Teorema Lagrange (teori grup): Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|G adalah grup <math>\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}</math>, [[Bilangan bulat modulo n | bilangan bulat mod 8]] sebagai tambahan. Subkelompok H hanya berisi 0 dan 4, dan bersifat isomorfik <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>. Ada empat koset kiri H: H itu sendiri, 1 + H, 2 + H, dan 3 + H (ditulis menggunakan notasi aditif karena ini adalah [[grup Abelian | grup aditif]]). Bersama-sama mereka mempartisi seluruh grup G menjadi set yang berukuran sama dan tidak tumpang tindih. Jadi [[Indeks subgrup | indeks]] [G: H] adalah 4.]]

'''Teorema Lagrange''', dalam [[teori grup]], bagian dari [[matematika]], menyatakan bahwa jika {{mvar | H}} adalah [[subgrup]] dari [[grup terbatas]] {{mvar | G}}, maka [[urutan (teori grup) | urutan]] dari {{mvar | H}} membagi urutan {{mvar | G}} (urutan grup adalah jumlah elemen yang dimilikinya). Teorema ini dinamai [[Joseph-Louis Lagrange]]. Varian berikut juga mengidentifikasi rasio <math>|G|/|H|</math>, sebagai [[indeks subgrup|indeks]] {{math|[''G'' : ''H'']}}, didefinisikan sebagai jumlah [[kohimpunan]] kiri dari {{mvar | H}} dalam {{mvar | G}}.

Oleh karena itu koset kiri membentuk [[Partisi himpunan | partisi]] dari {{mvar | G}}.

Setiap koset kiri {{math | ''aH''}} memiliki kardinalitas yang sama dengan {{mvar | H}} karena <math>x \mapsto ax</math> mendefinisikan kebijaksanaan <math>H \to aH</math> (the inverse is <math>y \mapsto a^{-1}y</math>). Jumlah koset kiri adalah [[indeks subgrup | indeks]] {{math|[''G'' : ''H'']}}.

Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa [[urutan (teori grup) | urutan elemen apa pun]] {{mvar | a}} dari grup berhingga (yaitu [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] terkecil {{mvar | k}} dengan {{math|{{mvar|a}}^{{mvar|k}} {{=}} {{mvar|e}}}}, di mana {{mvar | e}} adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan {{mvar | a}} sama dengan urutan subgrup [[grup siklik | siklik]] [[kumpulan grup | dihasilkan]] dari {{mvar|a}}. Jika grup memiliki elemen {{mvar | n}}, maka grup akan mengikuti

Teorema ini juga menunjukkan bahwa setiap kelompok orde utama adalah siklik dan [[grup sederhana | sederhana]]. Hal ini pada gilirannya dapat digunakan untuk membuktikan [[teorema Wilson]], bahwa jika {{mvar | p}} adalah bilangan prima maka {{mvar | p}} adalah faktor dari <math>(p-1)!+1</math>.

"Kebalikan dari Teorema Lagrange "(CLT) grup adalah grup berhingga dengan properti bahwa untuk setiap pembagi dari urutan grup, ada subkelompok dari urutan. Diketahui bahwa grup CLT harus [[solvable group | solvable]] dan setiap [[grup selesaikan]] adalah grup CLT. Namun, terdapat grup yang dapat dipecahkan yang bukan CLT (misalnya, '' A ''₄) dan grup CLT yang tidak dapat diselesaikan (misalnya, '' S ''<sub> 4 </ sub>, kelompok simetris derajat 4).

Ada sebagian percakapan dalam teorema Lagrange. Untuk kelompok umum, [[Teorema Cauchy (teori grup) | Teorema Cauchy]] menjamin keberadaan suatu unsur, dan karenanya dari subkelompok siklik, dengan urutan bilangan prima apa pun yang membagi urutan grup. [[Teorema Sylow]] memperluas hal ini hingga keberadaan subkelompok ordo yang sama dengan pangkat maksimal bilangan prima apa pun yang membagi ordo grup. Untuk grup yang dapat dipecahkan, [[Subgrup Hall#Teorema Hall | Teorema Hall]] menegaskan keberadaan subgrup ordo yang sama dengan [[pembagi kesatuan]] mana pun dari urutan grup (yaitu, coprime pembagi untuk itu

Jika memeriksa [[grup bergantian]] {{math|''A''₄}}, himpunan genap [[grup Permutasi | permutasi]] sebagai subgrup dari [[Grup simetris]] {{math|''S''₄}}.

Misalkan {{mvar | V}} menjadi subgrup [[Cyclic group | non-cyclic]] dari {{math | ''A''₄}} yang disebut [[Klein empat grup] ].

Perhatikan bahwa coset [[Menghasilkan himpunan grup | dihasilkan]] oleh subgrup grup adalah partisi dari grup. Koset yang dihasilkan oleh subgrup tertentu bisa identik satu sama lain atau [[Disjoint sets | disjoint]]. Indeks subgrup dalam satu grup {{math|[''A''₄ : ''H''] {{=}} {{!}}''A''₄{{!}}/{{!}}''H''{{!}}}} adalah jumlah koset yang dihasilkan oleh subkelompok itu. Karena {{math|{{!}}''A''₄{{!}} {{=}} 12}} and {{math|{{!}}''H''{{!}} {{=}} 6}}, {{mvar|H}} akan menghasilkan dua koset kiri, yang satu sama dengan {{mvar | H}} dan yang lainnya, {{mvar | gH}}, yang panjangnya 6 dan menyertakan semua elemen di {{math|''A''₄}} tidak termasuk {{mvar|H}}.

Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentang''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'',<ref>{{cite journal | last = Lagrange|first= Joseph-Louis | author-link= Joseph-Louis Lagrange | year = 1771 | title = Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs. |trans-title=Rangkaian refleksi pada solusi aljabar persamaan. Bagian ketiga. Pada solusi persamaan derajat kelima & derajat yang lebih tinggi | journal = Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin | pages = 138–254 | url = https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138}} ; see especially [https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA202#v=onepage&q&f=false pages 202-203.]</ref> bahwa jika [[polinomial]] dalam variabel {{mvar | '' n ''}} variabelnya diubah dalam semua cara {{math | '' n ''!}}, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari {{math|''n''!}}. (Misalnya, jika variabel {{mvar | '' x ''}}, {{mvar | '' y ''}}, dan {{mvar | '' z ''}} diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''z''}} maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''z'', ''x'' + ''z'' &minus; ''y'', dan ''y'' + ''z'' &minus; ''x''}}. Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam [[grup simetris]] {{math|''S''_n}} dari subkelompok {{mvar | '' H ''}} dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya {{math|''x'' + ''y'' &minus; ''z''}}, subgrup {{mvar | '' H ''}} pada {{math|''S''₃}} berisi identitas dan transposisi {{math|(''x&nbsp;y'')}}.) So the size of {{mvar|''H''}} membagi {{math|''n''!}}. Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.

Dalam miliknya ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' pada tahun 1801, [[Carl Friedrich Gauss]] membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus <math>(\mathbb Z/p \mathbb Z)^*</math>, kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol [[Aritmetika modular | modulo]] {{mvar | '' p ''}}, dengan {{mvar | '' p ''}} adalah bilangan prima.<ref>{{Citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|author-link=Carl Friedrich Gauss|title=Disquisitiones Arithmeticae|location=Leipzig (Lipsia)|language=la|publisher=G. Fleischer|year=1801}}, [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433070725894;view=1up;seq=63 pp. 41-45, Art. 45-49.]</ref> In 1844, [[Augustin-Louis Cauchy]] proved Lagrange's theorem for the symmetric group {{math|''S''_n}}.<ref>[[Augustin-Louis Cauchy]], ''§VI. — Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées'' [Pada produk dari satu atau beberapa permutasi, dan pada sistem permutasi konjugasi] dari: ''"Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre"'' [Memoar tentang pengaturan yang dapat dibentuk dengan huruf tertentu, dan permutasi atau substitusi yang digunakan seseorang untuk berpindah dari satu pengaturan ke pengaturan lainnya] di: ''Exercises d'analyse et de physique mathématique'' [Exercises in analysis and mathematical physics], vol. 3 (Paris, France: Bachelier, 1844), [https://books.google.com/books?id=-c3fxufDQVEC&pg=PA183#v=onepage&q&f=false pp. 183-185.]</ref>

[[Kategori:Artikel yang berisimemuat buktipembuktian]]