Wikipedia

Rekursi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Sulhan (bicara | kontrib)
663 suntingan
Sinkronisasi dengan en:Recursion rev. 2013-01-25 17:16:34.
Zɛphyɻ (bicara | kontrib)
316 suntingan
sudah ada referensi
 
(24 revisi perantara oleh 12 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Other uses}}
{{Refimprove|date=June 2012}}
 
[[ImageBerkas:Droste.jpg|thumbjmpl|Suatu bentuk rekursi yang dikenal dengan ''[[Efek Droste]]''. Wanita dalam gambar ini memegang suatu objek yang memiliki gambar kecil-nya yang memegang objek yang identik, yang juga memiliki gambar kecil dirinya sendiri yang memegang objek yang identik, dan seterusnya.]]
 
'''Rekursi''' adalah proses pengulangan barang-barangsesuatu dengan cara [[kesamaan-diri]].
Sebagai contohnya, saat dua cermin berada paralel antara satu dengan yang lain, gambar yang tertangkap adalah suatu bentuk rekursi tak-terbatas.
Istilah ini memiliki makna beragam bergantung kepada ragam disiplin mulai dari [[linguistik]] sampai [[logika]].
Penggunaan paling umum dari rekursi yaitu dalam [[matematika]] dan [[ilmu komputer]], yang mengacu kepada suatu metode mendefinisikan [[fungsi (matematika)|fungsi]] yang mana fungsi tersebut menggunakan definisinya sendiri.
Secara spesifik hal ini mendefinisikan suatu instansi tak-terbatas (nilai fungsi), menggunakan ekpresi terbatas yangdengan beberapa instansi bisa merujuk kepadake instansi lainnya, tapitetapi dengan suatu cara sehingga tidak ada perulangan atau keterkaitan tak-terbatas dapat terjadi.
Istilah ini juga digunakan secara umum untuk menjelaskan suatu proses pengulangan objek dengan cara kesamaan-diri.
 
== Definisi formal dari rekursi ==
 
[[FileBerkas:Screenshot Recursion via vlc.png|thumbjmpl|Rekursi dalam program perekaman layar, dengan suatu jendela paling kecil mengandung foto keseluruhan layar.]]
 
Dalam [[matematika]] dan [[ilmu komputer]], kelas dari objek atau metode memperlihatkan perilaku rekursif bila mereka dapat didefinisikan oleh dua properti berikut:
 
# SuatuSebuah kasus (atau beberapa kasus) dasar sederhana, dan
# Sejumlah aturan yang mengurangi kasus-kasus lainnya sampai ke kasus dasarnya.
 
Baris 31 ⟶ 30:
 
Banyak aksioma matematika berdasarkan aturan-aturan rekursif.
Sebagai contohnya, definisi formal dari [[bilangan asli]] dalampada [[teoriAksioma himpunanPeano]] berbunyidapat dideskripsikan sebagai: ''10 adalah bilangan asli, dan setiap bilangan asli memiliki sebuah suksesor, yang juga merupakan bilangan asli.''
Dengan kasus dasar ini dan aturan rekursif, seseorang dapat membuat himpunan dari semua bilangan asli.
 
Baris 37 ⟶ 36:
Atau mungkin yang lebih akurat, dari [[Andrew Plotkin]]: ''"Jika anda telah mengetahui apa itu rekursi, cukup ingat jawabannya. Kalau tidak, cari orang yang berdiri paling dekat dengan [[Douglas Hofstadter]] selain anda; lalu tanya dia rekursi itu apa."''
 
Objek matematika yang didefinisikan secara rekursif termasuk [[fungsi (matematika)|fungsi]], [[himpunan (matematika)|himpunan]], dan khususnyaterutama sekali [[fraktal]].
 
=== Definisi informal ===
 
Rekursi adalah suatu proses dengan salah satu langkah dalam prosedur tersebut menjalankan prosedur itu sendiri.
Baris 45 ⟶ 44:
 
Untuk memahami rekursi, seseorang harus mengetahui perbedaan antara sebuah prosedur dan jalannya sebuah prosedur.
Sebuah prosedur yaitu kumpulan langkah-langkah yang akan dilakukan berdasarkan sekumpulan aturan.
Jalannya sebuah prosedur mengikuti aturan-aturan dan melakukan langkah-langkah.
Analoginya mungkin sebuah prosedur adalah seperti resep yang tertulis; menjalankan sebuah prosedur adalah seperti menyiapkan makanan.
 
Rekursi berhubungan dengan, tapitetapi tidak sama, suatu referensi dalam spesifikasi prosedur sampai pada eksekusi beberapa prosedur lainnya.
Misalnya, suatu resep bisa mengacu pada memasak sayuran, yang merupakan prosedur yang kemudian membutuhkan memanaskan air, dan seterusnya.
Namun, prosedur rekursif adalah spesial dengan (paling tidak) salah satu langkahnya memanggil instansi baru dari prosedur yang sama, seperti suatu resep [[gandum hitam]] menggunakan beberapa sisa adonan dari resep yang sama yang telah dibuat.
Baris 57 ⟶ 56:
Contohnya dapat berupa prosedur untuk menemukan jalan melewati sebuah [[labirin]].
Terus ke depan sampai menemui jalan keluar atau titik percabangan (sebuah titik mati dianggap sebagai sebuah titik percabangan dengan 0 cabang).
Jika titik yang ditemui adalah suatu jalan keluar, berhenti.
Kalau tidak coba setiap cabang bergantian, menggunakan prosedur secara rekursif; jika setiap percobaan gagal karena mencapai titik mati, kembali ke jalur yang menyebabkan titik percabangan dan laporkan kegagalan.
Apakah ini tepat mendefinisikan suatu prosedur pemberhentian bergantung kepada bentuknyabentuk labirinnya: ia tidak membolehkan perulangan.
Dalam semua kasus, mengeksekusi prosedur membutuhkan pencatatan teliti semua titik percabangan yang telah dieksplorasi, dan cabang-cabang mana yang telah dicoba..
 
== Rekursi dalam bahasa ==
Baris 66 ⟶ 65:
Ahli linguistik [[Noam Chomsky]] memberikan teori bahwa ekstensi tak-terhingga dari setiap [[bahasa alami]] adalah memungkinkan menggunakan perangkat rekursif dengan menanamkan klausa dalam kalimat
(Aspects of the Theory of Syntax. 1965).
Sebagai contoh, dua kalimat sederhana -- "''Dorothy bertemu dengan Penyihir Jahat dari Barat di Munchkin Land''" dan "''Saudara perempuan Penyihir Jahat dibunuh di Munchkin Land''" -- dapat—dapat disisipkan dalam kalimat ketiga, "''Dorothy menyiram Penyihir Jahat dengan seember air''", untuk mendapatkan kalimat rekursif: "''Dorothy, yang bertemu dengan Penyihir Jahat dari Barat di Munchkin Land tempat saudara perempuannya dibunuh, menyiramnya dengan seember air.''"
 
Ide bahwa rekursi adalah suatu properti esensi dari bahasa manusia (seperti yang Chomsky ajukan) dibantah oleh [[linguis]] [[Daniel Everett]] dalam karyanya ''Cultural Constraint on Grammar and Cognition in Pirahã: Another Look at the Design Features of Human Language'', yang di sana beliaudia berhipotesis bahwa faktor kultur membuat rekursi tidak dibutuhkan dalam perkembangan [[Bahasa Piraha]].
Konsep ini, yang menantang ide Chomsky bahwa rekursi hanyalahsatu-satunya sifat yang membedakan komunikasi manusia dan hewan, sekarang sedang diperdebatkan.
Andrew Nevins, David Pesetsky dan Cilene Rodrigues berdebat melawan proposal tersebut.
<ref>{{cite journal
Baris 89 ⟶ 88:
}}</ref>
 
Rekursi dalam linguistik membolehkan 'diskrit tak-terbatas' dengan menanamkan frasefrasa dalam tipe frasefrasa yang sama dalam suatu struktur hirarkihierarki.
Tanpa rekursi, bahasa tidak memiliki 'diskrit tak-terbatas' dan tidak dapat menanamkan kalimat menjadi tak-terbatas (dengan suatu efek '[[Boneka Matryoshka|Sarang boneka Rusia]]').
Everett membantah bahwa bahasa harus memiliki diskrit tak-terbatas, dan menegaskan bahwa bahasa Piraha - yangPiraha—yang diklaimnya tidak memiliki rekursi - padarekursi—pada kenyataannya terbatas.
Dia menyamakannya dengan permainan terbatas [[catur]], yang memiliki sejumlah pergerakan terbatas tapitetapi sangat produktif, dengan gerakan-gerakan baru diciptakan lewat sejarah.
 
=== Humor rekursif ===
 
Rekursi terkadang digunakan secara humor dalam buku ilmu komputer, pemrograman, filsafat, atau matematika. Adalah hal yang biasa bagobagi buku-buku tersebut untuk memasukan lelucon dalam [[glosarium]]-nya di antara barisan:
 
:Rekursi, ''lihat Rekursi''.<ref name=Hunter>
Baris 107 ⟶ 106:
|pages=494
|url=http://books.google.com/books?id=kuwhTxCVovQC&dq=recursion+joke&source=gbs_navlinks_s
}}</ref>
 
Sebuah variasi ditemukan di halaman 269 dalam [[Belakang-buku indeks|indeks]] pada halaman 269 dari beberapa edisi buku Kernighan dan Ritchie ''[[The C Programming Language (book)|The C Programming Language]]''; dengan isi indeks secara rekursif mengacu kepada dirinya sendiri ("rekursi 86, 139, 141, 182, 202, 269").
Versi awal dari lelucon ini ada di dalam "Software Tools" oleh Kernighan dan Plauger, dan juga muncul dalam "The UNIX Programming Environment" oleh Kernighan dan Pike.
Ia tidak ada di edisi pertama dari ''The C Programming Language''.
Baris 116 ⟶ 115:
Dalam versi bahasa Inggris dari mesin pencari web [[Google]], saat mencari kata untuk rekursi dalam bahasa Inggris "recursion" dilakukan, situs tersebut menyarankan "Did you mean: ''recursion''."
 
[[Akronim berulang]] juga dapat sebagai contoh dari humor rekursif. [[PHP]], contohnya, singkatan dari "PHP Hypertext Preprocessor" dan, [[Wine (perangkat lunak)|WINE]], contohnya, singkatan dari "Wine Is Not an Emulator.", [[Proyek GNU|GNU]] singkatan dari "GNU's not Unix".
[[Proyek GNU|GNU]] singkatan dari "GNU's not Unix".
 
== Rekursi dalam matematika ==
 
[[FileBerkas:Sierpinski triangle.svg|rightka|thumbjmpl|250px|[[Segitiga Sierpinski]]—sebuah rekursi terbatas dari segitiga membentuk suatu [[jeruji]] geometris.]]
 
=== Himpunan yang didefinisikan secara rekursif ===
Baris 133 ⟶ 131:
 
:0 ada dalam <math>\mathbb{N}</math>
:jika ''n'' ada dalam <math>\mathbb{N}</math>, maka ''n'' + 1 ada dalam <math>\mathbb{N}</math>
:Himpunan dari bilangan asli adalah himpunan terkecil yang memenuhi dua properti sebelumnya.
 
Baris 149 ⟶ 147:
=== Rekursi fungsional ===
 
Sebuah [[fungsi (matematika)|fungsi]] bisa didefinisikan sebagai bagian dari dirinya sendiri. Contoh yang terkenal adalah urutan [[bilangan Fibonacci]]: ''F''(''n'') = ''F''(''n'' &minus;− 1) + ''F''(''n'' &minus;− 2).
Supaya definisi tersebut dapat berguna, ia harus menggunakanmengarah pada nilai yang terdefinisi secara tak-rekursif, dalam kasus ini ''F''(0) = 0 dan ''F''(1) = 1.
 
Fungsi rekursif terkenal yaitu [[fungsi Ackermann]] yang, tidakmana—tidak seperti urutan Fibonacci, tidakFibonacci—tidak dapat dengan mudah diekspresikan tanpa rekursi.
 
=== Pembuktian yang mengikutkan definisi rekursif ===
 
Menerapkan teknik standar dari [[pembuktian dengan kasus]] untuk mendefinisikan secara rekursif suatu himpunan atau fungsi, seperti bagian sebelumnya, menghasilkan [[induksi struktural]], generalisasi ampuh dari [[induksi matematika]] yang secara luas digunakan untuk menurunkan pembuktian dalam [[logika matematika]] dan [[ilmu komputer]].
 
=== Optimisasi rekursif ===
 
[[Pemrograman Dinamisdinamis]] adalah suatu pendekatan terhadap [[optimisasi (matematika)|optimisasi]] yang menempatkan ulang suatu permasalahan multiperiode atau tahapan dalam bentuk rekursif.
Kunci jawaban dari pemrograman dinamis adalah [[persamaan Bellman]], yang menuliskan nilai dari permasalahan optimisasi pada waktu awal (atau langkah awal) berkenaan dengan nilainya pada waktu kemudian (atau langkah selanjutnya).
 
Baris 167 ⟶ 165:
 
Metode umum dari penyederhanaan adalah dengan membagi suatu permasalah menjadi beberapa sub-permasalahan dengan tipe yang sama.
Sebagai sebuah teknik dalam [[pemrograman komputer]], hal ini disebut dengan ''[[divide and conquer]]'' dan merupakan kunci dari perancangan berbagai algoritmaalgoritme penting.
''Divide and conquer'' menyediakan pendekatan atas-bawah dalam pemecahan masalah, dengan permasalahan diselesaikan dengan menyelesaikan instansi yang lebih kecil.
Pendekatan sebaliknya yaitu [[pemrograman dinamis]].
Baris 174 ⟶ 172:
Contoh klasik dari rekursi adalah definisi dari fungsi [[faktorial]], diberikan dalam kode C:
 
<sourcesyntaxhighlight lang="c">
unsigned int factorial(unsigned int n)
{
if (!n == 0) {
return 1;
} else {
Baris 183 ⟶ 181:
}
}
</syntaxhighlight>
</source>
 
Fungsi tersebut memanggil dirinya sendiri secara rekursif terhadap versi input yang lebih kecil (n-1) dan mengkalikan hasil dari pemanggilan rekursif dengan n, sampai pada [[kasus dasar]], sama analoginya dengan definisi matematika dari faktorial.
Baris 189 ⟶ 187:
Rekursi dalam pemrograman komputer dicontohkan saat sebuah fungsi didefinisikan dalam bentuk sederhana, bahkan versi terkecil dari dirinya.
Solusi dari permasalahan kemudian dirancang dengan menggabungkan solusi-solusi yang didapat dari versi sederhana dari permasalahan.
Salah satu contoh aplikasi rekursi yaitu dalam ''[[parsing]]'' untuk bahasa pemrograman.
Keuntungan utama dari rekursi adalah suatu himpunan tak-terbatas dari kalimat yang memungkinkan, perancangan atau data lainnya dapat didefinisikan, diurai atau dihasilkan dengan suatu program komputer yang terbatas.
 
Baris 195 ⟶ 193:
Beberapa relasi perulangan tertentu dapat "diselesaikan" untuk mendapatkan definisi bukan-rekursif.
 
Penggunaan rekursi dalam suatu algoritmaalgoritme memiliki kelebihan dan kekurangan.
Kelebihan utamanya adalah biasanya kesederhanaan.
Kekurangan utamanya adalah terkadang algoritmaalgoritme tersebut membutuhkan memori yang sangat banyak jika kedalaman rekursi sangat besar.
 
== Rekursi dalam Seni ==
[[File:First matryoshka museum doll open.jpg|thumb|Boneka rekursif: kumpulan orisinil dari '[[Matryoshka doll]]s' yang dibuat oleh [[Vasily Zvyozdochkin|Zvyozdochkin]] dan [[Sergey Malyutin|Malyutin]], pada 1892]]
[[File:Polittico stefaneschi, verso.jpg|thumb|left| Wajah depan [[Stefaneschi Triptych]] karya [[Giotto]], 1320, secara rekursif berisi gambar dirinya sendiri (dipegang oleh figur yang berlutut di panel tengah).]]
 
Boneka Matryoshka adalah contoh artistik fisik dari konsep rekursif.<ref>{{cite web |last1=Tang |first1=Daisy |title=Recursion |url=http://www.cpp.edu/~ftang/courses/CS240/lectures/recursion.htm |access-date=24 September 2015 |quote=More examples of recursion: Russian Matryoshka dolls. Each doll is made of solid wood or is hollow and contains another Matryoshka doll inside it.}}</ref>
 
 
Rekursi telah digunakan dalam lukisan sejak [[Stefaneschi Triptych]] karya [[Giotto]], yang dibuat pada tahun 1320. Panel tengahnya berisi figur Kardinal Stefaneschi yang sedang berlutut, mengangkat triptych itu sendiri sebagai persembahan.<ref>{{cite web |title=Giotto di Bondone and assistants: Stefaneschi triptych |url=http://mv.vatican.va/3_EN/pages/PIN/PIN_Sala02_03.html |publisher=The Vatican |access-date=16 September 2015}}</ref><ref>{{Cite book |title=Physical (A)Causality: Determinism, Randomness and Uncaused Events |url=https://books.google.com/books?id=gxBMDwAAQBAJ&pg=PA12 |first=Karl |last=Svozil |year=2018 |publisher=Springer |pages=12| isbn=9783319708157 }}</ref> Praktik ini secara umum dikenal sebagai efek Droste, sebuah contoh teknik Mise en abyme.
 
M. C. Escher's Print Gallery (1956) adalah sebuah cetakan yang menggambarkan sebuah kota yang terdistorsi yang berisi sebuah galeri yang secara berulang-ulang berisi gambar tersebut, dan seterusnya secara ''<span lang="la" dir="ltr">ad infinitum</span>''(tak terhingga).<ref>{{cite web |last1=Cooper |first1=Jonathan |title=Art and Mathematics |url=https://unwrappingart.com/art/art-and-mathematics/ |access-date=5 July 2020 |date=5 September 2007}}</ref>
 
== Teorema rekursi ==
Baris 241 ⟶ 250:
{{col-begin}}
{{col-break}}
* [[Rasio Golden]]: <math>\phi = 1 + (1/\phi) = 1 + (1/(1 + (1/(1 + 1/...))))</math>
* [[Faktorial]]: <math>n! = n (n - 1)! = n (n - 1)\cdots 1</math>
* [[Bilangan Fibonacci]]: <math>f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)</math>
* [[Bilangan Catalan]]: <math>C_0=1</math>, <math>C_{n+1} = (4n+2)C_n/(n+2)</math>
* Perhitungan [[suku bunga]]
* [[Menara Hanoi]]
* [[Fungsi Ackermann]]
{{col-end}}
 
== Bibliografi ==
 
* {{cite journal|first=Edsger W.|last=Dijkstra|authorlink=Edsger W. Dijkstra|title=Recursive Programming|journal=Numerische Mathematik|volume=2|issue=1|year=1960|pages=312&ndash;318312–318|doi=10.1007/BF01386232}}
* {{cite book | author=Johnsonbaugh, Richard | title=Discrete Mathematics | publisher=Prentice Hall | year=2004 | isbn=0-13-117686-2 }}
* {{cite book | author=Hofstadter, Douglas | title=Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid | publisher=Basic Books | year=1999 | isbn=0-465-02656-7 }}
* {{cite book | author=Shoenfield, Joseph R. | title=Recursion Theory | url=https://archive.org/details/recursiontheory0000shoe|publisher=A K Peters Ltd | year=2000 | isbn=1-56881-149-7 }}
* {{cite book | author=Causey, Robert L. | title=Logic, Sets, and Recursion | url=https://archive.org/details/logicsetsrecursi0000caus|publisher=Jones & Bartlett | year=2001 | isbn=0-7637-1695-2 }}
* {{cite book | author=Cori, Rene; Lascar, Daniel; Pelletier, Donald H. | title=Recursion Theory, GodelGödel's Theorems, Set Theory, Model Theory | publisher=Oxford University Press | year=2001 | isbn=0-19-850050-5 }}
* {{cite book | author=Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. | title=Vicious Circles | publisher=Stanford Univ Center for the Study of Language and Information | year=1996 | isbn=0-19-850050-5 }} - menjelaskan pengerjaan dari [[corecursion]].
* {{cite book | author=Rosen, Kenneth H. | title=Discrete Mathematics and Its Applications | publisher=McGraw-Hill College | year=2002 | isbn=0-07-293033-0 }}
* {{cite book | author=Cormen, Thomas H., Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein | title=Introduction to Algorithms | publisher=Mit Pr | year=2001 | isbn=0-262-03293-7 }}
* {{cite book | author = Kernighan, B.; Ritchie, D. | title=The C programming Language | publisher=Prentice Hall | year = 1988 | isbn = 0-13-110362-8 }}
* {{cite book | author=Stokey, Nancy,; Robert Lucas; Edward Prescott | title=Recursive Methods in Economic Dynamics | publisher=Harvard University Press | year=1989 | isbn=0-674-75096-9}}
* {{cite book | author=Hungerford |title=Algebra | publisher=Springer|year=1980|isbn=978-0-387-90518-1}}, bagian pertama dari teori himpunan.
 
== Lihat juga ==
 
<div style="-moz-column-count:3; column-count:3;">
* [[korekursiKorekursi]]
* [[Rekursi Course-of-values]]
* [[Ketakterbatasan digital]]
Baris 292 ⟶ 301:
<references/>
 
== Pranala Luarluar ==
 
{{Wiktionary|recursion|recursivity}}
* {{en}} [http://www.freenetpages.co.uk/hp/alan.gauld/tutrecur.htm Recursion] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050206051223/http://www.freenetpages.co.uk/hp/alan.gauld/tutrecur.htm |date=2005-02-06 }} - tutorial oleh Alan Gauld
* {{en}} [http://amitksaha.files.wordpress.com/2009/05/recursion-primer.pdf A Primer on Recursion]- mengandung petunjuk untuk rekursi dalam Bahasa Formal, Linguistik, Matematika dan Ilmu Komputer
* {{en}} [http://research.swtch.com/2010/03/zip-files-all-way-down.html Zip Files All The Way Down]
Baris 301 ⟶ 310:
 
{{Fraktal}}
{{Logika matematika}}
 
[[Category:Logika Matematika]]
[[Category:Teori Komputasi]]
[[Category:Idiom Pemrograman]]
[[Category:Rekursi| ]]▼
[[Category:Referensi-diri]]▼
 
▲[[CategoryKategori:Rekursi| ]]
[[ar:استدعاء ذاتي]]
[[skKategori:RekurziaLogika (matematika)]]▼
[[bg:Рекурсия]]
[[Kategori:Teori komputasi]]
[[bn:পুনরাবৃত্তি (রিকার্শন)]]
[[Kategori:Idioma pemrograman]]
[[ca:Recursivitat]]
▲[[CategoryKategori:Referensi-diri]]
[[cs:Rekurze]]
[[da:Rekursion]]
[[de:Rekursion]]
[[el:Αναδρομή]]
[[en:Recursion]]
[[eo:Rikuro]]
[[es:Recursión]]
[[fi:Rekursio]]
[[fr:Récursivité]]
[[he:רקורסיה]]
[[hi:पुनर्गमनवाद]]
[[hr:Rekurzija]]
[[hu:Rekurzió]]
[[ia:Recursion]]
[[io:Rekurso]]
[[is:Endurkvæmt fall]]
[[ja:再帰]]
[[lt:Rekursija]]
[[ml:സ്വാവർത്തനം]]
[[nl:Recursie]]
[[nn:Rekursjon]]
[[no:Rekursjon]]
[[pl:Rekurencja]]
[[pt:Recursividade]]
[[ro:Recursivitate]]
[[ru:Рекурсия]]
[[rue:Рекурзія]]
[[sa:पुनर्गमनवाद]]
[[sh:Rekurzija]]
[[simple:Recursion]]
▲[[sk:Rekurzia (matematika)]]
[[sl:Rekurzija]]
[[sr:Рекурзија]]
[[sv:Rekursion]]
[[ta:சுழல்]]
[[tg:Рекурсия]]
[[th:การเรียกซ้ำ]]
[[tr:Özyineleme]]
[[uk:Рекурсія]]
[[ur:Recursion]]
[[zh:递归]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Rekursi"