan <math>m</math> menjadi panjang dari segmen <math>a</math> yang dibentuk oleh garis berat, jadi <math>m</math> adalah setengah dari <math>a</math>. Misalkan sudut dibentuk di antara <math>a</math> dan <math>d</math> menjadi <math>\theta</math> dan <math>\theta'</math>, dimana <math>\theta</math> termasuk <math>b</math> dan <math>\theta'</math> termasuk <math>c</math>. Maka <math>\theta'</math> adalah suplemen dari <math>\theta</math> dan <math>\cos \theta' = -\cos \theta</math>. Hukum kosinus untuk <math>\theta</math> dan <math>\theta'</math> menyatakan bahwa
:<math>\begin{align}
b^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta \\
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta' \\
&= m^2 + d^2 + 2dm\cos\theta\, \end{align}</math>
:<math>b^2 + c^2 = 2(m^2 + d^2)</math>
yakni teorema Apollonius itu sendiri.
== Referensi ==
Baris 41 ⟶ 31:
* David B. Surowski: [https://www.math.ksu.edu/~dbski/writings/further.pdf ''Advanced High-School Mathematics'']. hlm. 27
[[Kategori:Artikel yang
[[Kategori:Geometri Euklides]]
[[Kategori:Teorema mengenai segitiga]]
| |||