Grup Abelian: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (4 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 17:
;Asosiatif: Untuk <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math> dalam <math>A</math>, persamaan <math>(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)</math>.
; Elemen identitas: Elemen <math>e</math> dalam <math>A</math>, maka untuk semua elemen <math>a</math> dengan <math>A</math> adalah persamaan <math>e \cdot a = a \cdot e = a</math>.
; Elemen invers: Untuk <math>a</math> dengan <math>A</math>, elemen <math>b</math> dalam <math>A</math> maka <math>a \cdot b = b \cdot a = e</math>, dimana <math>e</math> adalah [[elemen identitas]].
; Komutatif: Untuk <math>a</math>, <math>b</math> dengan <math>A</math>, <math>a \cdot b = b \cdot a</math>.
Baris 56:
* Setiap [[grup siklik]] <math>G</math> adalah abelian, karena jika <math> </math>, <math>y</math> dengan <math>G</math>, maka <math>xy = a^ma^n = a^{m+n} = a^na^m = yx</math>. Maka [[bilangan bulat]], <math>\mathbb{Z}</math>, membentuk grup abelian dengan penambahan, sebagai contoh [[aritmetika modular|bilangan bulat modulo <math>n</math>]] dan <math>\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}</math>.
* Setiap [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan. Dalam [[gelanggang komutatif]] elemen invers atau [[unit (teori gelanggang)|unit]] membentuk abelian [[grup perkalian]]. Secara khusus, [[bilangan riil]] adalah grup abelian di bawah penjumlahan, dan bilangan riil bukan nol adalah grup abelian dalam perkalian.
* Setiap [[subgrup]] dari grup abelian adalah [[subgrup normal|normal]], maka setiap subgrup adalah [[grup hasil bagi]]. Subgrup, hasil, dan [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] adalah grup abelian. Grup abelian [[grup sederhana|sederhana]] hingga merupakan grup siklik dari [[urutan (teori grup)|urutan]] [[Bilangan prima|prima]].<ref>2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA32 p. 32] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122130/https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA32 |date=2023-08-09 }}.</ref>
* Konsep grup abelian dan [[Modul (matematika)|modul]]-<math>\mathbb{Z}</math>. Lebih khusus, setiap modul-<math>\mathbb{Z}</math> adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan, dan setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat <math>\mathbb{Z}</math> dengan cara unik.
Secara umum, [[matriks (matematika)|matriks]] bahkan matriks invers, tidak membentuk grup abelian dalam perkalian karena [[perkalian matriks]] umumnya tidak komutatif. Namun, beberapa grup matriks adalah grup abelian dalam perkalian matriks, salah satu contohnya adalah grup <math>2 \times 2</math> pada [[
== Catatan sejarah ==
<!-- Pernyataan khusus ini tampaknya mencurigakan, tetapi arahnya benar. Catatan: diperbarui dan diperbaiki pada 2 September 2012 -->
[[Camille Jordan]] menamai grup abelian setelah [[matematikawan]] asal [[Norwegia|norsk]] [[Niels Henrik Abel]], karena Abel menemukan bahwa komutatifitas grup [[polinomial]] bahwa akar polinomial dapat [[solvabilitas oleh radikal|dihitung dengan menggunakan akar]].<ref>[[David A. Cox|D. A.]], ''Galois Theory'' ([[Hoboken, New Jersey|Hoboken]]: [[Wiley (publisher)|John Wiley & Sons]], 2004), [https://books.google.com/books?id=96P8lsAF7fcC&pg=PA144 pp. 144–145] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122128/https://books.google.com/books?id=96P8lsAF7fcC&pg=PA144|date=2023-08-09}}.</ref>{{rp|144–145}}
== Sifat ==
Baris 72:
Jika <math>f, g: G \to H</math> adalah dua [[homomorfisme grup]] di antara grup abelian, kemudian jumlah semua <math> f + g </math>, ditentukan oleh <math>(f + g)(x) = f(x) + g(x)</math> adalah homomorfisme (ini tidak tentu benar jika <math>H</math> adalah grup non-abelian). Himpunan <math>\text{Hom}(G,H)</math> dari semua homomorfisme grup dari <math>G</math> hingga <math>H</math> merupakan grup abelian dalam itu sendiri.
Agak mirip dengan [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi]] dari [[ruang vektor]], setiap grup abelian memiliki ''[[peringkat grup abelian|peringkat]]''. Ini didefinisikan sebagai [[bilangan pokok|kardinalitas]] maksimal dari satu himpunan elemen [[bebas linear]] (di atas bilangan bulat) grup.<ref>Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., & Subbotin, I. Y., ''Linear Groups: The Accent on Infinite Dimensionality'' ([[Milton Park]], [[Abingdon-on-Thames]] & [[Oxfordshire]]: [[Taylor & Francis]], 2020), [https://books.google.com/books?id=fODaDwAAQBAJ&pg=PT49 pp. 49–50] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122132/https://books.google.com/books?id=fODaDwAAQBAJ&pg=PT49|date=2023-08-09}}.</ref>{{rp|49–50}} Grup abelian hingga dan grup torsi memiliki peringkat nol, dan setiap grup abelian dengan peringkat nol adalah grup torsi. Bilangan bulat dan [[bilangan rasional]] memiliki peringkat satu, serta setiap bukan nol [[grup aditif|subgrup aditif]] dari rasio. Di sisi lain, [[grup perkalian]] dari rasio bukan nol memiliki pangkat tak hingga, karena ini adalah grup abelian bebas dengan himpunan [[bilangan prima]] sebagai basis (dari hasil dari [[teorema fundamental aritmetika]]).
[[Pusat (teori grup)|Pusat]] <math>Z(G)</math> dari grup <math>G</math> adalah himpunan elemen dengan setiap elemen <math>G</math>. Grup <math>G</math> adalah abelian jika dan hanya jika sama dengan pusatnya <math>Z(G)</math>. Pusat dari grup <math>G</math> merupakan [[subgrup karakteristik|karakteristik]] subgrup abelian dari <math> G </math>. Jika grup hasil bagi <math>G/Z(G)</math> grup dengan pusat siklik <math>G</math> adalah abelian.<ref>Rose 2012, [https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA48 p. 48] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122130/https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ&lpg=PP1&hl=de&pg=PA48 |date=2023-08-09 }}.</ref>
== Grup abelian hingga ==
Baris 103:
Menerapkan [[#Klasifikasi|teorema fundamental]] untuk menghitung (dan terkadang menentukan) [[Isomorfisme grup#Automorfisme|automorfisme]] dari grup abelian terbatas yang diberikan <math>G</math>. Untuk menggunakan fakta bahwa jika <math>G</math> membagi sebagai jumlah langsung <math>H\oplus K</math> dari subgrup [[koprima]] urutan, maka <math>\text{Aut}(H\oplus K) \cong \text{Aut}(H)\oplus \text{Aut}(K)</math>.
Dengan ini, teorema fundamental menunjukkan bahwa untuk menghitung grup automorfisme dari <math> G </math> itu cukup untuk menghitung grup automorfisme dari [[Teorema Sylow
:<math>e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n</math>
Baris 139:
== Grup abelian yang dihasilkan tak hingga ==
{{main|Grup abelian yang dihasilkan tak hingga}}
Grup abelian {{mvar|A}} tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut ''generator'') <math>G=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah [[kombinasi linear]] dengan koefisien bilangan bulat elemen {{mvar|G}}.
Misalkan {{mvar|L}} menjadi [[grup abelian bebas]] dengan basis <math>B=\{b_1, \ldots, b_n\}.</math>
Baris 166:
=== Grup torsi ===
Grup abelian disebut '''[[grup periodik|periodik]]''' atau '''[[torsi (aljabar)|torsi]]''', jika setiap elemen memiliki terbatas [[tatanan (teori grup)|tatanan]]. Jumlah langsung dari grup siklik hingga bersifat periodik. Meskipun pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum, beberapa kasus khusus diketahui. [[Teorema Prüfer]] pertama dan kedua menyatakan bahwa jika <math>A</math> adalah grup periodik, dan memiliki '''eksponen terbatas''', yaitu <math>nA = 0</math> untuk beberapa bilangan asli <math>n</math>, atau dihitung dan [[tinggi (grup abelian)|tinggi-<math>p</math>]] elemen <math>A</math> terbatas untuk setiap <math>p</math>, maka <math>A</math> adalah isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik hingga.<ref>Asumsi hitungan dalam teorema Prüfer kedua tidak dapat dihilangkan: subgrup torsi dari [[produk langsung]] dari grup siklik <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> karena semua <math>m</math> natural bukanlah penjumlahan langsung dari grup siklik.</ref>
Kardinalitas himpunan sumsum langsung isomorfik ke <math>\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}</math> dalam dekomposisi invarian dari <math>A</math>.<ref>Faith, C. C., ''Rings and Things and a Fine Array of Twentieth Century Associative Algebra'' ([[Providence, Rhode Island|Providence]]: [[American Mathematical Society]], 2004), [https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA6 p. 6] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122634/https://books.google.com/books?id=H1TzBwAAQBAJ&pg=PA6 |date=2023-08-09 }}.</ref>{{rp|6}} Teorema ini kemudian dimasukkan dalam '''kriteria Kulikov'''. Di arah yang berbeda, [[Helmut Ulm]] menemukan perluasan dari teorema Prüfer kedua menjadi abelian grup-<math>p</math> yang dapat dihitung dengan elemen ketinggian tak hingga: grup itu sepenuhnya diklasifikasikan melalui [[invarian Ulm]] mereka.
=== Grup bebas torsi dan campuran ===
Baris 175:
* [[Grup tipis]]
Grup abelian tidak periodik atau bebas torsi disebut '''campuran'''. Jika <math>A</math> adalah grup abelian dan <math>T(A)</math> adalah [[subgrup torsi]], maka grup faktor <math>A/T(A)</math> bebas torsi. Namun, secara umum subgrup torsi bukan merupakan penjumlahan langsung dari <math>A</math>, jadi <math>A</math> adalah ''bukan'' isomorfik ke <math>T(A) \oplus A/T(A)</math>. Jadi teori grup campuran melibatkan lebih dari sekedar menggabungkan hasil tentang grup periodik dan bebas torsi. Grup aditif <math>\mathbb{Z}</math> bilangan bulat bebas torsi modul-<math>\mathbb{Z}</math>.<ref>Lal, R., ''Algebra 2: Linear Algebra, Galois Theory, Representation Theory, Group Extensions and Schur Multiplier'' (Berlin, Heidelberg: Springer, 2017), [https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA206 p. 206] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809122635/https://books.google.com/books?id=FwPNDgAAQBAJ&pg=PA206 |date=2023-08-09 }}.</ref>{{rp|206}}
=== Invarian dan klasifikasi ===
Baris 205:
* {{cite book|last=Fuchs|first=László|authorlink=László Fuchs |date=1970 |title=Infinite Abelian Groups |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-I |publisher=[[Academic Press]] |mr=0255673 }}
* {{cite book |last=Fuchs |first=László |date=1973 |title=Infinite Abelian Groups |series=Pure and Applied Mathematics |volume=36-II |publisher=[[Academic Press]] |mr=0349869 }}
* {{cite book |first=Phillip A. |last=Griffith |date=1970 |title=Infinite Abelian group theory |url=https://archive.org/details/infiniteabeliang0000grif |series=Chicago Lectures in Mathematics |publisher=[[University of Chicago Press]] |isbn=0-226-30870-7}}
* {{cite book |last=Herstein |first=I. N. |author-link=Israel Nathan Herstein |date=1975 |title=Topics in Algebra |url=https://archive.org/details/topicsinalgebra00hers |url-access=registration |edition=2nd |publisher=[[John Wiley & Sons]] |isbn=0-471-02371-X}}
* {{cite journal |last1=Hillar |first1=Christopher |last2=Rhea |first2=Darren |date=2007 |title=Automorphisms of finite abelian groups |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=114 |issue=10 |pages=917–923 |doi=10.1080/00029890.2007.11920485 |arxiv=math/0605185|jstor=27642365|bibcode=2006math......5185H |s2cid=1038507 }}
* {{Cite book| last=Jacobson| first=Nathan| authorlink=
* {{cite book |last=Rose |first=John S. |date=2012 |title=A Course on Group Theory |url=https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ |publisher=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-68194-8 |ref=harv |access-date=2020-12-14 |archive-date=2023-08-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230809122641/https://books.google.com/books?id=pYk6AAAAIAAJ |dead-url=no }} Unabridged and unaltered republication of a work first published by the [[Cambridge University Press]], Cambridge, England, in 1978.
* {{cite journal
== Pranala luar ==
Baris 218:
{{DEFAULTSORT:Abelian Group}}
[[Kategori:
[[Kategori:
[[Kategori:
| |||