Pembagian: Perbedaan antara revisi

[[Pembagian dengan sisabersisa]] atau [[pembagian Euklides]] dari dua [[bilangan asli]] memberikan ''hasil bagi'' bilangan bulat, yang merupakan bilangan kedua benar-benar terkandung dalam bilangan pertama, dan ''sisa'', bagian dari bilangan pertama tersisa, ketika dalam proses menghitung hasil bagi, tidak ada potongan penuh lebih lanjut dari ukuran angka kedua yang dapat dialokasikan.

Agar modifikasi pembagian ini hanya menghasilkan satu hasil tunggal, bilangan asli diperluas ke [[bilangan rasional]] (bilangan yang diperoleh dengan menggunakan aritmetika pada bilangan asli) atau [[bilangan real]]. Dalam [[sistem bilangan]] diperluas, pembagian adalah operasi invers dari perkalian, yaitu {{math|''a'' {{=}} ''c'' / ''b''}} berarti {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''c''}}, selama {{math|''b''}} bukan nol. Jika {{math|1=''b'' = 0}}, maka ini adalah [[pembagian dengan nol]], yang tidak terdefinisi.{{efn|Pembagian dengan nol didefinisikan dalam beberapa keadaan, baik dengan memperluas bilangan real ke [[garis bilangan real diperpanjang]] ke [[garis real diperpanjang proyektif]] atau ketika terjadi sebagai limit pembagian dengan bilangan yang cenderung ke 0. Misalnya: {{math|lim_''x''→0 {{sfrac|sin ''x''|''x''}} {{=}} 1.}}<ref name="mwdiv" /><ref name="db0">{{MathWorld|id=DivisionbyZero|title=Pembagian dengan Nol}}</ref>}}<ref>{{cite book|last1=Derbyshire|first1=John|title=Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics|url=https://archive.org/details/primeobsessionbe0000john|date=2004|publisher=[[Penguin Books]]|location=[[Kota New York]]|isbn=978-0-452-28525-5}}</ref>{{rp|246}}

Cara paling sederhana untuk melihat pembagian adalah dalam hal [[kutipan dan partisi]]: dari sudut pandang kutipan, {{math|20 / 5}} berarti jumlah 5 yang harus ditambahkan untuk mendapatkan  20. Dalam hal partisi, {{math|20 / 5}} berarti ukuran masing-masing dari 5 bagian dimana satu himpunan ukuran 20 dibagi. Misalnya, 20 apel dibagi menjadi lima kelompok yang terdiri dari empat apel, artinya ''dua puluh dibagi lima sama dengan empat''. Ini dilambangkan sebagai {{math|1=20 / 5 = 4}}, atau {{math|1={{sfrac|20|5}} = 4}}.<ref name="mwdiv">{{MathWorld|id=Division|title=Pembagian}}</ref> Dimana yang dibagi disebut ''dibagi'', yang dibagi dengan ''pembagi'', dan hasilnya disebut ''bagi''. Dalam contoh, 20 adalah yang dibagi, 5 adalah pembagi, dan 4 adalah hasil bagi.

Di beberapa negara yang tidak menggunakan bahasa [[Bahasa Inggris|Inggris]], titik dua digunakan untuk menunjukkan pembagian:<ref>{{cite book|title=Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K–8|url=https://archive.org/details/mathematicsforte0000sonn_w7w6|page=[https://archive.org/details/mathematicsforte0000sonn_w7w6/page/126 126]|author=Thomas Sonnabend|publisher=Brooks/Cole, Cengage Learning (Charles Van Wagner)|year=2010|isbn=978-0-495-56166-8}}</ref>

Komputer modern menghitung pembagian dengan metode yang lebih cepat daripada pembagian panjang, dengan yang lebih efisien mengandalkan teknik perkiraan dari [[analisis numerik]]. Untuk [[pembagian dengan sisa]], lihat [[algoritma pembagian]].

Dalam [[aljabar abstrak]], diberikan [[Magma (aljabar)|magma]] dengan [[operasi biner]] (yang secara nominal dapat disebut perkalian), [[pembagian kiri]] dari ''b'' oleh ''a'' (ditulis {{nowrap|''a'' \ ''b''}}) biasanya didefinisikan sebagai solusi ''x'' untuk persamaan {{nowrap|1=''a'' ∗ ''x'' = ''b''}}, jika ini adalah keujudan dan unik. Demikian pula, [[pembagian kanan]] dari ''b'' oleh ''a'' (ditulis {{nowrap|''b'' / ''a''}}) adalah solusi ''y'' untuk persamaan {{nowrap|1=''y'' ∗ ''a'' = ''b''}}. Pembagian dalam pengertian ini tidak memerlukan ∗ untuk memiliki sifat tertentu (seperti komutatifitas, asosiatifitas, atau [[elemen identitas]]).