Notasi anak panah atas Knuth: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (9 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
* Anak panah tunggal <math>\displaystyle (\uparrow)</math> mewakili [[Eksponensiasi|eksponenisasi]] yang merupakan perkalian berulang.
Baris 62:
<math>3 \uparrow \uparrow 5 = 3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{3^{27}}} = 3^{3^{7625597484987}} = 3^{1,2580143 \times 10^{3638334640024}} </math>
Dan seterusnya, Walaupun bilangan ini sudah terlihat sangat besar. Hiperoperasi tidak berhenti disitu. Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah jumlah anak panah pada notasi anak panah knuth
[[Hiperoperasi|Pentasi]], mendefinisikan iterasi dari tetrasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap tiga <math>(\uparrow \uparrow \uparrow) </math>:
Baris 137:
{\displaystyle \underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...000} _{15}}}}</math> = <math>{\displaystyle 10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}}</math>
Fungsi yang tumbuh lebih cepat dari ini oun dapat dikategorikan menggunakan analisis [[Bilangan ordinal|ordinal]] yang disebut [[hierarki cepat bertumbuh]] Hirarki cepat bertumbuh menggunakan iterasi fungsi dan diagonalisasi yang berurutan untuk secara sistematis membuat fungsi yang tumbuh lebih cepat dari beberapa fungsi dasar. <math>f(x)</math> untuk hirarki cepat bertumbuh dapat menggunakan <math>f_0(x)=x+1</math>, <math>f_1(x)</math> menunjukkan perkalian, <math>f_2(x)</math> sudah menunjukkan eksponensial, <math>f_3(x)</math> menunjukkan iterasi eksponenisasi berupa tetrasi. Kemudian <math>
{\displaystyle f_{\omega }(x)}</math> sebanding dengan [[Fungsi Ackermann]] ,<math>\displaystyle {f_{\omega +1 } }</math>sudah berada di luar jangkauan panah bertingkat, tetapi masih dapat digunakan untuk memperkirakan [[Bilangan Graham]] , dan sebanding dengan notasi panah berantai Conway yang bisa dipanjangjan sepanjang apapun.
Semua fungsi ini dapat dihitung. Bahkan fungsi yang dapat dihitung lebih cepat, seperti [[Deret Goodstein]] dan [[Deret TREE]] yang memerlukan penggunaan ordinal besar, dapat terjadi dalam konteks kombinatorik dan teori pembuktian tertentu. Ada fungsi yang tumbuh sangat cepat, seperti [[Fungsi Busy Beaver]] , yang sifatnya akan sepenuhnya berada di luar jangkauan panah atas, atau bahkan analisis berbasis ordinal apa pun.
== Definisi ==
Tanpa referensi dari [[hiperoperasi]], Notasi anak panah atas Knuth masih dapat dijabarkan dengan rumus formal matematika.
<math>{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{jika }}n=1;\\1,&{\text{jika }}n>1{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak ada yang terpenuhi}}\end{cases}}}</math>
Dimana [[Bilangan bulat]] <math>\text{a, b, n}</math> adalah <math>{\displaystyle {a\geq 0, \text{ } n\geq 1,\text{ } b\geq 0}}</math>.
Definisi ini menggunakan [[Eksponensiasi|eksponenisasi]] <math>(a \uparrow ^1b = a \uparrow b = a^b )</math> sebagai kasus atau tingkatan dasar, dan [[tetrasi]] <math>(a \uparrow ^2b = a \uparrow \uparrow b)</math> sebagai eksponenisasi yang diulang(iterasi). ini setara dengan tingkatan hiperoperasi kecuali [[suksesi]], [[penjumlahan]] dan [[perkalian]].
Seseorang juga dapat memilih perkalian <math>( a \uparrow ^0 b = a \times b )</math>sebagai kasus dasar dan ulangi dari sana. Kemudian eksponensial menjadi perkalian berulang. Definisi formalnya adalah:
<math>{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{jika }}n=0;\\1,&{\text{jika }}n>0{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak terpenuhi }}\end{cases}}}</math>
Dimana [[Bilangan bulat]] <math>\text{a, b, n}</math> adalah <math>{\displaystyle {a\geq 0, \text{ } n\geq 0,\text{ } b\geq 0}}</math>.
Namun perlu dicatat bahwa simplifikasi Notasi anak panah Knuth tidak mendefinisikan "panah nol" <math>(\uparrow ^0)</math>, notasi ini daspat diperluas ke indeks <math>(n \geq -2)</math> sedemikian rupa sehingga sesuai dengan seluruh rangkaian hiperoperasi kecuali untuk jeda dalam pengindeksan:
<math>{\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ dengan }}n\geq 0.}</math>
Operasi panah ke atas adalah termasuk [[Sifat asosiatif|operasi asosiatif kanan]]. Yaitu dimana operasi <math>a \uparrow b \uparrow c</math>, dipahami sebagai <math>a \uparrow (b \uparrow c)</math>, alih-alih <math>(a \uparrow b) \uparrow c</math> Jika ambiguitas bukan masalah, tanda kurung terkadang dihilangkan.
== Tabel nilai bilangan ==
=== Menghitung 0↑<sup>n</sup>b ===
Menghitung <math>{\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}</math> akan menghasilkan:
* 0, jika ''n'' = 0
* 1, jika ''n'' = 1 dan ''b'' = 0
* 0, jika ''n'' = 1 dan ''b'' > 0
* 1, jika ''n'' > 1 dan ''b'' genap (termasuk juga ketika b = 0)
* 0, jika ''n'' > 1 dan ''b'' ganjil
=== Menghitung 1↑<sup>n</sup>b ===
Menghitung angka 1 dengan cara mengalikannya, memangkatkannya atau bahkan menumpuknya dengan tetrasi akan selalu menghasilkan angka 1.
=== Menghitung 2↑<sup>n</sup>b ===
Komputasi <math>2 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. disini hanya ditampilan angka-angka <math>2^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 2.
{| class="wikitable"
|+ Nilai dari <math>2\uparrow^n b</math> = [[Hyperoperation#Notations|<math>H_{n+2}(2,b)</math>]] = [[Hyperoperation#Notations|<math>2[n+2]b</math>]] = <math> 2 \to b \to n </math>
|-
! {{diagonal split header|''ⁿ''|''b''}}
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! 6
! formula
|-
! 1
| 2 || 4 || 8 || 16 || 32 || 64 || <math>2^b</math>
|-
! 2
| 2 || 4 || 16 || 65536 || <math>2^{65{,}536}\approx 2.0 \times 10^{19{,}728}</math> || <math>2^{2^{65{,}536}}\approx 10^{6.0 \times 10^{19{,}727}}</math> || <math>2\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 3
| 2 || 4 || 65536 || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^2}}}}}} \\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536 \end{matrix}
</math>|| <math>
\begin{matrix}
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536
\end{matrix}</math>|| <math>
\begin{matrix}
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536
\end{matrix}</math>|| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 4
| 2 || 4 || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^2}}}}}}\\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536
\end{matrix}</math>|| <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2}\\
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536
\end{matrix}</math>|| <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2}\\
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536
\end{matrix}</math>|| <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2}\\
\underbrace{2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}}\\
2 \mbox{ sebanyak } 65{.}536
\end{matrix}</math>
| <math>2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|}
=== Menghitung 3↑<sup>n</sup>b ===
Komputasi <math>3 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. disini hanya ditampilan angka-angka <math>3^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 3.
{| class="wikitable"
|+ Nilai dari <math>3\uparrow^n b</math> = [[Hyperoperation#Notations|<math>H_{n+2}(3,b)</math>]] = [[Hyperoperation#Notations|<math>3[n+2]b</math>]] = <math> 3 \to b \to n </math>
|-
! {{diagonal split header|''ⁿ''|''b''}}
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! formula
|-
! 1
| 3 || 9 || 27 || 81 || 243 || <math>3^b</math>
|-
! 2
| 3 || 27 || 7.625.597.484.987 || <math>3^{7{.}625{.}597{.}484{.}987}\approx 1.3 \times 10^{3{.}638{.}334{.}640{.}024}</math> || <math>3^{3^{7{.}625{.}597{.}484{.}987}}</math> || <math>3\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 3
| 3 || 7.625.597.484.987 || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}}\\
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}}\\
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}}\\
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math> || <math>3\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 4
| 3 || <math>\begin{matrix}
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math> || <math>\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3}\\
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math> || <math>\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3}\\
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math> || <math>\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3}\\
\underbrace{3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}\\
3 \mbox{ sebanyak } {7{.}625{.}597{.}484{.}987}
\end{matrix}</math>
| <math>3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|}
=== Menghitung 4↑<sup>n</sup>b ===
Komputasi <math>4 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. disini hanya ditampilan angka-angka <math>4^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 4.
{| class="wikitable"
|+ Nilai dari <math>4\uparrow^n b</math> = [[Hyperoperation#Notations|<math>H_{n+2}(4,b)</math>]] = [[Hyperoperation#Notations|<math>4[n+2]b</math>]] = <math> 4 \to b \to n </math>
|-
! {{diagonal split header|''ⁿ''|''b''}}
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! formula
|-
! 1
| 4 || 16 || 64 || 256 || 1024 || <math>4^b</math>
|-
! 2
| 4 || 256 || <math>4^{256}\approx 1.34 \times 10^{154}</math> || <math>4^{4^{256}}\approx 10^{8.0 \times 10^{153}}</math> || <math>4^{4^{4^{256}}}</math> || <math>4\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 3
| 4 || <math>4^{4^{256}}\approx 10^{8.0 \times 10^{153}}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^4}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math> || <math>4\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 4
| 4 || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
\underbrace{4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}}\\
4 \mbox{ sebanyak } 4^{4^{256}}
\end{matrix}</math>
| <math>4\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|}
=== Menghitung 10↑<sup>n</sup>b ===
Komputasi <math>10 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. disini hanya ditampilan angka-angka <math>10^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 10.
{| class="wikitable"
|+ Nilai dari <math>10\uparrow^n b</math> = [[Hyperoperation#Notations|<math>H_{n+2}(10,b)</math>]] = [[Hyperoperation#Notations|<math>10[n+2]b</math>]] = <math> 10 \to b \to n </math>
|-
! {{diagonal split header|''ⁿ''|''b''}}
! 1
! 2
! 3
! 4
! 5
! formula
|-
! 1
| 10 || 100 || 1.000 || 10.000 || 100.000 || <math>10^b</math>
|-
! 2
| 10 || 10.000.000.000 || <math>10^{10.000.000.000}</math> || <math>10^{10^{10.000.000.000}}</math> || <math>10^{10^{10^{10.000.000.000}}}</math> || <math>10\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 3
| 10 || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
\underbrace{10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>10\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|-
! 4
| 10 || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math> || <math>
\begin{matrix}
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
\underbrace{^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10}\\
10\mbox{ sebanyak }10
\end{matrix}</math>
| <math>10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b</math>
|}
== Pranala luar ==
| |||