Teorema Euler: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 16 Januari 2020 16.53 sunting Arvita Yusmawar (bicara \| kontrib) 4 suntingan Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler ← Revisi sebelumnya		Revisi per 19 Agustus 2024 04.01 sunting balikkan RaFaDa20631 (bicara \| kontrib) Pengurus 94.541 suntingan k Moving from Category:Artikel yang berisi bukti to Category:Artikel yang memuat pembuktian using Cat-a-lot Revisi selanjutnya →
(17 revisi perantara oleh 8 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{short description\|Generalisasi teorema kecil Fermat ke modulus non-prima}} Dalam [[teori bilangan]], '''teorema Euler''' (juga dikenal sebagai '''teorema Fermat-Euler''') menyatakan bahwa jika ''n'' adalah [[bilangan bulat]] positif, dan ''a'' adalah [[prima relatif]] dengan ''n'', maka {{about\|Teorema Euler dalam teori bilangan\|\|Daftar topik yang dinamai menurut Leonhard Euler}} Dalam [[teori bilangan]], '''teorema Euler''' (juga dikenal sebagai '''teorema Fermat–Euler''' atau '''teorema total Euler''') menyatakan bahwa jika ''n'' dan ''a'' adalah [[Bilangan asli\|bilangan bulat positif]] yang saling [[koprima]], maka ''a'' pangkat fungsi phi Euler dari ''n'' akan kongruen dengan satu dalam [[aritmetika modular\|modulo]] ''n''. Secara matematis hal ini dapat dinyatakan sebagai : <math>a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}</math> ~~:''a''<sup>φ(''n'')</sup> = 1 ([[modular arithmetic\|mod]] ''n'')~~ ~~di mana φ(''n'') melambangkan [[fungsi phi Euler]].~~ ~~Biasa pula ditulis ⍉(m) = {x \| x < P dengan x = koprim dengan P}~~ dengan <math>\varphi(n)</math> adalah [[fungsi phi Euler]]. Pada tahun 1736, [[Leonhard Euler]] mempublikasikan bukti [[teorema kecil Fermat]] versinya,<ref>Lihat: * Leonhard Euler (diterbitkan: 2 Agustus 1736; diterbitkan: 1741) [https://books.google.com/books?id=-ssVAAAAYAAJ&pg=RA1-PA141#v=onepage&q&f=false "Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio"] (Bukti teorema tertentu tentang bilangan prima), ''Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae'', '''8''' : 141–146. * Untuk detail lebih lanjut tentang makalah ini, termasuk terjemahan bahasa Inggris, lihat: [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/54/ The Euler Archive].</ref> karena [[Pierre de Fermat\|Fermat]] tidak menyertakan bukti teorema tersebut. Selanjutnya, Euler menerbitkan bukti lain dari teorema tersebut, yang berpuncak pada "Teorema Euler" dalam penelitiannya tahun 1763, di mana ia mencoba untuk menemukan eksponen terkecil sehinga teorema kecil Fermat selalu bernilai benar.<ref>Lihat: L. Euler (published: 1763) [https://books.google.com/books?id=5uEAAAAAYAAJ&pg=PA74#v=onepage&q&f=false "Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata"] (Bukti metode baru dalam teori aritmetika), ''Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae'', '''8''' : 74–104. Teorema Euler muncul sebagai "Teorema 11" pada halaman 102. Makalah ini pertama kali dipresentasikan ke Akademi Berlin pada 8 Juni 1758 dan ke Akademi St. Petersburg pada 15 Oktober 1759. Dalam makalah ini, fungsi total Euler, <math>\varphi(n)</math>, tidak dinamai tetapi disebut sebagai "numerus partium ad ''N'' primarum" (jumlah bagian prima ke ''N''; yaitu, jumlah bilangan asli yang lebih kecil dari ''N'' dan relatif prima sampai ''N'') Untuk detail lebih lanjut tentang makalah ini, lihat: [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E271.html The Euler Archive]. Untuk review pekerjaan Euler selama bertahun-tahun yang mengarah ke teorema Euler, lihat: [http://people.wcsu.edu/sandifere/History/Preprints/Talks/Rowan%202005%20Euler's%20three%20proofs.pdf Ed Sandifer (2005) "Euler's proof of Fermat's little theorem"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20060828195053/http://people.wcsu.edu/sandifere/History/Preprints/Talks/Rowan%202005%20Euler%27s%20three%20proofs.pdf \|date=2006-08-28 }}</ref> Kebalikan dari teorema Euler: jika kekongruenan di atas benar, maka <math>a</math> dan <math>n</math> saling koprima. Untuk kasus <math>n</math> adalah suatu bilangan prima <math>p</math>, teorema Euler adalah perumuman dari [[teorema kecil Fermat]]. Pada kasus ini, nilai <math>\varphi(p)=p-1</math>, dan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan <math>a</math>, teorema Euler dapat ditulis sebagai : <math>a^p \equiv p \pmod{p}</math> Teorema Euler juga dapat diperumum lebih lanjut dengan [[Fungsi Carmichael\|teorema Carmichael]]. 1 Teorema Euler dapat digunakan untuk mengurangi nilai pangkat yang besar pada modulo <math>n</math>. Misalnya, anggap kita perlu untuk mencari digit desimal tempat satuan dari <math>7^{222}</math>, dengan kata lain, mencari nilai dari <math>7^{222} \pmod{10}</math>. Kita dapat mencari bahwa nilai <math>\varphi(10) = 4</math>, dan mengetahui angka 7 dan 10 saling koprima. Selanjutnya, dengan menggunakan teorema Euler didapatkan <math>7^4 \equiv 1 \pmod{10}</math>. Selanjutnya kita tinggal menyederhanakan bentuk <math>7^{222} \pmod{10}</math> seperti berikut ~~{{DEFAULTSORT:Euler}}~~ ~~{{matematika-stub}}~~ : <math>7^{222} \equiv 7^{4 \times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55} \times 7^2 \equiv 1^{55} \times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}</math>. ~~[[Kategori:Teorema matematika]]~~ Secara umum, mengurangi nilai pangkat dari <math>a</math> pada modulo <math>n</math> (dengan <math>a</math> dan <math> n </math> saling koprima), kita cukup bekerja pada modulo <math>\varphi(n)</math> dalam perpangkatan <math>a</math>: : jika <math>x \equiv y \pmod{\varphi(n)}</math>, maka <math>a^x \equiv a^y \pmod{n}</math>. Teorema Euler menjadi dasar [[RSA\|algoritma RSA]], yang banyak digunakan dalam sistem komunikasi di [[Internet]]. Dalam algoritma ini, teorema Euler digunakan bersama sebuah bilangan {{mvar\|n}} yang merupakan hasil kali dari dua [[bilangan prima]] besar. Tingkat keamanan algoritma tersebut didasarkan pada tingkat kesulitan untuk [[faktorisasi bilangan bulat\|memfaktorkan]] bilangan {{mvar\|n}}. == Bukti == Terdapat beberapa cara untuk membuktikan Teorema Euler, berikut dua diantaranya. === Teori grup === Teorema Euler dapat dibuktikan dengan menggunakan konsep dari [[grup (matematika)\|teori grup]]:<ref>Ireland & Rosen, corr. 1 to prop 3.3.2</ref> Kelas residu modulo {{mvar \| n}} yang coprime untuk {{mvar \| n}} membentuk kelompok dalam perkalian (lihat artikel [[grup perkalian bilangan bulat modulo N\|Grup perkalian bilangan bulat modulo {{mvar\|''n''}}]]). [[Urutan (teori grup)\|urutan]] dari grup adalah {{math\|''φ''(''n'')}}. [[Teorema Lagrange (teori grup)\|Teorema Lagrange]] urutan subgrup dari sebuah [[grup hingga]] membagi urutan seluruh grup, dalam hal ini {{math\|''φ''(''n'')}}. Jika {{mvar\|a}} bilangan [[koprima]] sampai {{mvar\|n}} maka {{mvar\|a}} salah satu kelas residu, dan pangkat {{math\|''a'', ''a''{{sup\|2}}, ... , ''a''{{sup\|''k''}}}} modulo {{mvar\|n}} subgrup dari grup kelas residu, dengan {{math\|''a''{{sup\|''k''}} &equiv; 1 (mod ''n'')}}. Teorema Lagrange mengatakan {{mvar\|k}} harus membagi {{math\|''φ''(''n'')}}, yaitu bilangan bulat {{mvar\|M}} sedemikian rupa sehingga {{math\|''kM'' {{=}} ''φ''(''n'')}}. Ini kemudian menyiratkan, :<math>a^{\varphi(n)} = a^{kM} = (a^{k})^M \equiv 1^M =1 \equiv 1 \pmod{n}.</math> === Bukti langsung === Teorema Euler juga dapat dibuktikan secara langsung:<ref>Hardy & Wright, thm. 72</ref><ref>Landau, thm. 75</ref> Anggap {{math\|''R'' {{=}} {{(}}''x''{{sub\|1}}, ''x''{{sub\|2}}, ... , ''x''{{sub\|''φ''(''n'')}}{{)}}}} sebagai [[sistem residu yang dikurangi]] ({{math\|mod ''n''}}) dan biarkan {{mvar\|a}} koprima bilangan bulat {{mvar\|n}}. Buktinya bergantung dasar bahwa perkalian dengan {{mvar\|a}} yaitu {{mvar\|x{{sub\|i}}}}: dengan kata, jika {{math\|''ax{{sub\|j}}'' &equiv; ''ax{{sub\|k}}'' (mod ''n'')}} maka {{math\|''j'' {{=}} ''k''}}. (Hukum pembatalxan ini dibuktikan dalam artikel [[Grup perkalian bilangan bulat modulo N#Aksioma grup\|Grup perkalian bilangan bulat modulo {{mvar\|''n''}}]].<ref>Lihat [[lemma Bézout]]</ref>) Yaitu, himpunan {{mvar\|R}} dan {{math\|''aR'' {{=}} {{(}}''ax''{{sub\|1}}, ''ax''{{sub\|2}}, ... , ''ax''{{sub\|''φ''(''n'')}}{{)}}}}, dianggap sebagai himpunan kelas ({{math\|mod ''n''}}), identik (sebagai himpunan), jadi produk dari semua bilangan di {{mvar\|R}} kongruen ({{math\|mod ''n''}}) ke produk dari bilangan {{mvar\|aR}}: :<math> \prod_{i=1}^{\varphi(n)} x_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(n)} ax_i = a^{\varphi(n)}\prod_{i=1}^{\varphi(n)} x_i \pmod{n}, </math> dan menggunakan hukum pembatalan untuk {{mvar\|x{{sub\|i}}}} dari teorema Euler: :<math> a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod{n}. </math> == Hasil bagi Euler == Hasil bagi Euler dari bilangan bulat ''a'' dengan ''n'' didefinisikan sebagai: :<math>q_n(a)=\frac{a^{\varphi(n)}-1}{n}</math> [[Hasil bagi Fermat]] adalah kasus khusus dari hasil bagi Euler ketika ''n'' berupa bilangan prima. Bilangan ganjil ''n'' yang membagi <math>q_n(2)</math> disebut [[bilangan Wieferich]]. Hal tersebut setara dengan mengatakan <math>2^{\varphi(n)} \equiv 1 \ \ (\text{mod}\, n^2)</math>. Sebagai perumuman, sebuah bilangan ''n'' yang koprima dengan bilangan bulat positif ''a'', dan ''n'' membagi <math>q_n(a)</math>, disebut bilangan Wieferich (yang diperumum) pada basis ''a''. Dengan kata lain, bilangan tersebut memenuhi <math>a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ \ (\text{mod}\, n^2)</math>. Berikut adalah daftar bilangan Wieferich pada basis <math>a</math>, untuk <math>a=1\dots30</math>, yang dicari sampai 1048576. {\| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" \|<math>a</math> \|Bilangan Wieferich pada basis <math>a</math> \|Barisan [[OEIS]] \|- \|1 \|1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, ... (all natural numbers) \|{{OEIS link\|id=A000027}} \|- \|2 \|1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, 1232361, 2053935, 2685501, 3697083, 3837523, 6161805, 11512569, ... \|{{OEIS link\|id=A077816}} \|- \|3 \|1, 11, 22, 44, 55, 110, 220, 440, 880, 1006003, 2012006, 4024012, 11066033, 22132066, 44264132, 55330165, 88528264, 110660330, 221320660, 442641320, 885282640, 1770565280, 56224501667, 112449003334, ... \|{{OEIS link\|id=A242958}} \|- \|4 \|1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, ... \| \|- \|5 \|1, 2, 20771, 40487, 41542, 80974, 83084, 161948, 643901, 1255097, 1287802, 1391657, 1931703, 2510194, 2575604, 2783314, 3765291, 3863406, 4174971, 5020388, 5151208, 5566628, 7530582, 7726812, 8349942, 10040776, 11133256, 15061164, 15308227, 15453624, 16699884, ... \|{{OEIS link\|id=A242959}} \|- \|6 \|1, 66161, 330805, 534851, 2674255, 3152573, 10162169, 13371275, 50810845, 54715147, 129255493, 148170931, 254054225, 273575735, 301121113, 383006029, 646277465, ... \|{{OEIS link\|id=A241978}} \|- \|7 \|1, 4, 5, 10, 20, 40, 80, 491531, 983062, 1966124, 2457655, 3932248, 4915310, 6389903, 9339089, 9830620, 12288275, 12779806, 18678178, 19169709, 19661240, 24576550, 25559612, ... \|{{OEIS link\|id=A242960}} \|- \|8 \|1, 3, 1093, 3279, 3511, 7651, 9837, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 206577, 228215, 284391, 298389, 383643, 410787, 473985, 684645, 895167, ... \| \|- \|9 \|1, 2, 4, 11, 22, 44, 55, 88, 110, 220, 440, 880, 1760, 1006003, ... \| \|- \|10 \|1, 3, 487, 1461, 4383, 13149, 39447, 118341, 355023, 56598313, 169794939, 509384817, ... \|{{OEIS link\|id=A241977}} \|- \|11 \|1, 71, 142, 284, 355, 497, 710, 994, 1420, 1491, 1988, 2485, 2840, 2982, 3976, 4970, 5680, 5964, 7455, 9940, 11928, 14910, 19880, 23856, 29820, 39760, 59640, 79520, 119280, 238560, 477120, ... \|{{OEIS link\|id=A253016}} \|- \|12 \|1, 2693, 123653, 1812389, 2349407, 12686723, 201183431, 332997529, ... \|{{OEIS link\|id=A245529}} \|- \|13 \|1, 2, 863, 1726, 3452, 371953, 743906, 1487812, 1747591, 1859765, 2975624, 3495182, 3719530, 5242773, 6990364, 7439060, 8737955, 10485546, 14878120, 15993979, 17475910, 20971092, 26213865, 29756240, 31987958, 34951820, 41942184, 47981937, 52427730, 59512480, ... \|{{OEIS link\|id=A257660}} \|- \|14 \|1, 29, 353, 3883, 10237, 19415, 112607, 563035, ... \| \|- \|15 \|1, 4, 8, 29131, 58262, 116524, 233048, 466096, ... \| \|- \|16 \|1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, 127881, 136929, 157995, 228215, 298389, 410787, 473985, 684645, 895167, ... \| \|- \|17 \|1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48, 46021, 48947, 92042, 97894, 138063, 146841, 184084, 195788, 230105, 276126, 293682, 368168, 391576, 414189, 460210, 552252, 587364, 598273, 690315, 736336, 783152, 828378, 920420, ... \| \|- \|18 \|1, 5, 7, 35, 37, 49, 185, 245, 259, 331, 1295, 1655, 1813, 2317, 3641, 8275, 9065, 11585, 12247, 16219, 18205, 25487, 33923, 57925, 61235, 81095, 85729, 91025, 127435, 134717, 169615, 178409, 237461, 306175, 405475, 428645, 455125, 600103, 637175, 673585, 892045, 943019, ... \| \|- \|19 \|1, 3, 6, 7, 12, 13, 14, 21, 26, 28, 39, 42, 43, 49, 52, 63, 78, 84, 86, 91, 98, 104, 117, 126, 129, 137, 147, 156, 168, 172, 182, 196, 234, 252, 258, 273, 274, 294, 301, 312, 364, 387, 411, 441, 468, 504, 516, 546, 548, 559, 588, 602, 624, 637, 728, 774, 819, 822, 882, 903, 936, 959, 1032, 1092, 1096, 1118, 1176, 1204, 1274, 1456, 1548, 1638, 1644, 1677, 1764, 1781, 1806, 1872, 1911, 1918, 2107, 2184, 2192, 2236, 2329, 2408, 2457, 2548, 2709, 2877, 3096, 3276, 3288, 3354, 3528, 3562, 3612, 3822, 3836, 3913, 4214, 4368, 4472, 4658, 4914, 5031, 5096, 5343, 5418, 5733, 5754, 5891, 6321, 6552, 6576, 6708, 6713, 6987, 7124, 7224, 7644, 7672, 7826, 8127, 8428, 8631, 8736, 8944, 9316, 9828, 10062, 10192, 10686, 10836, 11466, 11508, 11739, 11782, 12467, 12642, 13104, 13152, 13416, 13426, 13974, 14248, 14448, 14749, 15093, 15288, 15344, 15652, 16029, 16254, 16303, 16856, 17199, 17262, 17673, 18632, 18963, 19656, 20124, 20139, 21372, 21672, 22932, 23016, 23478, 23564, 24934, 25284, 26208, 26832, 26852, 27391, 27948, 28496, 29498, 30186, 30277, 30576, 30688, 31304, 32058, 32508, 32606, 34398, 34524, 35217, 35346, 37264, 37401, 37926, 39312, 40248, 40278, 41237, 42744, 43344, 44247, 45864, 46032, 46956, 47128, 48909, 49868, 50568, 53019, 53664, 53704, 54782, 55896, 56889, 56992, 58996, 60372, 60417, 60554, 61152, 62608, 64116, 65016, 65212, 68796, 69048, 70434, 70692, 74528, 74802, 75852, 76583, 78624, 80496, 80556, 82173, 82474, 85488, 87269, 88494, 90831, 91728, 92064, 93912, 94256, 97818, 99736, 100147, 101136, 105651, 106038, 107408, 109564, 111792, 112203, 113778, 113984, 114121, 117992, 120744, 120834, 121108, 123711, 125216, 128232, 130032, 130424, 132741, 137592, 138096, 140868, 141384, 146727, 149056, 149604, 151704, 153166, 160992, 161112, 164346, 164948, 170976, 174538, 176988, 181662, 183456, 184128, 187824, 188512, 191737, 195636, 199472, 200294, 211302, 211939, 212076, 214816, 219128, 223584, 224406, 227556, 228242, 229749, 241488, 241668, 242216, 246519, 247422, 256464, 260848, 261807, 265482, 272493, 275184, 276192, 281736, 282768, 288659, 293454, 298112, 299208, 300441, 303408, 306332, 316953, 322224, 328692, 329896, 336609, 341952, 342363, 349076, 353976, 363324, 371133, 375648, 383474, 391272, 398223, 398944, 400588, 422604, 423878, 424152, 438256, 447168, 448812, 455112, 456484, 459498, 482976, 483336, 484432, 493038, 494844, 512928, 521696, 523614, 530964, 536081, 544986, 550368, 552384, 563472, 565536, 575211, 577318, 586908, 596224, 598416, 600882, 612664, 633906, 635817, 644448, 657384, 659792, 673218, 683904, 684726, 689247, 698152, 701029, 707952, 726648, 739557, 742266, 751296, 766948, 782544, 785421, 796446, 797888, 801176, 845208, 847756, 848304, 865977, 876512, 894336, 897624, 901323, 910224, 912968, 918996, 966672, 968864, 986076, 989688, 1025856, 1027089, 1043392, 1047228, ... \| \|- \|20 \|1, 281, 1967, 5901, 46457, ... \| \|- \|21 \|1, 2, ... \| \|- \|22 \|1, 13, 39, 673, 2019, 4711, 8749, 14133, 26247, 42399, 61243, 78741, 183729, 551187, ... \| \|- \|23 \|1, 4, 13, 26, 39, 52, 78, 104, 156, 208, 312, 624, 1248, ... \| \|- \|24 \|1, 5, 25633, 128165, ... \| \|- \|25 \|1, 2, 4, 20771, 40487, 41542, 80974, 83084, 161948, 166168, 323896, 643901, ... \| \|- \|26 \|1, 3, 5, 9, 15, 45, 71, 213, 355, 497, 639, 1065, 1491, 1775, 2485, 3195, 4473, 5325, 7455, 12425, 13419, 15975, 22365, 37275, 67095, 111825, 335475, ... \| \|- \|27 \|1, 11, 22, 44, 55, 110, 220, 440, 880, 1006003, ... \| \|- \|28 \|1, 3, 9, 19, 23, 57, 69, 171, 207, 253, 437, 513, 759, 1265, 1311, 1539, 2277, 3795, 3933, 4807, 11385, 11799, 14421, 24035, 35397, 43263, 72105, 129789, 216315, 389367, 648945, ... \| \|- \|29 \|1, 2, ... \| \|- \|30 \|1, 7, 160541, ... \| \|} Basis terkecil dari <math>a > 1</math> sehingga <math>n</math> merupakan bilangan Wieferich termuat dalam barisan :2, 5, 8, 7, 7, 17, 18, 15, 26, 7, 3, 17, 19, 19, 26, 31, 38, 53, 28, 7, 19, 3, 28, 17, 57, 19, 80, 19, 14, 107, 115, 63, 118, 65, 18, 53, 18, 69, 19, 7, 51, 19, 19, 3, 26, 63, 53, 17, 18, 57, ... {{OEIS\|id=A250206}} == Lihat pula == [[Fungsi Carmichael]] * [[Kriteria Euler]] * [[Teorema kecil Fermat]] * [[Teorema Wilson]] == Catatan == {{reflist\|2}} == Referensi == ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' telah diterjemahkan dari [[bahasa Latin]] Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan [[Jerman]]. Edisi Jerman mencakup semua makalahnya tentang teori bilangan: semua bukti tentang ''reciprocity'' kuadrat, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan tentang ''biquadratic reciprocity'', dan catatan yang tidak diterbitkan. {{divcol\|colwidth=30em}} {{refbegin}} {{citation \| last1 = Gauss \| first1 = Carl Friedrich \| last2 = Clarke \| first2 = Arthur A. (translated into English) \| title = Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition) \| publisher = [[Springer Publishing\|Springer]] \| location = New York \| date = 1986 \| isbn = 0-387-96254-9}} {{citation \| last1 = Gauss \| first1 = Carl Friedrich \| last2 = Maser \| first2 = H. (translated into German) \| title = Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition) \| publisher = Chelsea \| location = New York \| date = 1965 \| isbn = 0-8284-0191-8}} {{citation \|last1 = Hardy \|first1 = G. H. \|last2 = Wright \|first2 = E. M. \|title = An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition) \|publisher = [[Oxford University Press]] \|location = Oxford \|date = 1980 \|isbn = 978-0-19-853171-5 \|url-access = registration \|url = https://archive.org/details/introductiontoth00hard }} {{citation \| last1 = Ireland \| first1 = Kenneth \| last2 = Rosen \| first2 = Michael \| title = A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition) \| publisher = [[Springer Science+Business Media\|Springer]] \| location = New York \| date = 1990 \| isbn = 0-387-97329-X}} {{citation \| last1 = Landau \| first1 = Edmund \| title = Elementary Number Theory \| publisher = Chelsea \| location = New York \| date = 1966}} {{refend}} {{div col end}} == Pranala luar == {{mathworld\|EulersTotientTheorem\|Euler's Totient Theorem}} * [http://planetmath.org/eulerfermattheorem Euler-Fermat Theorem] at [http://planetmath.org PlanetMath] {{Portal bar\|Matematika}} {{Leonhard Euler}} [[Kategori:Aritmetika modular]] [[Kategori:Teorema dalam teori bilangan]] [[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]] [[Kategori:Leonhard Euler]]