Jumlah langsung: Perbedaan antara revisi

Dalam [[aljabar abstrak]], '''jumlah langsung''' adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung <math> \mathbf{R} \oplus \mathbf{R} </math>, dimana <math> \mathbf{R} </math> adalah [[ruang koordinat nyata]], adalah [[bidang Kartesius]], <math> \mathbf{R} ^2 </math>. Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, [[grup abelian]]. Jumlah langsung dari dua [[grup abelian]] <math>A</math> and <math>B</math> adalah grup abelian lainnya <math>A\oplus B</math> terdiri dari urutan pasangan <math>(a,b)</math>, dimana <math>a \in A</math> dan <math>b \in B</math>. (Secara membingungkan, [[pasangan terurut]] ini juga disebut [[Produk Cartesius|hasilkali kartesian]] dari dua grup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan <math>(a, b) + (c, d)</math> sebagai <math>(a + c, b + d)</math>; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua [[struktur aljabar]], seperti [[gelanggang (matematika) |gelanggang]], [[modul (matematika) |modul]], dan [[ruang vektor]].

Sebaliknya, jika kita mendefinisikan beberapa struktur aljabar terlebih dahulu <math>S</math> dan kemudian tulis <math> S </math> sebagai penjumlahan langsung dari dua substruktur <math> V </math> dan <math> W </math>, maka jumlah langsungnya dikatakan internal. Dalam kasus ini, setiap elemen <math> S </math> diekspresikan secara unik sebagai kombinasi aljabar dari elemen <math> V </math> dan elemen dari <math>W</math>. Untuk contoh jumlah langsung internal, pertimbangkan <math>\mathbb Z_6</math> ([[bilangan bulat]] modulo enam), yang elemennya <math>\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}</math>. Ini diekspresikan sebagai jumlah langsung internal <math>\mathbb Z_6 = \{0, 2, 4\} \oplus \{0, 3\}</math>.