Gelanggang (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
(14 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Struktur aljabar dengan penjumlahan dan perkalian}}
{{about|struktur aljabar|gelanggang geometris|Annulus (matematika)|konsep teori himpunan|gelanggang himpunan}}
{{Teori gelanggang sidebar}}
Dalam [[matematika]], '''gelanggang''' ({{asal kata|Inggris|ring}}) merupakan salah satu [[struktur aljabar]] yang dibahas dalam [[aljabar abstrak]]. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua [[operasi biner]] yang didasarkan pada [[operasi aritmetika]] [[penjumlahan]] dan [[perkalian]]. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada [[aritmetika]] diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti [[polinomial]], [[Deret (matematika)|deret]], [[Matriks (matematika)|matriks]], dan [[Fungsi (matematika)|fungsi]].
Baris 8 ⟶ 13:
== Definisi ==
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|jmpl|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan operasi [[penjumlahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipikal dari gelanggang.]]Sebuah '''gelanggang''' adalah sebuah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] ''R'' dengan dua [[operasi biner]] + dan '''·''' yang memenuhi ketiga aksioma berikut, juga disebut '''aksioma gelanggang'''<ref>{{cite book|author=Nicolas Bourbaki|title=Algebra|publisher=Springer-Verlag|section=§I.8|year=1970}}</ref><ref>{{cite book|title=Algebra|author1=Saunders MacLane|author2=Garrett Birkhoff|publisher=AMS Chelsea|page=85|year=1967|author1-link=Saunders MacLane}}</ref><ref>{{cite book|author=Serge Lang|title=Algebra|url=https://archive.org/details/algebra00slan_986|publisher=Springer-Verlag|page=[https://archive.org/details/algebra00slan_986/page/n97 83]|year=2002|edition=Third|author-link=Serge Lang}}</ref>
# ''R'' merupakan [[grup abelian]] terhadap penjumlahan, artinya:
Baris 26 ⟶ 22:
# ''R'' merupakan [[monoid]] terhadap perkalian, artinya:
#* (''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R'' (dengan kata lain, · bersifat asosiatif).
#* Terdapa sebuah unsur 1 dalam ''R'' yang menyebabkan ''a'' · 1 = ''a'' dan 1 · ''a'' = ''a'' untuk setiap ''a'' dalam ''R'' (dengan kata lain, terdapat 1 sebagai [[identitas perkalian]]).<ref>Keberadaan 1 tidak diharuskan oleh setiap pengarang; di sini, istilah ''[[
# Perkalian bersifat [[distributif]] terhadap penjumlahan, artinya:
#* ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R'' (distributif kiri).
#* (''b'' + ''c'') · ''a'' = (''b'' · ''a'') + (''c'' · ''a'') untuk setiap ''a'', ''b'', ''c'' dalam ''R'' (distributif kanan).
Seperti dijelaskan dalam bagian {{section link||Sejarah}}, sebagian penulis memakai ketentuan berbeda di mana sebuah gelanggang tidak perlu memiliki identitas perkalian. Artikel ini menggunakan ketentuan, kecuali ketika disebutkan sebaliknya, bahwa sebuah gelanggang harus memiliki identitas tersebut.<!--- This is also the convention in [[Wikipedia:Manual of Style/Mathematics]]. ---> Sebagian penulis yang menggunakan ketentuan ini menyebut struktur yang memenuhi semua aksioma ''kecuali'' syarat identitas perkalian sebagai [[rng (aljabar)|rng]] (biasa dibaca ''rung'') dan sebagian menyebutnya [[gelanggang semu]]. Contohnya, himpunan semua bilangan genap dengan operasi + dan ⋅ yang biasa merupakan sebuah rng, tapi bukan sebuah gelanggang.
Baris 48 ⟶ 42:
== Contoh ==
[[Berkas:Number-line.svg|alt=|thumb|410x410px|[[Bilangan bulat]], dengan dua operasi [[penambahan]] dan [[perkalian]], membentuk contoh prototipe gelanggang.]]
Contoh paling familiar dari sebuah gelanggang adalah himpunan dari semua bilangan bulat <math>\mathbf{Z}</math>, terdiri dari [[bilangan]]
: ... , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Sifat familiar untuk penjumlahan dan perkalian bilangan bulat berfungsi sebagai model untuk aksioma gelanggang.
=== Contoh: Bilangan bulat modulo 4 ===
{{see also| Aritmetika modular}}
Baris 73 ⟶ 75:
=== Dedekind ===
Penelitian gelanggang berawal dari teori [[gelanggang polinomial]] dan teori [[bilangan bulat aljabar]].<ref name="history">
=== Hilbert ===
Istilah "''Zahlring''" (gelanggang angka) dibuat oleh [[David Hilbert]] pada 1892 dan diterbitkan pada 1897.
=== Fraenkel dan Noether ===
Definisi aksiomatik gelanggang yang pertama diberikan oleh [[Abraham Fraenkel|Adolf Fraenkel]] pada 1914,
=== Identitas perkalian: wajib vs. pilihan ===
Fraenkel menetapkan sebuah gelanggang harus memiliki identitas perkalian 1,
Sebagian besar buku aljabar
Menghadapi ambiguitas ini, sebagian penulis mencoba menekankan pandangkan mereka, sementara sebagian yang lainya mencoba memakai istilah yang lebih persis.
Dari kategori pertama, salah satu contohnya adalah Gardner dan Wiegandt, yang mengatakan bahwa apabila semua gelanggang harus memiliki 1, maka salah satu akibatnya adalah tidak adanya [[jumlah langsung]] tak terhingga dari gelanggang, dan yang dijumlah langsung dari gelanggang bukanlah subgelanggang. Mereka menyimpulkan bahwa "dalam banyak, mungkin kebanyakan, cabang teori gelanggang dibutuhkannya keberadaan unsur satuan tidaklah berakal sehat, dan sebab itu tidak bisa diterima."
Dalam kategori kedua, beberapa penulis menggunakan istilah-istilah berikut:
:* gelanggang dengan identitas perkalian: ''unital ring'', ''unitary ring'', ''unit ring'', ''ring with unity'', ''ring with identity'', atau ''ring with 1''
:* gelanggang tanpa identitas perkalian: ''rng'' atau ''pseudo-ring'',
==
{{main|Modul (matematika)}}
Konsep ''modul di atas gelanggang'' menggeneralisasi konsep [[ruang vektor]] (di atas [[bidang (matematika)|bidang]]) dengan menggeneralisasi dari perkalian vektor dengan elemen bidang ([[perkalian skalar]]) ke perkalian dengan elemen gelanggang. Lebih tepatnya, diberi gelanggang {{math|''R''}} dengan 1, sebuah modul-{{math|''R''}} dengan {{math|''M''}} adalah [[grup abelian]] dilengkapi dengan [[operasi (matematika)|operasi]] {{math|''R'' × ''M'' → ''M''}} (mengaitkan elemen {{math|''M''}} ke elemen {{math|''R''}} dan elemen {{math|''M''}}) yang memenuhi [[Aksioma#Aksioma non-logis|aksioma]] tertentu. Operasi ini biasanya dilambangkan dengan perkalian dan disebut perkalian. Aksioma modul adalah sebagai berikut: untuk {{math|''a'', ''b''}} dalam {{math|''R''}} dan {{math|''x'', ''y''}} dalam {{math|''M''}}, maka:
* {{math|''M''}} adalah grup abelian di bawah tambahan.
* <math>a(x+y)=ax+ay</math>
* <math>(a+b)x=ax+bx</math>
* <math>1x=x</math>
* <math>(ab)x=a(bx)</math>
Ketika gelanggang adalah [[gelanggang nonkomutatif|nonkomutatif]] aksioma-aksioma ini mendefinisikan ''modul kiri''; ''modul kompleks'' didefinisikan serupa dengan {{math|''xa''}} dari {{math|''ax''}}. Hal ini bukan hanya perubahan notasi, sebagai aksioma terakhir dari modul kanan (yaitu {{math|1=''x''(''ab'') = (''xa'')''b''}}) menjadi {{math|1=(''ab'')''x'' = ''b''(''ax'')}}, jika perkalian kiri (dengan elemen gelanggang) digunakan untuk modul kanan.
Contoh dasar modul adalah ideal, termasuk cincin itu sendiri.
Meskipun didefinisikan serupa, teori modul jauh lebih rumit daripada ruang vektor, terutama, karena, tidak seperti ruang vektor, modul tidak dikarakterisasi (hingga isomorfisme) oleh invarian tunggal ([[dimensi (ruang vektor)|dimensi ruang vektor]]). Secara khusus, tidak semua modul memiliki [[basis (aljabar linear)|basis]].
Aksioma modul menyiratkan bahwa {{math|1=(−1)''x'' = −''x''}}, di mana minus pertama menunjukkan [[aditif invers]] di dalam gelanggang dan minus kedua menunjukkan invers penjumlahan di modul. Menggunakan ini dan menunjukkan penambahan berulang dengan perkalian dengan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] memungkinkan mengidentifikasi kelompok abelian dengan modul di atas gelanggang bilangan bulat.
== Lihat pula ==
{{Wikibooks|Aljabar Abstrak/Gelanggang}}
{{Div col|colwidth=18em}}
Baris 112 ⟶ 131:
* [[Gelanggang Dedekind]]
* [[Gelang diferensial]]
* [[Bidang eksponensial
* [[Gelanggang terbatas]]
* [[Gelanggang Lie]]
* [[Gelanggang lokal]]
* [[Gelanggang Noetherian
* [[Gelanggang urutan]]
* [[Gelanggang Poisson]]
Baris 141 ⟶ 160:
| edition=2nd
| year=2018
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 146 ⟶ 166:
| first1=Michael
| author1-link=Michael Atiyah
| last2=
| first2=Ian G.
| author2-link=Ian G.
| title=Introduction to commutative algebra
| publisher=Addison–Wesley
| year=1969
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 160 ⟶ 181:
| year=1964
| publisher=Hermann
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 168 ⟶ 190:
| publisher=Springer
| year=1989
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 182 ⟶ 205:
| author-link=David Eisenbud
| title=Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
| url=https://archive.org/details/commutativealgeb0000eise
| publisher=Springer
| year=1995
| ref=harv
}}
* {{Cite book
| last1=Gallian
| first1=Joseph A.
| title=Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition.
| url=https://archive.org/details/contemporaryabst0000gall
| publisher=Houghton Mifflin
| year=2006
| isbn=9780618514717
| ref=harv
}}
* {{Cite book
| title=Radical Theory of Rings
Baris 202 ⟶ 229:
| year=2003
| isbn=0824750330
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 215 ⟶ 243:
| orig-year=reprint of the 1968 original
| isbn=0-88385-015-X
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 223 ⟶ 252:
| year=1997
| isbn=9780030105593
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 234 ⟶ 264:
| year=2009
| isbn=978-0-486-47189-1
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 244 ⟶ 275:
| edition=Revised
| year=1964
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 253 ⟶ 285:
| volume=I
| year=1943
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 277 ⟶ 310:
| year=2001
| isbn=0-387-95183-0
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 288 ⟶ 322:
| year=2003
| isbn=0-387-00500-5
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 299 ⟶ 334:
| year=1999
| isbn=0-387-98428-3
| ref=harv
}}
* {{Lang Algebra|edition=3r}}.
Baris 310 ⟶ 346:
| year=1989
| isbn=978-0-521-36764-6
| ref=harv
}}
* {{Cite web
Baris 316 ⟶ 353:
| title=A primer of commutative algebra
| url=http://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2023-05-30
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230530132032/https://www.jmilne.org/math/xnotes/ca.html
| dead-url=no
}}
* {{Citation
| last1=Rotman
Baris 346 ⟶ 387:
| year=1965
| isbn=9780486663418
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 351 ⟶ 393:
| last1=Wilder
| title=Introduction to Foundations of Mathematics
| url=https://archive.org/details/introductiontofo0000wild_t0a3
| publisher=Wiley
| year=1965
| ref=harv
}}
* {{Cite book
| last1=Zariski
Baris 363 ⟶ 407:
| publisher=Van Nostrand
| year=1958
| ref=harv
}}
{{refend}}
Baris 401 ⟶ 446:
| pages=222–227
| year=1947
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 410 ⟶ 456:
| publisher=Cambridge University Press
| year=2000
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 422 ⟶ 469:
| url-access=registration
| url=https://archive.org/details/skewfieldstheory0000cohn
}}
* {{Citation
| last1=Eisenbud
Baris 447 ⟶ 494:
| doi=10.3792/pja/1195519146
| doi-access=free
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 454 ⟶ 502:
| first2=H.
| title=Handbook of Mathematics and Computational Science
| url=https://archive.org/details/handbookofmathem00harr
| publisher=Springer
| year=1998
| ref=harv
}}
* {{Cite book
| last=Isaacs
Baris 464 ⟶ 514:
| isbn=978-0-8218-4799-2
| year=1994
| ref=harv
}}
* {{Citation
Baris 489 ⟶ 540:
| publisher=Addison–Wesley
| year=1998
| ref=harv
}}
* {{Cite book
Baris 500 ⟶ 552:
| isbn=9780486411477
| url=https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&q=ring
| ref=harv
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2023-07-29
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230729211757/https://books.google.com/books?id=xUQc0RZhQnAC&q=ring
| dead-url=no
}}
* {{Cite web
| last=Milne
Baris 506 ⟶ 563:
| title=Class field theory
| url=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2023-03-14
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230314232125/https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html
| dead-url=no
}}
* {{Citation
| last1=Nagata
Baris 530 ⟶ 591:
| isbn=0-387-90693-2
| url=https://archive.org/details/associativealgeb00pier_0
| ref=harv
}}
* {{Citation
| last=Poonen
Baris 539 ⟶ 601:
| arxiv=1404.0135
| url=https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
| accessdate=2021-02-01
| archive-date=2023-05-05
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230505065100/https://math.mit.edu/~poonen/papers/ring.pdf
| dead-url=no
}}
* {{Citation
| last=Serre
Baris 560 ⟶ 626:
| url=https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&q=ring
| isbn=9783540373704
| accessdate=2021-02-01
| archive-date=2023-07-29
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230729211758/https://books.google.com/books?id=pTV7CwAAQBAJ&q=ring
| dead-url=no
}}
* {{Cite web
| last=Weibel
Baris 566 ⟶ 636:
| title=The K-book: An introduction to algebraic K-theory
| url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2017-01-05
| archive-url=https://web.archive.org/web/20170105041334/http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
| dead-url=no
}}
* {{Cite book
| last1=Zariski
Baris 580 ⟶ 654:
| year=1975
| isbn=0-387-90089-6
| ref=harv
}}
{{refend}}
Baris 594 ⟶ 669:
| pages=139–176
| year=1915
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 603 ⟶ 679:
| volume=4
| year=1897
| ref=harv
}}
* {{Cite journal
Baris 617 ⟶ 694:
| s2cid=121594471
| url=https://zenodo.org/record/1428306
| ref=harv
| access-date=2021-02-01
| archive-date=2023-05-26
| archive-url=https://web.archive.org/web/20230526213845/https://zenodo.org/record/1428306
| dead-url=no
}}
{{refend}}
Baris 622 ⟶ 704:
=== Referensi sejarah ===
{{refbegin}}
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html History of ring theory at the MacTutor Archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170424234340/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Ring_theory.html |date=2017-04-24 }}
* [[Garrett Birkhoff]]
* Bronshtein, I. N.
* Faith, Carl (1999) ''Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra''. Mathematical Surveys and Monographs, 65. [[American Mathematical Society]] {{isbn|0-8218-0993-8}}.
* Itô, K. editor (1986) "Rings." §368
* [[Israel Kleiner (
* Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", [[Elemente der Mathematik]] 53: 18–35.
* [[B. L. van der Waerden]] (1985) ''A History of Algebra'', Springer-Verlag,
{{refend}}
{{Aljabar}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:
[[Kategori:Struktur aljabar]]
[[Kategori:Teori gelanggang]]
|