Gelanggang (matematika): Perbedaan antara revisi

#* Terdapa sebuah unsur 1 dalam ''R'' yang menyebabkan ''a'' · 1 = ''a'' dan 1 · ''a'' = ''a'' untuk setiap ''a'' dalam ''R''&nbsp;&nbsp;&nbsp;(dengan kata lain, terdapat 1 sebagai [[identitas perkalian]]).<ref>Keberadaan 1 tidak diharuskan oleh setiap pengarang; di sini, istilah ''[[rngRng (aljabar)|rng]]'' apabila keberadaan 1 tidak diperlukan.<!-- This is the most common convention, and is adopted throughout wikipedia, please do not change --> Lihat [[Gelanggang (matematika)#Catatan mengenai definisi|subbagian berikutnya]]</ref>

Penelitian gelanggang berawal dari teori [[gelanggang polinomial]] dan teori [[bilangan bulat aljabar]].<ref name="history">[{{Cite web |url=http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |title=The development of Ring Theory] |access-date=2020-05-21 |archive-date=2017-04-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |dead-url=yes }}</ref> Pada 1871, [[Richard Dedekind]] mendefinisikan konsen gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan.<ref>{{sfn|Kleiner |1998, |p.&nbsp;=27.</ref>}} Dalam konteks ini, dia memperkenalkan istilah "ideal" (terinspirasi dari istilah angka ideal dari [[Ernst Kummer]]) dan "modul" dan mempelajari sifat-sifat mereka. Namun, Dedekind tidak mengguanakan istilah "''ring''" dan tidak mendefinisikan konsep gelanggang secara umum.

Istilah "''Zahlring''" (gelanggang angka) dibuat oleh [[David Hilbert]] pada 1892 dan diterbitkan pada 1897.<ref>{{sfn|Hilbert |1897.</ref>}} Menurut Harvey Cohn, Hilbert menggunakan istilah gelanggang yang memiliki sifat "berputar kembali" ke unsur itu sendiri.<ref>{{Citation|last=Cohn|first=Harvey|title=Advanced Number Theory|publisher=Dover Publications|location=New York|year=1980|page=[https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49 49]|isbn=978-0-486-64023-5|url=https://archive.org/details/advancednumberth00cohn_0/page/49}}</ref> Secara khusus, dalam sebuah gelanggang bilangan bulat aljabar, semua pangkat yang tinggi dari bilangan bulat aljabar bisa ditulis sebagai kombinasi integral dari pangkat-pangkat yang rendah, jadi pangkatnya "berputar". Contohnya, jika {{nowrap|1=''a''³ − 4''a'' + 1 = 0}} maka {{nowrap|1=''a''³ = 4''a'' − 1}}, {{nowrap|1=''a''⁴ = 4''a''² − ''a''}}, {{nowrap|1=''a''⁵ = −''a''² + 16''a'' − 4}}, {{nowrap|1=''a''⁶ = 16''a''² − 8''a'' + 1}}, {{nowrap|1=''a''⁷ = −8''a''² + 65''a'' − 16}}, dan seterusnya; secara umum, ''a''^''n'' adalah [[kombinasi linear]] integral dari 1, ''a'', dan ''a''².

Definisi aksiomatik gelanggang yang pertama diberikan oleh [[Abraham Fraenkel|Adolf Fraenkel]] pada 1914,<ref>{{sfn|Fraenkel, |1915|pp.&nbsp;=143–145</ref><ref>}}{{sfn|Jacobson (|2009), |p. =86, |loc=footnote 1.</ref>}} tapi aksiomanya lebih ketat daripada yang terdapat di definisi modern. Contohnya, dia menetapkan setiap [[pembagi nol|pembagi bukan nol]] harus memiliki [[invers perkalian]].<ref>{{sfn|Fraenkel, |1915|p.&nbsp;=144,|loc=axiom axiom&nbsp;''R''₈₎.</ref>}} Pada 1921, [[Emmy Noether]] memberikan definisi aksiomatik modern dari gelanggang (komutatif) dan mengembangkan dasar dari teori gelanggang komutatif dalam makalahnya ''Idealtheorie in Ringbereichen''.<ref name="{{sfn|Noether, |1921|p. =29">Noether, p.&nbsp;29.</ref>}}

Fraenkel menetapkan sebuah gelanggang harus memiliki identitas perkalian 1,<ref>{{sfn|Fraenkel, |1915|p.&nbsp;=144, |loc=axiom&nbsp; ''R''₇₎.</ref>}} sedangkan Noether tidak.<ref name="{{sfn|Noether, |1921|p. =29"/>}}

Sebagian besar buku aljabar<ref>Van{{sfn|van der Waerden, |1930.</ref><ref>}}{{sfn|Zariski and |Samuel, |1958.</ref>}} sampai sekitar tahun 1960 mengikuti definisi Noether yang tidak memerlukan 1. Mulai dari 1960-an, menjadi lebih banyak buku yang memerlukan 1 dalam definisi gelanggang, terutama di buku lanjutan oleh penulis terkenal seperti Artin,<ref>{{sfn|Artin, |2018|p.&nbsp;=346.</ref>}} Atiyah dan MacDonald,<ref>{{sfn|Atiyah and |MacDonald, |1969|p.&nbsp;=1.</ref>}} Bourbaki,<ref>{{sfn|Bourbaki, |1989|p.&nbsp;=96.</ref>}} Eisenbud,<ref>{{sfn|Eisenbud, ||p.&nbsp;=11.</ref>}} dan Lang.<ref>{{sfn|Lang, ||p.&nbsp;=83.</ref>}} Meskipun begitu, sekarang masih banyak buku yang tidak memerlukan 1.<ref>{{sfn|Gallian, |2006|p.&nbsp;=235.</ref><ref>}}{{sfn|Hungerford, |1997|p.&nbsp;=42.</ref><ref>}}{{sfn|Warner, |1965|p.&nbsp;=188.</ref>}}

Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya [[jumlah langsung]] tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima."<ref>{{sfn|Gardner and |Wiegandt |2003.</ref>}} [[Bjorn Poonen|Poonen]] membuat argumen bantahan: gelanggang tanpa identitas perkalian tidak bersifat asosiatif secara total (hasil kali dari barisan terhingga manapun yang terdiri dari unsur-unsur gelanggang, termasuk barisan kosong, didefinisikan dengan baik, tidak tergantung urutan operasi) dan menulis "lanjutan alamiah dari sifat asosiatif memerlukan gelanggang yang mengandung hasil kali kosong, jadi wajar bila gelanggang memerlukan sebuah 1".<ref>{{sfn|Poonen |2018.</ref>}}

Dalam kategori kedua, beberapa penulis menggunakan istilah-istilah berikut:<ref>{{sfn|Wilder |1965, |p. =176.</ref><ref>}}{{sfn|Rotman |1998, |p. =7.</ref>}}

:* gelanggang tanpa identitas perkalian: ''rng'' atau ''pseudo-ring'',<ref>{{sfn|Bourbaki, |1989|p.&nbsp;=98.</ref>}} tapi yang kedua bisa jadi membingungkan karena punya arti lain.

== CatatanModul ==