Grup siklik: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 16 Desember 2020 06.18 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan		Revisi terkini sejak 30 Agustus 2024 00.54 sunting balikkan Kim Nansa (bicara \| kontrib) 3.356 suntingan Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
(2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 8: == Definisi dan notasi == [[Berkas:Cyclic group.svg\|left\|thumb\|160px\|Kompleks keenam keenam [[~~Akar persatuan \|~~ akar persatuan]] membentuk kelompok siklik dalam perkalian. Di sini '' z '' adalah generator, tetapi ''z''<sup>2</sup> bukan, karena kekuatannya gagal menghasilkan pangkat ganjil '' z ''.]] Untuk setiap elemen '' g '' dalam grup '' G '', seseorang dapat membentuk [[subgrup]] dari semua pangkat bilangan bulat ⟨''g''⟩ = {''g''<sup>''k''</sup> {{!}} ''k'' ∈ '''Z'''}, disebut '' 'subgrup siklik' '' dari '' g ''. [[Urutan (teori grup) \| urutan]] dari '' g '' adalah jumlah elemen dalam ⟨''g''⟩; yaitu, urutan elemen sama dengan urutan subgrup sikliknya. Baris 14: '' Grup siklik '' adalah grup yang sama dengan salah satu subgrup sikliknya: {{nowrap\|1=''G'' = ⟨''g''⟩}} untuk beberapa elemen '' g '', disebut [[Menghasilkan himpunan grup \| '' generator '']]. Untuk '''grup siklik hingga''' '' G '' dengan urutan '' n '' kami memiliki '' G '' = {''e'', ''g'', ''g''<sup>2</sup>, ... , ''g''<sup>''n''−1</sup>}, di mana '' e '' adalah [[elemen identitas]] dan ''g''<sup>''i''</sup> = ''g''<sup>''j''</sup> jika '' i '' ≡ '' j '' ([[aritmetika modular \| mod]] '' n ''); khususnya ''g''<sup>''n''</sup> = ''g''<sup>0</sup> = ''e'', dan ''g''<sup>−1</sup> = ''g''<sup>''n''−1</sup>. Grup abstrak yang ditentukan oleh perkalian ini sering dilambangkan dengan C'' <sub> n </sub>, '' dan kami mengatakan bahwa '' G '' adalah [[Isomorfisme \| isomorfis]] ke grup siklik standar C''<sub>n</sub>''. Grup seperti itu juga isomorfik '''Z'''/''n'''''Z''', grup bilangan bulat modulo '' n '' dengan operasi penjumlahan, yang merupakan grup siklik standar dalam notasi aditif. Di bawah isomorfisme '' χ '' yang didefinisikan oleh ''χ''(''g''<sup>''i''</sup>) = ''i'' elemen identitas '' e '' sesuai dengan 0, hasil kali sesuai dengan jumlah, dan pangkat sesuai dengan kelipatan. Misalnya, himpunan kompleks ke-6 [[Akar persatuan \| akar kesatuan]] <blockquote><math>G = \left\{\pm 1, \pm{\left(\tfrac12{+} \tfrac{\sqrt 3}{2}i\right)}, \pm{\left(\tfrac12{-} \tfrac{\sqrt 3}{2}i\right)}\right\}</math> </blockquote>membentuk grup di bawah perkalian. Ini siklik, karena dihasilkan oleh [[Akar persatuan#Definisi umum \| Baris 80: === Rotasi simetri === {{main\|Simetri rotasi}} Himpunan [[~~simetri rotasi \|~~ simetri rotasi]] dari sebuah [[poligon]] membentuk grup siklik berhingga.<ref>{{Harv\|Stewart\|Golubitsky\|2010\|pp=47–48}}.</ref> Jika ada '' n '' cara berbeda untuk memindahkan poligon ke dirinya sendiri dengan rotasi (termasuk rotasi nol) maka grup simetri ini isomorfik ke '''Z'''/''n'''''Z'''. Dalam tiga dimensi atau lebih tinggi terdapat [[Grup titik dalam tiga dimensi#Grup simetri 3D siklik \| grup simetri hingga siklik]], tapi yang tidak semuanya rotasi di sekitar sumbu, melainkan [[rotoreflection]]. Grup dari semua rotasi dari [[lingkaran]] ''S''<sup>1</sup> ([[grup lingkaran]], juga dilambangkan dengan ''S''<sup>1</sup>) adalah '' bukan '' siklik, karena tidak ada rotasi tunggal yang kekuatan integernya menghasilkan semua rotasi. Faktanya, grup siklik tak terbatas C<sub>∞</sub> adalah [[dapat dihitung]], sedangkan '' S ''<sup> 1 </sup> tidak. Kelompok rotasi menurut sudut rasional '' dapat '' dihitung, tetapi tetap tidak siklik. Baris 91: == Subgrup == {{main\|Teorema dasar grup siklik}} Semua [[subgrup]] dan [[grup hasil bagi]] dari grup siklik adalah siklik. Secara khusus, semua subgrup '''Z''' berbentuk ⟨''m''⟩ = ''m'''''Z''', dengan '' m '' bilangan bulat positif. Semua subgrup ini berbeda satu sama lain, dan terpisah dari grup trivial {0} = 0'''Z''', mereka semua [[isomorfik]] sampai '''Z'''. [[Kisi subgrup]] dari '''Z''' isomorfik dengan [[Dualitas (teori urutan) \| ganda]] dari kisi bilangan asli yang diurutkan oleh [[terbagi]].<ref>{{Harv\|Aluffi\|2009\|pp=82–84\|loc=6.4 Example: Subgroups of Cyclic Groups}}.</ref> Jadi, karena bilangan prima '' p '' tidak memiliki pembagi nontrivial, ''p'''''Z''' adalah subgrup yang tepat maksimal, dan grup hasil bagi '''Z'''/''p'''''Z''' adalah [[grup sederhana \| sederhana]]; sebenarnya, sebuah gugus siklik adalah sederhana [[jika dan hanya jika]] urutannya adalah bilangan prima.<ref>{{Harv\|Gannon\|2006\|p=18\|}}.</ref> Semua grup hasil bagi '''Z'''/''n'''''Z''' terbatas, dengan pengecualian {{nowrap\|1='''Z'''/0'''Z''' = '''Z'''/{0}.}} Untuk setiap pembagi positif '' d '' dari '' n '', grup hasil bagi '''Z'''/''n'''''Z''' memiliki tepat satu subgrup orde '' d '', yang dihasilkan oleh [[aritmetika Modular#Kelas kesesuaian \| kelas residu]] dari '' n ''/'' d ''. Tidak ada subgrup lain. Baris 114: :1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 115, 119, 123, 127, 131, 133, 137, 139, 141, 143, ... {{OEIS\|id=A003277}} Definisi segera menyiratkan bahwa grup siklik memiliki [[~~presentasi grup \|~~ presentasi grup]] {{nowrap\|1=C<sub>∞</sub> = {{langle}}''x'' {{!}} {{rangle}}}} and {{nowrap\|1=C<sub>''n''</sub> = {{langle}}''x'' {{!}} ''x''<sup>''n''</sup>{{rangle}}}} untuk hingga '' n ''.<ref>{{Harv\|Coxeter\|Moser\|1980\|p=1}}.</ref> == Objek terkait == === Representasi === [[Teori representasi grup hingga \| teori representasi]] dari kelompok siklik adalah kasus dasar penting untuk teori representasi dari grup hingga yang lebih umum. Dalam [[teori karakter \| kasus kompleks]], representasi grup siklik terurai menjadi [[jumlah langsung]] dari karakter linear, membuat hubungan antara teori karakter dan teori representasi menjadi transparan. Dalam [[teori representasi modular \| kasus karakteristik positif]], representasi tak terurai dari kelompok siklik membentuk model dan dasar induktif untuk teori representasi kelompok dengan [[subgrup Sylow]] siklik dan lebih umum representasi. === Grafik Cyle === Baris 213: {{citation\|title=Fearful Symmetry: Is God a Geometer?\|first1=Ian\|last1=Stewart\|author1-link=Ian_Stewart_(mathematician)\|first2=Martin\|last2=Golubitsky\|author2-link=Marty Golubitsky\|publisher=Courier Dover Publications\|year=2010\|isbn=978-0-486-47758-9\|pages=47–48\|url=https://books.google.com/books?id=7x_MF83tTKQC&pg=PA47}} {{citation\|first=V.\|last=Vilfred\|contribution=On circulant graphs\|title=Graph Theory and its Applications (Anna University, Chennai, March 14–16, 2001)\|publisher=Alpha Science\|editor1-first=R.\|editor1-last=Balakrishnan\|editor2-first=G.\|editor2-last=Sethuraman\|editor3-first=Robin J.\|editor3-last=Wilson\|year=2004\|url=https://books.google.com/books?id=wG-08Lv8E-0C&pg=PA34\|pages=34–36\|isbn=8173195692}} {{citation\|last1=Vinogradov\|first1=I. M.\|author1-link=Ivan_Matveyevich_Vinogradov\|year=2003\|title=Elements of Number Theory\|publisher=Dover Publications\|location=Mineola, NY\|isbn=0-486-49530-2\|chapter=§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES\|pages=105–132\|chapter-url=https://books.google.com/books?id=xlIfdGPM9t4C&pg=PA105\|accessdate=2020-12-16\|archive-date=2023-08-09\|archive-url=https://web.archive.org/web/20230809154231/https://books.google.com/books?id=xlIfdGPM9t4C&pg=PA105\|dead-url=no}} === Bacaan lebih lanjut === Baris 219: == Pranala luar == Milne, Group theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20230531101538/https://jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html \|date=2023-05-31 }} * [http://members.tripod.com/~dogschool/cyclic.html An introduction to cyclic groups] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20090202153822/http://members.tripod.com/~dogschool/cyclic.html \|date=2009-02-02 }} {{MathWorld\|title=Cyclic Group\|urlname=CyclicGroup}} [http://groupnames.org/#?cyclic Cyclic groups of small order on GroupNames] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20230809151837/https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/#?cyclic \|date=2023-08-09 }} {{DEFAULTSORT:Cyclic Group}} [[Kategori: Teori grup Abelian]] [[Kategori: Sifat grup]]