Teorema Lagrange (teori grup): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k clean up |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 30:
== Aplikasi ==
Konsekuensi dari teorema ini adalah bahwa [[urutan (teori grup)|urutan elemen apa pun]] {{mvar | a}} dari grup berhingga (yaitu [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] terkecil {{mvar | k}} dengan {{math|{{mvar|a}}<sup>{{mvar|k}}</sup> {{=}} {{mvar|e}}}}, di mana {{mvar | e}} adalah elemen identitas grup) membagi urutan grup itu, karena urutan {{mvar | a}} sama dengan urutan subgrup [[grup siklik|siklik]] [[kumpulan grup|dihasilkan]] dari {{mvar|a}}. Jika grup memiliki elemen {{mvar | n}}, maka grup akan mengikuti
:<math>\displaystyle a^n = e\mbox{.}</math>
Baris 82:
== Sejarah ==
Lagrange tidak membuktikan teorema Lagrange dalam bentuk umumnya. Ia menyatakan, dalam artikelnya tentang''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'',<ref>{{cite journal | last = Lagrange|first= Joseph-Louis | author-link= Joseph-Louis Lagrange | year = 1771 | title = Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Section troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs. |trans-title=Rangkaian refleksi pada solusi aljabar persamaan. Bagian ketiga. Pada solusi persamaan derajat kelima & derajat yang lebih tinggi | journal = Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin | pages = 138–254 | url = https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA138}} ; see especially [https://books.google.com/books?id=_-U_AAAAYAAJ&pg=PA202#v=onepage&q&f=false pages 202-203.]</ref> bahwa jika [[polinomial]] dalam variabel {{mvar | '' n ''}} variabelnya diubah dalam semua cara {{math | '' n ''!}}, jumlah polinomial berbeda yang diperoleh selalu merupakan faktor dari {{math|''n''!}}. (Misalnya, jika variabel {{mvar | '' x ''}}, {{mvar | '' y ''}}, dan {{mvar | '' z ''}} diubah dalam 6 kemungkinan cara dalam polinomial {{math|''x'' + ''y'' − ''z''}} maka kami mendapatkan total 3 polinomial berbeda: {{math|''x'' + ''y'' − ''z'', ''x'' + ''z'' − ''y'', dan ''y'' + ''z'' − ''x''}}. Perhatikan bahwa 3 adalah faktor 6.) Banyaknya polinomial tersebut adalah indeks dalam [[grup simetris]] {{math|''S''<sub>n</sub>}} dari subkelompok {{mvar | '' H ''}} dari permutasi yang mempertahankan polinomial. (Misalnya {{math|''x'' + ''y'' − ''z''}}, subgrup {{mvar | '' H ''}} pada {{math|''S''<sub>3</sub>}} berisi identitas dan transposisi {{math|(''x y'')}}.) So the size of {{mvar|''H''}} membagi {{math|''n''!}}. Dengan perkembangan kelompok abstrak kemudian, hasil Lagrange pada polinomial ini diakui untuk memperluas teorema umum tentang kelompok hingga yang sekarang menyandang namanya.
Dalam miliknya ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' pada tahun 1801, [[Carl Friedrich Gauss]] membuktikan teorema Lagrange untuk kasus khusus <math>(\mathbb Z/p \mathbb Z)^*</math>, kelompok perkalian bilangan bulat bukan nol [[Aritmetika modular|modulo]] {{mvar | '' p ''}}, dengan {{mvar | '' p ''}} adalah bilangan prima.<ref>{{Citation|last=Gauss|first=Carl Friedrich|author-link=Carl Friedrich Gauss|title=Disquisitiones Arithmeticae|location=Leipzig (Lipsia)|language=la|publisher=G. Fleischer|year=1801}}, [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433070725894;view=1up;seq=63 pp. 41-45, Art. 45-49.]</ref> In 1844, [[Augustin-Louis Cauchy]] proved Lagrange's theorem for the symmetric group {{math|''S''<sub>n</sub>}}.<ref>[[Augustin-Louis Cauchy]], ''§VI. — Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées'' [Pada produk dari satu atau beberapa permutasi, dan pada sistem permutasi konjugasi] dari: ''"Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre"'' [Memoar tentang pengaturan yang dapat dibentuk dengan huruf tertentu, dan permutasi atau substitusi yang digunakan seseorang untuk berpindah dari satu pengaturan ke pengaturan lainnya] di: ''Exercises d'analyse et de physique mathématique'' [Exercises in analysis and mathematical physics], vol. 3 (Paris, France: Bachelier, 1844), [https://books.google.com/books?id=-c3fxufDQVEC&pg=PA183#v=onepage&q&f=false pp. 183-185.]</ref>
Baris 102:
[[Kategori:Teorema dalam teori grup]]
[[Kategori:Grup terbatas]]
[[Kategori:Artikel yang
| |||