Bilangan besar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Penggantian teks otomatis (- + ) |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (20 revisi perantara oleh 8 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
<div style="margin-left:40px">''Untuk melihat nama-nama bilangan besar lihat: [[daftar bilangan besar]], untuk melihat bagaimana bilangan ini diberi nama dan dibedakan lihat:[[nama-nama bilangan besar]].''</div>
'''Bilangan besar''' adalah bilangan yang secara signifikan lebih besar dari [[bilangan]] biasa yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari seperti: perhitungan dasar atau transaksi keuangan. Bilangan besar sering muncul didalam [[matematika]], [[kosmologi]], [[astronomi]], [[kriptografi]] dan [[mekanika statistika]]. Bilangan-bilangan tersebut biasanya berupa [[bilangan bulat]] positif besar, atau lebih umum lagi, [[bilangan riil]] positif besar, tetapi bisa juga berupa bilangan lain dalam konteks lain. '''[[Googologi]]''' adalah studi tentang nomenklatur dan sifat-sifat bilangan besar.<ref>{{Cite web|title=One Million Things - A Visual Encyclopedia|url=http://www.mediafire.com/file/45j4oovzgleux3r/One_Million_Things_-_A_Visual_Encyclopedia.pdf/file|website=MediaFire|language=en-US|access-date=2024-08-15}}</ref><ref>{{Cite book|last=Nowlan|first=Robert A.|date=2017-05-13|url=https://books.google.com/books?id=Y87bDgAAQBAJ&pg=PA220|title=Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them|publisher=Springer|isbn=978-94-6300-893-8|language=en}}</ref>{{Butuh sumber yang lebih baik}}
== Notasi ilmiah untuk bilangan besar dan kecil ==
[[Notasi ilmiah]] diciptakan untuk menangani berbagai macam nilai yang terjadi dalam studi ilmiah. 1,0 × 10<sup>9</sup>, misalnya, berarti satu miliar, atau angka 1 yang diikuti oleh sembilan angka nol: 1.000.000.000. Kebalikannya, 1,0 × 10-9, berarti sepersatu miliar, atau 0,000 000 001. Menulis 10<sup>9</sup>, dan bukan sembilan angka nol, akan menghemat tenaga pembaca, dan menghindari bahaya menghitung deretan angka nol yang panjang untuk mengetahui seberapa besar angka tersebut. Selain notasi ilmiah (pangkat 10), contoh-contoh berikut ini mencakup nomenklatur sistematis ([[Skala panjang dan pendek|skala pendek]]) untuk bilangan besar.
== Bilangan besar dalam dunia sehari-hari ==
Contoh bilangan besar yang menggambarkan objek dunia nyata sehari-hari meliputi:
* Jumlah [[Sel (biologi)|sel]] dalam tubuh [[manusia]] diperkirakan mencapai 3,72 × 10<sup>13</sup>, atau 37,2 triliun<ref>{{Cite journal|last1=Bianconi|first1=Eva|last2=Piovesan|first2=Allison|last3=Facchin|first3=Federica|last4=Beraudi|first4=Alina|last5=Casadei|first5=Raffaella|last6=Frabetti|first6=Flavia|last7=Vitale|first7=Lorenza|last8=Pelleri|first8=Maria Chiara|last9=Tassani|first9=Simone|date=Nov–Dec 2013|title=An estimation of the number of cells in the human body|journal=Annals of Human Biology|volume=40|issue=6|pages=463–471|doi=10.3109/03014460.2013.807878|issn=1464-5033|pmid=23829164|hdl=11585/152451 |s2cid=16247166|doi-access=free}}</ref>
* Jumlah [[Bit (satuan)|bit]] pada [[Cakram keras|''<span lang="en" dir="ltr">hard disk</span>'']] [[komputer]] pada tahun 2024, biasanya mencapai sekitar 10<sup>13</sup>, 1-2 TB, atau 10 triliun
* Jumlah koneksi [[sel saraf]] di otak manusia diperkirakan mencapai 10<sup>14</sup>, atau 100 triliun
* [[Bilangan Avogadro|Konstanta Avogadro]] adalah jumlah “entitas elementer” biasanya atom atau molekul dalam satu [[mol]]; jumlah atom dalam 12 gram [[karbon-12]] - sekitar 6,022 × 10<sup>23</sup>, atau 602,2 [[sekstiliun]].
* Jumlah total pasangan basa [[Asam deoksiribonukleat|DNA]] dalam seluruh [[biomassa]] di [[Bumi]], sebagai perkiraan keanekaragaman hayati global, diperkirakan mencapai (5,3 ± 3,6) × 10<sup>37</sup>, atau 53 ± 36 sekoniliun<ref>{{cite journal | vauthors = Landenmark HK, Forgan DH, Cockell CS | title = An Estimate of the Total DNA in the Biosphere | journal = PLOS Biology | volume = 13 | issue = 6 | pages = e1002168 | date = June 2015 | pmid = 26066900 | pmc = 4466264 | doi = 10.1371/journal.pbio.1002168 | doi-access = free }}</ref><ref name="NYT-20150718-rn">{{cite news |last=Nuwer |first=Rachel | author-link=Rachel Nuwer | name-list-style = vanc |date=18 July 2015 |title=Counting All the DNA on Earth |url=https://www.nytimes.com/2015/07/21/science/counting-all-the-dna-on-earth.html |work=The New York Times |location=New York |issn=0362-4331 |access-date=2015-07-18}}</ref><!--- PLOS paper cited by NYT used 'tonne' unit. --->
* [[Massa]] Bumi terdiri dari sekitar 4 × 10<sup>51</sup>, atau 4 seksdesiliun, nukleon
* Perkiraan jumlah atom di [[alam semesta teramati]] 10<sup>80</sup>, atau 100 quinvigintiliun
* Batas bawah pada kompleksitas pohon permainan catur, juga dikenal sebagai “bilangan Shannon” diperkirakan mencapai sekitar 10<sup>120</sup>, atau 1 novemtrigintiliun<ref>{{cite journal | author = Shannon, Claude | title = XXII. Programming a Computer for Playing Chess | journal = Philosophical Magazine | series = Series 7 | volume = 41 | issue = 314 | date = March 1950 | url = http://archive.computerhistory.org/projects/chess/related_materials/text/2-0%20and%202-1.Programming_a_computer_for_playing_chess.shannon/2-0%20and%202-1.Programming_a_computer_for_playing_chess.shannon.062303002.pdf | author-link = Claude Shannon | access-date = 2019-01-25 | archive-url = https://web.archive.org/web/20100706211229/http://archive.computerhistory.org/projects/chess/related_materials/text/2-0%20and%202-1.Programming_a_computer_for_playing_chess.shannon/2-0%20and%202-1.Programming_a_computer_for_playing_chess.shannon.062303002.pdf | archive-date = 2010-07-06 | url-status = dead }}</ref>
==
Angka-angka besar lainnya terkait panjang dan waktu ditemukan dalam [[astronomi]] dan [[kosmologi]]. Sebagai contoh, model [[Ledakan Dahsyat|''<span lang="en" dir="ltr">Big Bang</span>'']] saat ini menunjukkan bahwa [[alam semesta]] berusia 13,8 miliar tahun (4,355 × 10<sup>17</sup> detik), dan [[Alam semesta teramati|alam semesta yang dapat diamati]] memiliki luas 93 miliar [[tahun cahaya]] (8,8 × 10<sup>26</sup> meter), dan mengandung sekitar 5 × 10<sup>22</sup> bintang, yang tersusun dalam sekitar 125 miliar (1,25 × 10<sup>11</sup>) [[galaksi]], berdasarkan pengamatan [[Teleskop Luar Angkasa Hubble]]. Ada sekitar 10<sup>80</sup> [[atom]] di alam semesta yang dapat diamati, menurut perkiraan kasar.
Menurut Don Page, fisikawan di University of Alberta, Kanada, waktu terbatas terpanjang yang sejauh ini telah dihitung secara eksplisit oleh fisikawan mana pun adalah:
<math>\displaystyle {10^ {10^ {10^ {10^ {10^ {1.1 }}}}} tahun}</math>
* <math>10^{10}</math> <small>(10,000,000,000)</small>, disebut "sepuluh miliar" dalam [[bahasa Indonesia]] ([[Skala panjang dan pendek|skala panjang]]) atau "sepuluh biliun" ([[Skala panjang dan pendek|skala pendek]]).
* Seksdesiliar = <math>10^{99}</math> dikenal juga sebagai duotrigintiliun.
* ''[[Googol]]'' = <math>10^{100}.</math>
* [[
* [[Bilangan Smith]] terbesar yang diketahui = (10<sup>1031</sup>−1) × (10<sup>4594</sup> + 3{{E|2297}} + 1)<sup>1476</sup> {{E|3913210}}
* [[Bilangan prima Mersenne]] terbesar yang diketahui = <math>2^{77,232,917}-1</math> [https://www.mersenne.org/primes/press/M77232917.html (''pada tanggal 3 Januari 2018'')]
* ''[[Googolplex]]'' = <math>10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}</math>
* [[
*
== Standar sistem penulisan ==
Cara standar untuk menulis bilangan besar memungkinkan untuk dengan mudah diurutkan sesuai dengan seberapa besar bilangan itu, sekaligus kita bisa mendapatkan gambaran yang baik tentang seberapa besar suatu bilangan dibandingkan dengan bilangan yang lain.
Untuk membandingkan bilangan dalam notasi ilmiah, misalnya 5×10<sup>4</sup> dan 2×10<sup>5</sup>, bandingkan [[Eksponensiasi|eksponennya]] terlebih dahulu, dalam hal ini eksponen 5 > 4, jadi 2×10<sup>5</sup> > 5×10<sup>4</sup>. Jika eksponennya sama, maka yang dibaningkan adalah mantissa atau [[Koefisien|koefisiennya]], jadi 5×10<sup>4</sup> > 2×10<sup>4</sup> karena 5 > 2.
Tetrasi desimal memberikan urutan <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow n = 10 \to n \to 2 =(10 \uparrow)^n 1}</math> pangkat dari bilangan 10, dimana <math>\displaystyle {(10 \uparrow)^n}</math> menyatakan pangkat fungsional dari fungsi <math>\displaystyle {f(n)= 10^n }</math> (fungsi ini juga memiliki akhiran “-plex” seperti pada googolplex, lihat [[Nama-nama bilangan besar|keluarga googol]]).
Ini adalah angka yang sangat bulat, masing-masing mewakili urutan besarnya dalam pengertian umum. Cara kasar untuk menentukan seberapa besar sebuah angka adalah dengan menentukan di antara dua angka mana dalam urutan ini.
Lebih tepatnya, angka di antaranya dapat dinyatakan dalam bentuk <math>\displaystyle {(10 \uparrow)^na}</math> dengan [[Eksponensiasi|pangkat]] 10, dan angka di bagian atas, dapat dilakukan dengan [[notasi ilmiah]], misalnya <math>\displaystyle {10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}} = (10 \uparrow)^5 4.829}</math>, sebuah angka diantara <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 5}</math> dan <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 6}</math>. (harap diingat bahwa <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow n < (10 \uparrow)^na < 10 \uparrow \uparrow (n+1)}</math> jika nilai '''a''' lebih dari 1 dan kurang dari 10 atau <math>\displaystyle {1<a<10}</math>. (lihat juga [[Notasi anak panah Knuth|notasi anak panah knuth]] untuk penjelasan lebih rinci)
Dengan demikian bilangan [[googolplex]] dapat ditulis seperti ini <math>\displaystyle {10^{10^{100}} = (10 \uparrow)^{2}100 = (10 \uparrow)^32}</math>
atau contoh lain seperti:
<math>\displaystyle {2 \uparrow \uparrow \uparrow 4 = {\begin{matrix} \underbrace {2^{2^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}} \\\qquad \quad \mbox{2 setinggi 65.536 tingkat} \end{matrix} \approx} (10 \uparrow)^{65.531}(6 \times 10^{19.729})\approx (10 \uparrow)^{65.533}4.3} </math> bilangan yang nilainya diantara <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 65.533 \mbox{ dan } 10 \uparrow \uparrow 65.534}</math>
Jadi, {{tooltip|tingkat besaran|tingkat besaran adalah cara untuk mengukur skala atau ukuran suatu bilangan. Biasanya, kita mengukur dalam kelipatan 10, misalnya 10, 100, 1000, dan seterusnya. Namun, teks ini membahas konsep tingkat besaran untuk bilangan yang sangat besar. Di sini, kita menggunakan logaritma basis 10 untuk memahami seberapa besar suatu bilangan.|style=color:blue}} dari sebuah bilangan (pada skala yang lebih besar dari biasanya) dapat ditentukan oleh jumlah kali (n) kita harus mengambil {{Tooltip|logaritma basis 10|Untuk menentukan tingkat besaran dari sebuah bilangan besar, kita terus-menerus mengambil logaritma basis 10 dari bilangan tersebut sampai hasilnya berada di antara 1 dan 10.
n adalah jumlah kali kita harus mengambil logaritma tersebut sampai hasil akhirnya berada di antara 1 dan 10.|style=color:blue}} (<math>\displaystyle {\log_{10}}</math>)sampai mendapatkan bilangan yang berada antara 1 dan 10. Dengan demikian, bilangan tersebut berada di antara <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow n \mbox{ sampai } 10 \uparrow \uparrow (n+1)}</math>. Sebagaimana dijelaskan, deskripsi yang lebih tepat dari sebuah bilangan juga harus menentukan nilai bilangan tersebut di antara 1 dan 10, atau bilangan sebelumnya (dengan mengambil logaritma satu kali lebih sedikit) antara 10 dan 10<sup>10</sup>, atau berikutnya, antara 0 dan 1.
harap diingat bahwa <math>\displaystyle {10^{(10 \uparrow)^nx} = (10 \uparrow)^n10^x}</math>
Jika sebuah angka x terlalu besar untuk sebuah representasi
<math>\displaystyle {(10 \uparrow)^nx }</math> menara pangkat dapat dibuat satu tingkat lebih tinggi, menggantikan x dengan <math>\displaystyle {\log_{10} x}</math>, atau mencari x dari representasi menara yang lebih rendah dari log<sub>10</sub> bilangan bulat. Jika menara pangkat berisi satu atau lebih bilangan yang berbeda dari 10, kedua pendekatan ini akan menghasilkan hasil yang berbeda, sesuai dengan fakta bahwa memperpanjang menara pangkat dengan 10 di bagian bawah tidak sama dengan memperpanjangnya dengan 10 di bagian atas (tetapi, tentu saja, pernyataan yang sama berlaku jika seluruh menara pangkat terdiri dari salinan bilangan yang sama, yang berbeda dari 10).
Jika tinggi menara besar, berbagai representasi untuk angka besar dapat diterapkan pada ketinggian itu sendiri. Jika ketinggiannya hanya diberikan secara kira-kira, memberikan nilai di bagian atas tidak masuk akal, sehingga notasi panah ganda (misalnya: <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow (7,21 \times 10^8)}</math> ) dapat digunakan. Jika nilai setelah tanda panah ganda merupakan angka yang sangat besar, maka cara di atas dapat diterapkan secara rekursif pada nilai tersebut.
Contoh:
<math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 10^{10^{10^{3,81 \times 10^{17}}}}}</math> berada diantara <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow \uparrow 2 \mbox{ dan } 10 \uparrow \uparrow \uparrow 3}</math>.
<math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow 10 \uparrow \uparrow (10 \uparrow)^{497}(9,73 \times 10 ^ {32}) = (10 \uparrow \uparrow )^2 (10 \uparrow)^497 (9,73 \times 10 ^ {32}) } </math> berada diantara <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow \uparrow 4 }</math> dan <math>\displaystyle {10 \uparrow \uparrow \uparrow 5}</math>.
=== Contoh penggunaan ===
Bilangan yang mampu direpresentasikan dengan desimal biasa:
* 2<sup>2</sup> = 4
* 2<sup>22</sup> = 2 ↑↑ 3 = 16
* 3<sup>3</sup> = 27
* 4<sup>4</sup> = 256
* 5<sup>5</sup> = 3,125
* 6<sup>6</sup> = 46,656
* <math> \displaystyle {2 \uparrow \uparrow 4 = 2 \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 65.536}</math>
* 7<sup>7</sup> = 823,543
* 10<sup>6</sup> = 1,000,000 = 1 [[Juta]]
* 8<sup>8</sup> = 16,777,216
* 9<sup>9</sup> = 387,420,489
* 10<sup>9</sup> = 1,000,000,000 = 1 [[Miliar]]
* 10<sup>10</sup> = 10,000,000,000
* 10<sup>12</sup> = 1,000,000,000,000 = 1 [[Triliun]]
* <math>\displaystyle {3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{27} = 7.625.597.484.987}</math>
* 10<sup>15</sup> = 1,000,000,000,000,000 = 1 Juta miliar = 1 [[kuadriliun]]
* 10<sup>18</sup> = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 Miliar miliar = 1 [[kuintiliun]]
Bilangan yang dapat direpresentasikan dengan notasi ilmiah:
* Perkiraan jumlah [[atom]] dalam [[alam semesta teramati]] = 10<sup>80</sup> = 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
* [[googol]] = 10<sup>100</sup> = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000,000
* 4<sup>44</sup> = 4 ↑↑ 3 = 2<sup>512</sup> ≈ 1.34 × 10<sup>154</sup> ≈ (10 ↑)<sup>2</sup> 2.2
* Perkiraan jumlah [[Satuan Planck|satuan planck]] yang dibutuhkan untuk mengsi alam semesta teramati = 8.5 × 10<sup>184</sup>
* 5<sup>55</sup> = 5 ↑↑ 3 = 5<sup>3125</sup> ≈ 1.91 × 10<sup>2184</sup> ≈ (10 ↑)<sup>2</sup> 3.3
* 6<sup>66</sup> = 6 ↑↑ 3 ≈ 2.66 × 10<sup>36,305</sup> ≈ (10 ↑)<sup>2</sup> 4.6
* 7<sup>77</sup> = 7 ↑↑ 3 ≈ 3.76 × 10<sup>695,974</sup> ≈ (10 ↑)<sup>2</sup> 5.8
* <math>{\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}</math>
* 8<sup>88</sup> = 8 ↑↑ 3 ≈ 6.01 × 10<sup>15,151,335</sup> ≈ (10 ↑)<sup>2</sup> 7.2
* <math>{\displaystyle M_{82,589,933}\approx 1.49\times 10^{24,862,047}\approx 10^{10^{7.3955}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.3955}</math>, [[Bilangan prima Mersenne|bilangan prima mersenne]] terbesar per [[2021]]
* 9<sup>99</sup> = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 × 10<sup>369,693,099</sup> ≈ (10 ↑)<sup>2</sup> 8.6
* <math>\displaystyle {10^{10^{10}}= 10 \uparrow \uparrow 3 = 10^{10.000.000.000}= (10 \uparrow)^31}</math>
* <math>{\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}</math>
== Catatan dan referensi ==
{{Reflist}}
{{googologi}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Bilangan besar| ]]
[[Kategori:Notasi matematika]]
[[Kategori:Matematika]]
| |||