Faktorial: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
adam Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
Memperbaiki typo di tulisan |
||
| (27 revisi perantara oleh 16 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Produk semua bilangan bulat dari 1 hingga bilangan bulat tertentu}}
{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ Anggota terpilih dari faktorial [[urutan]] {{OEIS|id=A000142}}; nilai yang ditentukan dalam notasi ilmiah dibulatkan ke presisi yang ditampilkan
|-
! {{math|''n''}}
! {{math|''n''!}}
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{val|5040|fmt=gaps}}
|-
| 8 || {{val|40320}}
|-
| 9 || {{val|362880}}
|-
| 10 || {{val|3628800}}
|-
| 11 || {{val|39916800}}
|-
| 12 || {{val|479001600}}
|-
| 13 || {{val|6227020800}}
|-
| 14 || {{val|87178291200}}
|-
| 15 || {{val|1307674368000}}
|-
| 16 || {{val|20922789888000}}
|-
| 17 || {{val|355687428096000}}
|-
| 18 || {{val|6402373705728000}}
|-
| 19 || {{val|121645100408832000}}
|-
| 20 || {{val|2432902008176640000}}
|-
| 25
| style="text-align:left" | {{val|1.551121004|e=25}}
|-
| 50
| style="text-align:left" | {{val|3.041409320|e=64}}
|-
| 70
| style="text-align:left" | {{val|1.197857167|e=100}}
|-
| 100
| style="text-align:left" | {{val|9.332621544|e=157}}
|-
| 450
| style="text-align:left" | {{val|1.733368733|e=1000|fmt=gaps}}
|-
| {{val|1000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|4.023872601|e=2567|fmt=gaps}}
|-
| {{val|3249|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|6.412337688|e=10000}}
|-
| {{val|10000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|2.846259681|e=35659}}
|-
| {{val|25206|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|1.205703438|e=100000}}
|-
| {{val|100000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|2.824229408|e=456573}}
|-
| {{val|205023|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|2.503898932|e=1000004}}
|-
| {{val|1000000|fmt=gaps}}
| style="text-align:left" | {{val|8.263931688|e=5565708}}
|-
| [[googol|{{val|e=100}}]] ||10<sup>{{val|e=101.9981097754820}}</sup>
|}
{{Terjemahan kaku|en|Factorial}}
Dalam [[matematika]], '''Faktorial''' dari [[bilangan bulat]] positif dari {{mvar|n}} yang dilambangkan dengan {{math|''n''!}}, adalah [[Produk (matematika)|produk]] dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan {{mvar|n}}:
:<math>n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1 \,. </math>
Sebagai contoh,
:<math>5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \,. </math>
Nilai 0! adalah 1, menurut konvensi untuk [[produk kosong]].{{sfn|Graham|Knuth|Patashnik|1988|page=111}}
Operasi faktorial digunakan sebagai bidang matematika, terutama di [[kombinatorik]], [[aljabar]], dan [[analisis matematika]]. Penggunaannya yang paling dasar menghitung kemungkinan [[urutan]] dan [[permutasi]] dari {{mvar|n}}
yang berada di objek yang berbeda.
Faktorial pada [[Fungsi (matematika)|fungsi]] juga dapat berupa [[Faktorial#Faktorial nilai bukan bilangan bulat|nilai ke argumen non-bilangan bulat]] sambil mempertahankan properti terpentingnya dengan cara mendefinisikan {{math|1=''x''! = Γ(''x'' + 1)}}, di mana {{math|Γ}} adalah [[fungsi gamma]]; ini tidak ditentukan saat {{mvar|x}} adalah bilangan bulat negatif.
== Sejarah ==
{{Expand section|date=November 2019}}
Faktorial digunakan untuk menghitung permutasi setidaknya sejak abad ke-12, oleh para sarjana [[Matematika India]].<ref>{{Cite journal |last=Biggs |first=Norman L. |author-link=Norman L. Biggs |date=May 1979 |title=The roots of combinatorics |journal=Historia Mathematica |volume=6 |issue=2 |pages=109–136 |doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0 |issn=0315-0860 }}</ref> Pada tahun 1677, [[Fabian Stedman]] mendeskripsikan faktorial yang diterapkan pada [[mengubah dering]], seni musik yang melibatkan dering dari banyak lonceng yang disetel.{{sfn|Stedman|1677|pages=6–9}} Setelah menggambarkan pendekatan rekursif, Stedman memberikan pernyataan faktorial (menggunakan bahasa aslinya):
{{quote
| quote = Sekarang sifat dari metode ini adalah sedemikian rupa, sehingga perubahan pada satu angka mencakup [termasuk] perubahan pada semua angka yang lebih kecil ... sedemikian rupa sehingga Peal yang lengkap dari perubahan pada satu nomor tampaknya dibentuk dengan menyatukan Peal yang lengkap pada semua nomor yang lebih kecil menjadi satu keseluruhan tubuh..{{sfn|Stedman|1677|p=8}}
}}
[[Notasi matematika|notasi]] dari {{math|{{math|''n''!}}}} diperkenalkan oleh matematikawan asal Prancis bernama [[Christian Kramp]] pada tahun 1808.<ref>{{harvnb|Higgins|2008|page=12}}</ref>
== Pengertian ==
Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:
Baris 47 ⟶ 114:
Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk <math>n \ge 0</math>
:<math>n! = \begin{cases} n \cdot (n-1)!
Untuk ''n'' yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung ''n!'' menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari ''n!'' bisa dihitung menggunakan rumus [[Stirling]]:
Baris 55 ⟶ 122:
:<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t </math>
:<math>n! = \Gamma(n+1)</math>
== Definisi ==
Fungsi faktorial ditentukan oleh produk, yaitu:
:<math>n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,</math>
diatas merupakan bilangan bulat dari {{math|''n'' ≥ 1}}. Ini dapat ditulis dalam [[Perkalian#Notasi huruf besar pi|notasi perkalian pi]] sebagai:
:<math>n! = \prod_{i = 1}^n i.</math>
Hal tersebut mengarah menuju [[relasi pengulangan]]:
:<math> n! = n \cdot (n-1)! .</math>
Sebagai contoh,
: <math>\begin{align}
5! &= 5 \cdot 4! \\
6! &= 6 \cdot 5! \\
50! &= 50 \cdot 49!
\end{align}</math>
dan seterusnya.
=== Faktorial nol ===
Faktorial dari {{math|0}} adalah {{math|1}}, atau dalam simbol, {{math|1=0! = 1}}.
Ada beberapa motivasi untuk definisi ini:
* Untuk nilai {{math|1= ''n'' = 0}}, definisi dari {{math|''n''!}} sebagai perkalian melibatkan hasil kali tanpa bilangan sama sekali, dan begitu juga contoh dari konvensi yang lebih luas bahwa produk dari tidak ada faktor yang sama dengan identitas perkalian (lihat [[Produk kosong]]).
* Hanya ada satu permutasi dari nol objek (tanpa ada yang diubah, satu-satunya penataan ulang adalah tidak melakukan apa-apa).
* Karena membuat banyak identitas di [[kombinatorik]] berlaku untuk semua ukuran yang berlaku. Banyaknya cara untuk memilih 0 elemen dari [[himpunan kosong]] diberikan oleh [[koefisien binomial]]
::<math>\binom{0}{0} = \frac{0!}{0!0!} = 1. </math>
: Secara lebih umum, jumlah cara untuk memilih semua elemen {{mvar|n}} di antara himpunan {{mvar|n}} adalah
::<math>\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!0!} = 1. </math>
* Hal ini memungkinkan untuk ekspresi ringkas dari banyak rumus, seperti [[fungsi eksponensial]], sebagai deret pangkat:
:: <math> e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.</math>
* Hal ini dapat memperluas hubungan pengulangan ke 0.
== Aplikasi ==
Meskipun fungsi faktorial berakar pada [[kombinatorik]], rumus yang melibatkan faktorial terjadi di banyak bidang matematika.
* Terdapat nilai {{math|''n''!}} dengan cara yang berbeda untuk menyusun {{mvar|n}} objek yang berbeda menjadi sebuah urutan, [[permutasi]] dari objek tersebut.<ref>{{Cite book |title=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe |url=https://archive.org/details/beyondinfinityex0000chen |last=Cheng |first=Eugenia |date=2017-03-09 |publisher=Profile Books |isbn=9781782830818 |language=en |author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name="ConwayGuy1998">{{Cite book |title=The Book of Numbers |last=Conway |first=John H. |last2=Guy |first2=Richard |date=1998-03-16 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=9780387979939 |language=en |author-link=John Horton Conway |author-link2=Richard K. Guy |url-access=registration |url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw }}</ref>
* Seringkali faktorial muncul di penyebut rumus untuk menjelaskan fakta bahwa pengurutan harus diabaikan. Contoh klasik menghitung nilai {{mvar|k}} [[kombinasi]] (himpunan bagian dari elemen nilai {{mvar|k}}) dari himpunan dengan elemen {{mvar|n}}. Seseorang bisa mendapatkan kombinasi seperti itu dengan memilih {{mvar|k}} sebagai permutasi: secara berturut-turut memilih dan menghapus satu elemen himpunan, {{mvar|k}} kali, dengan total
::<math>(n-0)(n-1)(n-2)\cdots\left(n-(k-1)\right) = \frac{n!}{(n-k)!} = n^{\underline k}</math>
:Namun, hal ini menghasilkan kombinasi {{mvar|k}} dalam urutan tertentu yang ingin dinyalakan; karena setiap {{mvar|k}} - kombinasi diperoleh dengan {{math|''k''!}} cara yang berbeda, jumlah yang benar dari {{mvar|k}} kombinasi adalah
::<math>\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1} = \frac{n^{\underline k}}{k!}= \frac{n!}{(n-k)!k!} = \binom {n}{k}.</math>
:Nomor ini diketahui<ref name="Knuth1997">{{Cite book |title=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms |last=Knuth |first=Donald E. |date=1997-07-04 |publisher=Addison-Wesley Professional |isbn=9780321635747 |language=en |author-link=Donald Knuth}}</ref> sebagai [[koefisien binomial]], karena ia juga merupakan koefisien dari {{math|''x''<sup>''k''</sup>}} pada {{math|(1 + ''x'')<sup>''n''</sup>}}. Syarat <math>n^{\underline k}</math> sering disebut [[:en:Falling_and_rising_factorials|faktorial jatuh]] (dilafalkan "''n'' menjadi penurunan ''k''").
* Faktorial terjadi di [[aljabar]] karena berbagai alasan, seperti melalui koefisien yang telah disebutkan dari [[Binomial (polinomial)|rumus binomial]], atau melalui [[rata-rata]] lebih dari [[permutasi]] untuk [[simetri]] operasi tertentu.
* Faktorial juga muncul di [[kalkulus]]; misalnya, mereka muncul di penyebut suku-suku [[Deret Taylor|rumus Taylor]],<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=https://web.archive.org/web/20160919172730/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|archive-date=2016-09-19|url-status=live|access-date=2017-05-03|df=|dead-url=unfit}}</ref> di mana mereka digunakan sebagai persyaratan kompensasi karena {{mvar|n}} [[turunan]] dari {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} setara dengan {{math|''n''!}}.
* Faktorial juga digunakan secara ekstensif di [[teori probabilitas]]<ref>{{Cite book |title=Statistical Physics of Particles |url=https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125 |last=Kardar |first=Mehran |date=2007-06-25 |publisher=Cambridge University Press |isbn=9780521873420 |pages=[https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125/page/35 35]–56 |language=English |chapter=Chapter 2: Probability |author-link=Mehran Kardar}}</ref> dan [[teori bilangan]] ([[Faktorial#Teori bilangan|lihat di bawah]]).
* Faktorial dapat berguna untuk memfasilitasi manipulasi ekspresi. Misalnya jumlah {{mvar|k}} permutasi dari {{mvar|n}} dapat ditulis sebagai
::<math>n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}\,;</math>
:meskipun ini tidak efisien sebagai cara untuk menghitung bilangan itu, ini dapat berfungsi untuk membuktikan sifat simetri<ref name="ConwayGuy1998" /><ref name="Knuth1997" /> dari koefisien binomial:
::<math>\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!} = \frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!} = \binom n{n-k}\,.</math>
* Fungsi faktorial dapat ditampilkan, menggunakan [[aturan pangkat]], sebagai
::<math>n! = D^n\,x^n = \frac{d^n}{dx^n}\,x^n</math>
:dimana {{math|''D''<sup>''n''</sup> ''x''<sup>''n''</sup>}} adalah [[Notasi untuk diferensiasi#Notasi Euler.27s|Notasi Euler]] untuk {{mvar|n}} [[turunan]] dari {{math|''x<sup>n</sup>''}}.<ref>{{Cite web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=https://web.archive.org/web/20160919172730/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|archive-date=2016-09-19|url-status=live|access-date=2017-05-03|df=|dead-url=unfit}}</ref>
== Tingkat pertumbuhan dan perkiraan untuk yang besar ''{{mvar|n}}'' ==
[[Berkas:Log-factorial.svg|upright=1.35|thumb|right|Plot dari logaritma natural faktorial]]
Seiring bertambahnya {{mvar|n}}, faktorial {{math|''n''!}} Meningkat lebih cepat daripada semua [[polinomial]] dan [[pertumbuhan eksponensial|fungsi eksponensial]] (tetapi lebih lambat dari <math>n^n</math> dan [[fungsi eksponensial ganda]]) masuk {{mvar|n}}.
Sebagian besar perkiraan untuk ''n''! didasarkan pada perkiraan [[logaritma natural]]
:<math>\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \,.</math>
Grafik fungsi {{math|''f''(''n'') {{=}} ln ''n''!}} ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Ini terlihat kira-kira [[fungsi linear|linear]] untuk semua nilai wajar dari {{mvar|n}}, tetapi intuisi ini salah. Kami mendapatkan salah satu perkiraan paling sederhana untuk {{math|ln ''n''!}} dengan membatasi jumlah dengan [[integral]] dari atas dan bawah sebagai berikut:
:<math> \int_1^n \ln x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \ln x \leq \int_0^n \ln (x+1) \, dx</math>
yang memberi kami perkiraan
:<math> n\ln\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \ln n! \leq (n+1)\ln\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1 \,.</math>
Karenanya {{math|ln ''n''! ∼ ''n'' ln ''n''}} (lihat [[Notasi Big O#Keluarga Bachmann–Notasi Landau|Notasi Big {{mvar|O}}]]). Hasil ini memainkan peran kunci dalam analisis [[teori kompleksitas komputasi|kompleksitas komputasi]] dari [[Algoritma penyortiran|algoritma pengurutan]] (lihat [[jenis perbandingan]]). Dari batas {{math|ln ''n''!}} disimpulkan di atas kita mendapatkan
:<math>\left(\frac ne\right)^n e \leq n! \leq \left(\frac{n+1}e\right)^{n+1} e \,.</math>
Terkadang praktis untuk menggunakan perkiraan yang lebih lemah tetapi lebih sederhana. Menggunakan rumus di atas, dengan mudah ditunjukkan bahwa untuk semua {{mvar|n}} kita punya {{math|({{sfrac|''n''|3}})<sup>''n''</sup> < ''n''!}}, dan untuk semua {{math|''n'' ≥ 6}} kita punya {{math|''n''! < ({{sfrac|''n''|2}})<sup>''n''</sup>}}.
[[Berkas:Mplwp factorial gamma stirling.svg|thumb|right|upright=1.35|Perbandingan pendekatan Stirling dengan faktorial]]
Untuk {{mvar|n}} besar kita mendapatkan perkiraan yang lebih baik untuk bilangan {{math|''n''!}} Menggunakan [[pendekatan Stirling]]:
:<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.</math>
Ini sebenarnya berasal dari deret asimtotik untuk logaritma, dan faktorial {{mvar|n}} terletak di antara pendekatan ini dan pendekatan berikutnya:
:<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n<n!<\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)} \,.</math>
Perkiraan lain untuk {{math|ln''n''!}} Diberikan oleh [[Srinivasa Ramanujan]] {{harv|Ramanujan|1988}}
:<math>\begin{align}
\ln n! &\approx n\ln n - n + \frac {\ln\Bigl(n\bigl(1+4n(1+2n)\bigr)\Bigr)}{6} + \frac {\ln\pi}{2} \\[6px]
\Longrightarrow \; n!&\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1 +\frac 1{2n} +\frac 1{8n^2}\right)^{1/6} \,.
\end{align}</math>
Baik pendekatan ini maupun perkiraan Stirling memberikan kesalahan relatif pada urutan {{math|{{sfrac|1|''n''<sup>3</sup>}}}}, tapi Ramanujan sekitar empat kali lebih akurat. Namun, jika kita menggunakan istilah koreksi ''dua'' dalam pendekatan tipe Stirling, seperti dengan pendekatan Ramanujan, kesalahan relatifnya akan teratur. {{math|{{sfrac|1|''n''<sup>5</sup>}}}}:<ref>{{citation
| last = Impens | first = Chris
| doi = 10.2307/3647856
| issue = 8
| journal = American Mathematical Monthly
| mr = 2024001
| pages = 730–735
| title = Stirling's series made easy
| volume = 110
| year = 2003| hdl = 1854/LU-284957
| hdl-access = free
}}; lihat khususnya ketimpangan di hal. 732 menunjukkan bahwa kesalahan relatif paling banyak <math>1/1260n^5</math>.</ref>
:<math>n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left({\frac 1{12n}-\frac 1{360n^3}}\right) \,.</math>
== Teori bilangan ==
Faktorial memiliki banyak penerapan dalam teori bilangan. Secara khusus, {{math|''n''!}} Harus habis dibagi semua [[bilangan prima]] hingga dan termasuk {{mvar|n}}. Sebagai konsekuensi, {{math|''n'' > 5}} adalah [[bilangan komposit]] [[jika dan hanya jika]]
:<math>(n-1)! \equiv 0 \pmod n.</math>
Hasil yang lebih kuat adalah [[Teorema Wilson]], yang menyatakan bahwa
:<math>(p-1)! \equiv -1 \pmod p</math>
if and only if {{mvar|p}} is prime.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref><ref>{{MathWorld|url=WilsonsTheorem.html|title=Wilson's Theorem|access-date=2017-05-17}}</ref>
[[Rumus Legendre]] memberikan kelipatan bilangan prima {{mvar|p}} yang terjadi dalam faktorisasi prima dari {{math|''n''!}} Sebagai
:<math>\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor</math>
or, equivalently,
:<math>\frac{n - s_p(n)}{p - 1},</math>
di mana {{math|''s<sub>p</sub>''(''n'')}} menunjukkan jumlah dari basis standar {{mvar|p}} digit {{mvar|n}}.
Menambahkan 1 ke faktorial {{math|''n''!}} Menghasilkan bilangan yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang lebih besar dari {{mvar|n}}. Fakta ini dapat digunakan untuk membuktikan [[Teorema Euklides]] bahwa bilangan prima tidak terbatas.{{sfn|Bostock |Chandler |Rourke |2014|pages=168}} Bentuk prima {{math|''n''! ± 1}} disebut [[prima faktorial]].
==Serangkaian timbal balik==
[[Pembalikan perkalian|kebalikan]] dari faktorial menghasilkan [[deret konvergen]] yang jumlahnya [[e (konstanta matematika)|basis eksponensial {{mvar|e}}]]:
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e\,.</math>
Meskipun jumlah deret ini adalah [[bilangan irasional]], kita bisa mengalikan faktorial dengan bilangan bulat positif untuk menghasilkan deret konvergen dengan jumlah yang rasional:
:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8} + \frac{1}{30} + \frac{1}{144} + \cdots=1\,.</math>
Konvergensi deret ini ke 1 dapat dilihat dari fakta bahwa [[jumlah parsial]] adalah <math>\frac{k!-1}{k!}</math>.
Oleh karena itu, faktorial tidak membentuk [[urutan irasionalitas]].{{sfn|Guy |2004|page=[{{google books|plainurl=yes|id=1AP2CEGxTkgC|pg=PA346}} 346]}}
== Lihat pula ==
*[[Faktorion]]
* [[Ledakan Kombinatorial]]
* [[Pendekatan Stirling]]
* [[Fungsi Gamma]]
* [[Notasi panah hiperfaktorial]]
* [[Faktoradik]]
* [[Permutasi]]
* [[Kombinasi]]
== Referensi ==
{{Reflist}}
== Pranala luar ==
* [http://factorielle.free.fr/index_en.html "factorielle.free.fr"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120119094723/http://factorielle.free.fr/index_en.html |date=2012-01-19 }}
* [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php?language=id Online kalkulator
{{Deret (matematika)}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Matematika]]
| |||