E (konstanta matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
spasi |
k benar jadi tepat |
||
| (16 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{DISPLAYTITLE:{{mvar|e}} (konstanta matematika)}}{{Short description|2,71828..., basis logaritma alami}}
{{Redirect|Bilangan Euler|kegunaan lain|Daftar benda yang dinamai menurut nama Leonhard Euler#Bilangan}}
{{Redirect|E (bilangan)|kode yang mewakili bahan tambahan makanan|Bilangan E}}{{Periksa terjemahan|en|E (mathematical constant)}}[[Berkas:hyperbola E.svg|thumb|237px|right|Grafik persamaan <math>y = 1/x</math>. Di antaranya, <math>e</math> adalah bilangan unik yang lebih besar dari 1 yang membuat daerah yang diarsir sama dengan 1.]]
{{
Bilangan <math>e</math> (atau, disebut juga sebagai '''bilangan Euler''') adalah [[konstanta matematika]] yang di mana [[aproksimasi]] nilainya sama dengan 2,71828 dan dikarakterisasi dalam berbagai cara. Bilangan ini termasuk [[basis logaritma|basis]] dari [[logaritma alami]].<ref>{{cite book |title=Calculus with Analytic Geometry |edition=illustrated |first1=Earl William |last1=Swokowski |publisher=Taylor & Francis |year=1979 |isbn=978-0-87150-268-1 |page=370 |url=https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC}} [https://books.google.com/books?id=gJlAOiCZRnwC&pg=PA370 Extract of page 370]</ref><ref>{{Cite web|title=e - Euler's number|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/e-eulers-number.html|access-date=2020-08-10|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Bilangan ini adalah [[limit dari sebuah urutan|limit]] dari <math>(1 + 1/n)^n</math> dengan <math>n</math> yang mendekati nilai tak hingga, ekspresi yang muncul dalam studi [[bunga majemuk (keuangan)|bunga majemuk]]. Bilangan ini dihitung sebagai jumlah dari [[Deret (matematika)|deret]] tak hingga berikut:<ref>[[Encyclopedic Dictionary of Mathematics]] 142.D</ref><ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=e|url=https://mathworld.wolfram.com/e.html|access-date=2020-08-10|website=mathworld.wolfram.com|language=en|ref=mathworld}}</ref>
:<math>e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots</math>
Bilangan ini juga merupakan bilangan positif unik <math>a</math> sehingga grafik fungsi <math>y = a^x</math> memiliki [[kemiringan]] dari 1 pada <math>x = 0</math>.<ref>{{cite book |title=Calculus I |edition=2nd |first1=Jerrold |last1=Marsden |first2=Alan |last2=Weinstein |publisher=Springer |year=1985 |isbn=0-387-90974-5 |page=319 |url=https://books.google.com/books?id=KVnbZ0osbAkC}}</ref>
[[Fungsi eksponensial]] alami <math>f(x) = e^x</math> adalah fungsi unik <math>f</math> sama dengan [[turunan]]-diri dan memenuhi persamaan <math>f''(0) = 1</math>; artinya <math>e</math> juga dapat didefinisikan sebagai <math>f(1)</math>. Logaritma alami atau logaritma dengan basis <math>e</math>, adalah [[fungsi invers]] pada fungsi eksponensial alami. Logaritma alami suatu bilangan <math>k > 1</math> didefinisikan secara langsung sebagai [[integral|luas bawah]] kurva <math>y = 1/x</math> antara <math>x = 1</math> dan <math>x = k</math>, dalam hal ini <math>e</math> adalah nilai <math>k</math> yang luasnya sama dengan satu (lihat gambar diatas).
<math>e</math> kadang-kadang disebut '''bilangan Euler''', sesuai dengan metematikawan asal Swiss [[Leonhard Euler]] (jangan keliru dengan <math>\gamma</math>, [[konstanta Euler–Mascheroni]], terkadang disebut juga sebagai ''konstanta Euler''), atau '''konstanta Napier'''.<ref name=":1" /> Namun, pilihan Euler atas simbol <math>e</math> dikatakan sudah dipertahankan untuk menghormatinya.<ref name="mathworld">{{cite web|last=Sondow|first=Jonathan|title=e|url=http://mathworld.wolfram.com/e.html|work=[[MathWorld|Wolfram Mathworld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|access-date=10 May 2011}}</ref> Konstanta ini ditemukan oleh matematikawan Swiss [[Jacob Bernoulli]] saat mempelajari bunga majemuk.<ref name="Pickover">{{cite book |title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics |edition=illustrated |first1=Clifford A. |last1=Pickover |publisher=Sterling Publishing Company |year=2009 |isbn=978-1-4027-5796-9 |page=166 |url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC}} [https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA166 Extract of page 166]</ref><ref name="OConnor">{{cite web|url=<!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title=The number ''e''|publisher=MacTutor History of Mathematics|first1=J J|last1=O'Connor|first2=E F|last2=Robertson}}</ref>
Bilangan <math>e</math> sangat penting digunakan dalam bidang matematika,<ref>{{cite book|title = An Introduction to the History of Mathematics|url = https://archive.org/details/introductiontohi00eves_0|url-access = registration|author = Howard Whitley Eves|year = 1969|publisher = Holt, Rinehart & Winston|isbn =978-0-03-029558-4}}</ref> disamping 0, 1, [[Pi|<math>\pi</math>]], dan {{mvar|[[Unit imajiner|<math>\mathrm{i}</math>]]}}. Kelimanya muncul dalam satu formulasi [[identitas Euler]], dan memainkan peran penting dan berulang di seluruh bidang matematika.<ref>{{cite book |title=Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics |edition=illustrated |first1=Robinn |last1=Wilson |publisher=Oxford University Press |year=2018 |isbn=9780192514059 |page=(preface) |url=https://books.google.com/books?id=345HDwAAQBAJ}}</ref><ref>{{cite book |title=Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number |edition=illustrated |first1=Alfred S. |last1=Posamentier |first2=Ingmar |last2=Lehmann |publisher=Prometheus Books |year=2004 |isbn=9781591022008 |page=68 |url=https://books.google.com/books?id=QFPvAAAAMAAJ}}</ref> Seperti konstanta <math>\pi</math>, <math>e</math> adalah [[Bilangan irasional|irasional]] (yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio [[bilangan bulat]]) dan [[Bilangan transendental|transendental]] (yaitu bukan akar dari [[polinomial]] bukan nol dengan koefisien rasional).<ref name=":1" /> Untuk 50 tempat desimal nilai <math>e</math> adalah:
{{block indent
| {{gaps|2.71828|18284|59045|23536|02874|71352|66249|77572|47093|69995...}} {{OEIS|A001113}}.
}}
==Sejarah==
Referensi pertama untuk konstanta <math>e</math> diterbitkan pada tahun 1618 dalam tabel lampiran dari
Penemuan konstanta itu sendiri dikreditkan ke [[Jacob Bernoulli]] pada tahun 1683,<ref name = "Bernoulli, 1690">Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah
:<math>\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.</math>
<!--The first known use of the constant, represented by the letter {{math|''b''}}, was in correspondence from [[Gottfried Leibniz]] to [[Christiaan Huygens]] in 1690 and 1691. [[Leonhard Euler]] introduced the letter {{mvar|e}} as the base for natural logarithms, writing in a letter to [[Christian Goldbach]] on 25 November 1731.<ref>Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., ''Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle'' … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false p. 58.] From p. 58: ''" … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … "'' ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )</ref><ref>{{Cite book|last=Remmert|first=Reinhold|authorlink=Reinhold Remmert|title=Theory of Complex Functions|url=https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm|page=[https://archive.org/details/theorycomplexfun00remm/page/n156 136]|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1991|isbn=978-0-387-97195-7}}</ref> Euler started to use the letter {{mvar|e}} for the constant in 1727 or 1728, in an unpublished paper on explosive forces in cannons,<ref name="Meditatio">Euler, ''[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/853/ Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta]''.</ref> while the first appearance of {{mvar|e}} in a publication was in Euler's ''[[Mechanica]]'' (1736).<ref>Leonhard Euler, ''Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita'' (St. Petersburg (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. [https://books.google.com/books?id=qalsP7uMiV4C&pg=PA68#v=onepage&q&f=false From page 68:] ''Erit enim <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> seu <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math> ubi ''e'' denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1.'' (So it [i.e., ''c'', the speed] will be <math>\frac{dc}{c} = \frac{dy ds}{rdx}</math> or <math>c = e^{\int\frac{dy ds}{rdx}}</math>, where ''e'' denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.)</ref> Although some researchers used the letter {{math|''c''}} in the subsequent years, the letter {{mvar|e}} was more common and eventually became standard.{{citation needed|date=October 2017}}▼
▲
Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "<math>e</math>" yang ditulis dalam huruf miring; standar [[ISO 80000-2]]:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.{{citation needed|date=Agustus 2020}}
==Aplikasi==
Baris 28 ⟶ 37:
{{quote|Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?}}
Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan {{nowrap|1=$1.00 × 1.5<sup>2</sup> = $2.25}} di akhir tahun.
Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas ([[kekuatan minat]]) dengan
Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar {{math|''R''}}, setelah itu {{math|''t''}} tahun, hasil dari {{math|''e''<sup>''Rt''</sup>}} dolar dengan
(Perhatikan di sini karena {{math|''R''}} adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai ''persentase'', jadi untuk bunga 5%, {{math|1=''R'' = 5/100 = 0.05}}.)
===
[[Berkas:Bernoulli trial sequence.svg|thumb|300px|Grafik probabilitas ''P'' jika {{em|not}} mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/''n'' sesudah ''n'' Pengadilan Bernoulli, dan 1 − ''P''  vs ''n'' ; dapat diamati bahwa ketika '' n '' meningkat, probabilitas 1/''n'' peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah ''n'' mencoba dengan cepat {{nowrap|menyatu dengan 1/''e''.}}]]
Bilangan dari {{mvar|e}} itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam [[teori probabilitas]], dengan cara yang tidak jelas terkait dengan [[pertumbuhan eksponensial]]:
:<math>\binom{10^6}{k} \left(10^{-6}\right)^k\left(1 - 10^{-6}\right)^{10^6-k}.</math>
Baris 51 ⟶ 60:
{{main|Distribusi normal}}
[[Distribusi normal]] dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai ''distribusi normal standar'', diberikan oleh [[fungsi kepadatan probabilitas]]
:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.</math>
Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan {{frac2|1|2}} dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva <math>\phi(x)</math> menghasilkan faktor <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>.<sup>[[Integral Gaussian|[bukti]]]</sup> Fungsi ini simetris {{math|1=''x'' = 0}}, di mana ia mencapai nilai maksimumnya <math>\textstyle 1/\sqrt{2\pi}</math>, dan memiliki [[titik belok]] di {{math|1=''x'' = ±1}}.
===
Aplikasi lain dari {{mvar|e}}, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan [[Pierre Raymond de Montmort]], Ada dalam masalah [[kekacauan]], juga dikenal sebagai ''masalah cek topi'':<ref>Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.''[http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html Introduction to probability theory] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110727200156/http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/book.html |date=2011-07-27 }}'' (diterbitkan secara online di bawah [[GFDL]]), p. 85.</ref> {{math|''n''}} tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam {{math|''n''}} kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas
:<math>p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.</math>
===Masalah perencanaan yang optimal===
Nilai maksimum dari <math display="inline">\sqrt[x]{x}</math> dapat diperoleh saat <math display="inline">x = e</math>. Selain itu, untuk nilai basis <math display="inline">b>1</math>, nilai maksimum dari <math display="inline">\frac{1}{x} \log_b{x}</math> diperoleh saat <math display="inline">x=e</math> ([[Permasalahan Steiner]]).
Sebatang panjang {{mvar|L}} dipecah menjadi {{mvar|n}} bagian yang sama. Nilai dari {{mvar|n}} yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:<ref>{{cite book|title=Konstanta matematika|url=https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|url-access=registration|author=Steven Finch|year=2003|publisher=Cambridge University Press|p=[https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc/page/14 14]}}</ref>▼
:<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math> or <math>\left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor + 1.</math>▼
▲
▲:<math>n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor</math>
===Asimtotik===
Angka {{mvar|e}} terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
Baris 82 ⟶ 90:
== Referensi ==
{{Reflist}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Matematika]]
| |||