Teorema dasar aljabar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Fitur saranan suntingan: 1 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 68:
Bukti analitik lain dapat diperoleh dengan mengamati bahwa <math>|p(z)|>|p(z_0)|</math> di luar <math>D</math> mengakibatkan nilai minimum <math>|p(z)|</math> di seluruh bidang kompleks dicapai di <math>z_0</math>. Jika <math>|p(z_0)|>0</math>, maka <math>1/p(z)</math> adalah [[fungsi holomorfik]] terbatas di seluruh bidang kompleks, karena <math>|1/p(z)| \leq |1/p(z_0)|</math> untuk setiap bilangan kompleks <math>z</math>. Namun, [[Teorema Liouville (analisis kompleks)|Teorema Liouville]] menyatakan bahwa fungsi holomorfik yang terbatas pada <math>\mathbb{C}</math> haruslah merupakan fungsi konstan. Hal ini mengakibatkan <math>1/p(z)</math> adalah fungsi konstan, yang merupakan kontradiksi. Maka, <math>p(z_0)=0</math>.<ref>{{Cite book|last=Ahlfors|first=Lars|title=Complex Analysis (2nd ed.)|publisher=McGraw-Hill Book Company|pages=122|url-status=live}}</ref>
Bukti analitik lain mengandalkan [[prinsip argumen]]. Misalkan <math>R</math> adalah bilangan real positif yang cukup besar sehingga setiap akar dari <math>p(z)</math> memiliki [[nilai absolut]] lebih kecil dari <math>R</math>''. ''Bilangan <math>R</math> yang memenuhi sifat ini haruslah ada karena setiap fungsi polinomial tak konstan berderajat <math>n</math> memiliki paling banyak <math>n</math> akar. Untuk setiap <math>r>R</math>, tinjau bilangan<math display="block">N=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,</math>dimana <math>c(r)</math> adalah lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari <math>r</math> berorientasi berlawanan arah jarum jam. Dari [[prinsip argumen]], <math>N</math> merepresentasikan banyaknya akar dari <math>p(z)</math> (memperhitungkan multiplisitas aljabar) di dalam bola buka berpusat di <math>0</math> dengan radius <math>r</math>. Karena <math>r>R</math>, maka bilangan <math>N</math> sama dengan banyaknya pembuat nol di <math>\mathbb{C}</math>. Di sisi lain, hasil dari pembagian integral dari <math>n/z</math> sepanjang kontur <math>c(r)</math> oleh <math>2\pi i</math> sama dengan <math>n</math>. Namun, selisih dari kedua angka tersebut adalah<math display="block">\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.</math>
Pembilang dari bentuk rasional yang diintegralkan berderajat paling besar <math>n-1</math>, sedangkan penyebutnya berderajat <math>n+1</math>. Oleh karena itu, integral di atas cenderung mendekati <math>0</math> seiring <math>r \rightarrow +\infty</math>. Tetapi bilangan ini juga sama dengan <math>N-n</math>'', ''sehingga <math>N=n</math>.
Bukti dengan metode [[analisis kompleks]] lain diberikan dengan mengkombinasikan [[aljabar linier]] dengan [[teorema integral Cauchy|Teorema Cauchy]]. Memperlihatkan bahwa setiap polinomial kompleks berderajat '' n ''> 0 memiliki pembuat nol dapat dilakukan dengan hanya menunjukkan bahwa setiap [[matriks persegi]] <math>n \times n</math> dengan entri kompleks memiliki [[nilai eigen]]<ref>Sebuah bukti dari fakta bahwa ini cukup dapat dilihat [[Bidang tertutup aljabar#Setiap endomorfisme Fn memiliki beberapa vektor eigen|di sini]].</ref> kompleks. Pernyataan ini dapat dibuktikan [[Bukti oleh kontradiksi|dengan kontradiksi]].
Misalkan <math>A</math> adalah matriks persegi <math>n \times n</math> dengan entri kompleks dan <math>I_n</math> adalah [[matriks identitas]] perkalian dengan ukuran yang sama. Asumsikan <math>A</math> tidak memiliki nilai eigen, maka fungsi [[resolvent formalism|resolvent]]<math display="block"> R(z)=(zI_n-A)^{-1}</math>adalah fungsi meromorfik pada bidang kompleks dengan kodomain [[ruang vektor]] matriks dengan entri kompleks. Nilai eigen dari <math>A</math> adalah pole dari <math>R(z)</math>. Karena diasumsikan <math>A</math> tidak memiliki nilai eigen, fungsi <math>R(z)</math> adalah fungsi ''entire'' dan Teorema Cauchy mengimplikasikan bahwa<math display="block">\int_{c(r)} R(z) dz =0.</math>
Baris 108:
==== Dengan teori Galois ====
Metode lain untuk membuktikan teorema dasar ini adalah dengan menggunakan [[teori Galois]], cukup dengan menunjukkan bahwa <math>\mathbb{C}</math> tidak memiliki perluasan lapangan sejati. Misalkan <math>K/\mathbb{C}</math> adalah perluasan berhingga. Karena penutup normal dari <math>K</math> atas lapangan <math>\mathbb{R}</math> berderajat hingga atas lapangan <math>\mathbb{C}</math> (atau <math>\mathbb{R}</math>), tanpa mengurangi keumuman, asumsikan <math>K</math> adalah perluasan normal dari <math>\mathbb{R}</math> (sehingga merupakan perluasan Galois, mengingat setiap perluasan aljabar dari lapangan dengan karakteristik 0 bersifat terpisahkan). Misalkan <math>G</math> adalah grup Galois dari perluasan <math>K/\mathbb{R}</math>, dan <math>H</math> adalah subgrup-2 Sylow dari <math>G</math>, sehingga orde dari <math>H</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2 dan indeks subgrup <math>H</math> di <math>G</math> bernilai ganjil. Dari teorema dasar teori Galois, terdapat subperluasan <math>L</math> dari <math>K/\mathbb{R}</math> sedemikian sehingga <math>\mathrm{Gal}(K/L)=H</math>. Karena <math>[L:\mathbb{R}]=[G:H]</math> bernilai ganjil dan tidak ada polinomial real nonlinear berderajat ganjil yang tidak dapat direduksi, maka <math>L=\mathbb{R}</math> , sehingga <math>[K:\mathbb{R}]</math> dan <math>[K:\mathbb{C}]</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2. Dengan metode kontradiksi, asumsikan bahwa <math>[K:\mathbb{C}]>1</math>, sehingga orde dari grup <math>\mathrm{Gal}(K/C)</math> adalah perpangkatan dari bilangan 2, maka terdapat subperluasan <math>M</math> dari <math>K/\mathbb{C}</math> yang memiliki derajat 2. Akan tetapi, lapangan <math>\mathbb{C}</math> tidak memiliki perluasan berderajat 2, sebab setiap polinomial kompleks kuadrat memiliki akar kompleks, sebagaimana yang telah disebutkan di atas. Ini menunjukkan bahwa <math>[K:\mathbb{C}]=1</math>, sehingga <math>K=C</math>. Dengan demikian, bukti ini selesai.<!-- [Bagian ini belum Diterjemahkan]
If ''k'' = 0, then ''n'' is odd, and therefore ''p''(''z'') has a real root. Now, suppose that ''n'' = 2''<sup>k</sup>m'' (with ''m'' odd and ''k'' > 0) and that the theorem is already proved when the degree of the polynomial has the form 2<sup>''k'' − 1</sup>''m''′ with ''m''′ odd. For a real number ''t'', define:
Baris 234:
{{DEFAULTSORT:Teorema Dasar Aljabar}}
[[Kategori:Artikel yang
[[Kategori:Bidang (matematika)]]
[[Kategori:Teorema Dasar| Aljabar]]
| |||