Wikipedia

Sifat asosiatif: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
InternetArchiveBot (bicara | kontrib)
Bot
688.879 suntingan
Rescuing 1 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.8
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
 
(14 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Kaidah transformasi}}
Dalam matematika, '''sifat asosiatif<ref>{{cite book|last=Hungerford|first=Thomas W.|year=1974|title=Algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-0387905181|edition=1st|page=24|quote=Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G.}}</ref>''' adalah sebuah sifat dari beberapa [[Operasi biner berulang|operasi biner]], yang berarti mengubah posisi tanda kurung dalam sebuah ekspresi tidak akan mengubah hasilnya, Dalam [[Kalkulus proposisional|logika proposisional]], '''asosiatif''' adalah sebuah [[aturan pengganti]] yang [[Keabsahan (logika)|sah]] untuk [[Rumus yang dibentuk dengan baik|ekspresi-ekspresi]] dalam [[Bukti formal|bukti logis]].
 
Dalam [[matematika]], '''sifat asosiatif'''<ref>
Dalam sebuah ekspresi mengandung dua kejadian atau lebih dalam sebuah baris dari operator asosiatif yang sama, urutan pelaksanaan [[Operasi (matematika)|operasi-operasi]] tidak menjadi masalah selama barisan dari [[operan]] tidak berubah. Artinya, (setelah menulis ulang ekspresinya dengan tanda kurung dan dalam notasi infiks jika diperlukan) mengubah posisi [[tanda kurung]] dalam ekspresi seperti itu tidak akan mengubah nilainya. Tinjaulah persamaan berikutː▼
{{cite book
|last=Hungerford
|first=Thomas W.
|year=1974 |edition=1st
|title=Algebra
|url=https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3
|page=[https://archive.org/details/algebra0000hung_f8t3/page/24 24]
|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]
|isbn=978-0387905181
|quote=Definisi 1.1 (i)a (bc) = (ab) c untuk semua a, b, c dalam G.}}</ref> adalah sifat dari beberapa [[operasi biner]], yang berarti bahwa mengatur ulang tanda kurung dalam ekspresi yang tidak mengubah hasilnya. Dalam [[logika proposisional]], '''asosiativitas''' adalah [[Validitas (logika)|valid]] [[kaidah penggantian]] untuk [[rumus bentuk baik|ekspresi]] dalam [[Bukti formal|bukti logika]].
 
▲Dalam sebuah ekspresi mengandungdengan dua kejadian atau lebih dalamdari sebuahsatu baris dari operatoroperasi asosiatif yang sama, urutan pelaksanaan [[Operasi (matematika)|operasi-operasi]] tidakuntuk menjadi masalah selama barisan dariurutan [[operanoperand]] yang tidak berubah. Artinya, (setelah menulismenata ulang ekspresinya dengan tanda kurung dan dalam notasi infiks jika diperlukan) mengubah posisi [[tanda kurung]] dalam ekspresi seperti itutersebut tidak akan mengubah nilainya. TinjaulahPerhatikan persamaan berikutːberikut:
: <math>(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 \,</math>▼
 
: <math>(2 \times+ (3) \times+ 4) = (2 \times+ (3) \times+ 4) = 249 .\,</math>
 
▲: <math>(2 +\times (3) +\times 4) = (2 +\times (3) +\times 4) = 924 \,.</math>
Meskipun tanda kurung mengubah posisi pada setiap garis, nilainya pada ekspresi tidak berubah. Karena ini benar ketika tampil sebagai penjumlahan dan perkalian pada setiap [[bilangan real]], ini bisa dikatakan "penjumlahan dan perkalian dari bilangna real adalah merupakan operasi asosiatif".
 
AsosiatifMeskipun tidaktanda samakurung dengandiatur [[Sifatulang komutatif|komutatif]],pada yangsetiap membahasbaris, apakahnilai urutanekspresi dari dua [[operan]] mengubah hasil atautersebut tidak diubah. SebagaiKarena contoh,penjumlahan urutandan tidakperkalian masalahterdapat dalam perkalianpada [[bilangan realriil]], yaitu,maka <math>adikatakan \timesbahwa b"penjumlahan = b \times a</math>, jadi kita katakan bahwadan perkalian bilangan realriil adalah operasi komutatifasosiatif".
 
Asosiatif berbeda dengan [[komutativitas]], dengan urutan dua [[operan]] memengaruhi hasil. Misalnya, urutan tidak menjadi masalah dalam perkalian bilangan riil, yaitu {{nowrap|1=''a'' × ''b'' = ''b'' × ''a''}}, jadi perkalian bilangan riil adalah operasi komutatif.
Operasi asosiatif berlimpah dalam matematika; faktanya, banyak [[struktur aljabar]] (seperti [[Semigrup (matematika)|semigrup]] dan [[Kategori (matematika)|kategori]]) secara eksplisit membutuhkan operasi binernya menjadi asosiatif.▼
 
▲Operasi asosiatif berlimpah dalam matematika; faktanyapada kenyataannya, banyak [[struktur aljabar]] (sepertiyaitu [[Semigrupsemigrup (matematika)|semigrup]] dan [[Kategorikategori (matematika)|kategori]]) secara eksplisit membutuhkan operasi binernyabiner untuk menjadi asosiatif.
Bagaimanapun, banyak yang penting dan operasi-operasi yang menarik merupakan non-asosiatif, beberapa contoh termasuk [[pengurangan]], [[eksponensiasi]], dan [[Perkalian vektor|produk cross vektor]]. Berlawanan dengan sifat-sifat teoretis dari bilangan real, penjumlahan dan bilangan [[Floating-point|titik mengambang]] dalam ilmu komputer tidak asosiatif, dan pilihan bagaiamana untuk mengasosiasikan sebuah ekspresi bisa memiliki sebuah hasil yang penting pada kesalahan pembulatan.▼
 
▲BagaimanapunNamun, banyak yang penting danterdapat operasi-operasi yang menarikbukan merupakanasosiatif non-asosiatif,yaitu nonasosiatif; beberapa contoh termasuk [[pengurangan]], [[eksponensiasieksponen]], dan [[Perkalianperkalian vektor|produk crosssilang vektor]]. Berlawanan Berbeda dengan sifat-sifat teoretis dariteoritis bilangan realriil, penjumlahan danpenambahan bilangan [[Floating-point|titik mengambangpengambangan]] dalam [[ilmu komputer]] yang tidak bersifat asosiatif, dan pilihan bagaiamanacara untuk mengasosiasikan sebuahmengaitkan ekspresi bisadapat memiliki sebuah hasil yangberpengaruh pentingsignifikan pada kesalahan pembulatan.
 
== Definisi ==
Baris 139 ⟶ 151:
 
=== Aturan penggantian ===
Dalam logika proposisional kebenaran fungsional standar, ''asosiasi'',<ref>{{cite book|last1=Moore|first1=Brooke Noel|last2=Parker|first2=Richard|date=2017|title=Critical Thinking (12th edition)|location=New York|publisher=McGraw-Hill Education|isbn=9781259690877|page=321}}</ref><ref>{{cite book|last1=Copi|first1=Irving M.|last2=Cohen|first2=Carl|last3=McMahon|first3=Kenneth|date=2014|title=Introduction to Logic (14th edition)|url=https://archive.org/details/introductiontolo0014copi|location=Essex|publisher=Pearson Education|isbn=9781292024820|page=[https://archive.org/details/introductiontolo0014copi/page/387 387]}}</ref> atau ''asosiatif<ref>{{cite book|last1=Hurley|first1=Patrick J.|last2=Watson|first2=Lori|date=2016|title=A Concise Introduction to Logic (13th edition)|location=Boston|publisher=Cengage Learning|isbn=9781305958098|page=427}}</ref>'' adalah dua [[Aturan penggantian|aturan penggantian yang sah]]. Peraturannya memungkinkan salah satunya untuk memindahkan tanda kurung dalam [[Rumus yang dibentuk dengan baik|ekspresi logis]] dalam [[Bukti formal|bukti logis]]. Aturan (menggunakan notasi [[Operator logika#Dalam bahasa|penghubung logis]] adalahː
 
: <math>(P \lor (Q \lor R)) \Leftrightarrow ((P \lor Q) \lor R)</math>
Baris 169 ⟶ 181:
Penolakan bersama adalah sebuah contoh dari sebuah penghubung fungsional kebenaran yang bukan asosiatif.
 
== Operasi non-asosiatifnonasosiatif ==
Sebuah operasi biner <math>* </math> pada sebuah himpunan <math>S </math> yang tidak memenuhi hukum asosiatif disebut '''non-asosiatifnonasosiatif'''. Secara simbolis,
 
Untuk sebuah operasi, urutan dari evaluasi itu ''penting''. Sebagai contohː
Baris 181 ⟶ 193:
 
* [[Pembagian]]
<math>4 \div (2 \div 2)\neq (4\div 2) \div 2</math>
*
 
*[[Eksponensiasi]]/Eksponen
 
: <math>
2^{(1^2)} \, \ne \, (2^1)^2
</math>
:
 
Studi tentang struktur-struktur non-asosiatifnonasosiatif muncul dari alasan-alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik. Satu area dalam [[aljabar non-asosiatifnonasosiatif]] yang tumbuh sangat besar adalah [[aljabar Lie]]. Disana hukum asosiatif dignatikan oleh [[identitas Jacobi]]. Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari [[transformasi infinitesimal]], dan telah menjadi di mana-mana dalam matematika.▼
Juga perhatikan bahwa penjumlahan tak terbatas umumnya tidak asosatif, sebagai contohː
 
dimana
 
▲Studi tentang struktur-struktur non-asosiatif muncul dari alasan-alasan agak berbeda dari arus utama dari aljabar klasik. Satu area dalam [[aljabar non-asosiatif]] yang tumbuh sangat besar adalah [[aljabar Lie]]. Disana hukum asosiatif dignatikan oleh [[identitas Jacobi]]. Aljabar Lie meringkaskan alami esensial dari [[transformasi infinitesimal]], dan telah menjadi di mana-mana dalam matematika.
 
Terdapat jenis-jenis tertentu lainnya yang telah dipelajari secara mendalam; ini cenderung berasal dari beberapa penerapan yang spesifik atau bidang-bidang seperti [[Kombinatorika|matematika kombinatorial]]. Contoh lainnya adalah [[kuasigrup]], [[kuasibidang]], [[gelanggang non-asosiatifnonasosiatif]], [[aljabar non-asosiatifnonasosiatif]] dan [[magma non-asosiatifnonasosiatif komutatif]].
 
=== Nonasosiatif dari perhitungan titik mengambang ===
Baris 204 ⟶ 215:
1.000<sub>2</sub>×2<sup>0</sup> + (1.000<sub>2</sub>×2<sup>0</sup> + 1.000<sub>2</sub>×2<sup>4</sup>) = 1.000<sub>2</sub>×2<sup>0</sup> + 1.00{{fontcolor|red|0}}<sub>2</sub>×2<sup>4</sup> = 1.00{{fontcolor|red|0}}<sub>2</sub>×2<sup>4</sup>
 
Meskipun sebagian besar komputer-komputer menghitung dengan 24 atau 53 bit mantissa,<ref>{{Cite book|author=IEEE Computer Society|date=29 August 2008|title=IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic|isbn=978-0-7381-5753-5|doi=10.1109/IEEESTD.2008.4610935|id=IEEE Std 754-2008|ref=CITEREFIEEE_7542008}}</ref> ini adalah sumber yang penting dari galat pembulatan, dan mendekati seperti [[algoritma penjumlahan Kahan]] adalah cara untuk memperkecil galat-galatnya. Itu bisa sangat berpengalaman dlam komputer paralel.<ref>{{Citation|last=Villa|first5=Sriram|archive-date=15 February 2013|archive-url=https://web.archive.org/web/20130215171724/http://cass-mt.pnnl.gov/docs/pubs/pnnleffects_of_floating-pointpaper.pdf|accessdate=8 April 2014|url=http://cass-mt.pnnl.gov/docs/pubs/pnnleffects_of_floating-pointpaper.pdf|title=Effects of Floating-Point non-Associativitynonassociativity on Numerical Computations on Massively Multithreaded Systems|date=|last5=Krishnamoorthy|first=Oreste|first4=Andrés|last4=Márquez|first3=Vidhya|last3=Gurumoorthi|first2=Daniel|last2=Chavarría-mir|url-status=dead}}</ref><ref name="Goldberg_1991">{{cite journal|last=Goldberg|first=David|author-link=David Goldberg (PARC)|date=March 1991|title=What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic|url=http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/goldberg.pdf|journal=[[ACM Computing Surveys]]|volume=23|issue=1|pages=5–48|doi=10.1145/103162.103163|access-date=20 January 2016|archive-date=2016-04-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20160406101256/http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html|dead-url=yes}}(,)</ref>
 
=== Notasi untuk operasi-operasi non-asosiastifnonasosiastif ===
Secara umum, tanda kurung pasti digunakan untuk menunjukkan [[Urutan operasi|urutan evaluasi]] jika sebuah operasi non-asosiatifnonasosiatif muncul lebih dari satu dalam sebuah ekspresi (kecuali notasinya menentukan urutannya dengan cara lain, seperti <math>\frac{2}{3/4}</math>). Namun, [[matematikawan]] setuju pada sebuah urutan evaluasi tertentu untuk beberapa umum operasi non-asosiatifnonasosiatif. Ini meyederhanakan sebuah konvensi notasi untuk menghindari tanda kurung.
 
Sebuah operasi '''asosiatif kiri''' adalah operasi non-asosiatifnonasosiatif yang secara konvensional dievaluasikan dari kiri ke kanan, yaitu,
 
: <math>
Baris 241 ⟶ 252:
Kedua operasi asosiatif kiri dan asosiatif kanan terjadi. Operasi asosiatif kiri termasuk yang berikut ini.
 
* Pengurangan dan pembagian dari bilangan realː<ref>George Mark Bergman: [https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html Order of arithmetic operations]</ref><ref>Education Place: [http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html The Order of Operations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170608144614/http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html |date=2017-06-08 }}</ref><ref>[[Khan Academy]]: [https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-order-of-operations/v/introduction-to-order-of-operations The Order of Operations], timestamp [https://www.youtube.com/watch?v=ClYdw4d4OmA&t=5m40s 5m40s]</ref><ref>Virginia Department of Education: [http://www.doe.virginia.gov/instruction/mathematics/middle/algebra_readiness/curriculum_companion/order-operations.pdf#page=3 Using Order of Operations and Exploring Properties] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220716062834/http://www.doe.virginia.gov/instruction/mathematics/middle/algebra_readiness/curriculum_companion/order-operations.pdf#page=3 |date=2022-07-16 }}, section 9</ref><ref name="Bronstein_1987">Bronstein: [[:de:Taschenbuch der Mathematik]], pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, {{ISBN|978-3-8085-5673-3}}</ref>
* Penerapanː fungsi
 
:: <math>(f \, x \, y) = ((f \, x) \, y)</math>
: Notasi ini bisa dimotivasi dengan [[currying]] [[isomorfisme]].
 
Operasi asosiatif kanan termasuk yang berikut ini.
Baris 263 ⟶ 274:
: Menggunakan notasi asosiatif kanan untuk operasi-operasi ini bisa dimotivasi oleh [[korespondensi Curry-Howard]] dan dengan currying isomorfisme.
 
Operasi non-asosiatifnonasosiatif untuk yang urutan evaluasi yang tidak konvensional didefinisikan termasuk sebagai berikut.
 
* Eksponensiasi dari bilangan real dalam notasi infiks.<ref name="Codeplea_2016">[https://codeplea.com/exponentiation-associativityexponentiationassociativity-options Exponentiation Associativity and Standard Math Notation] Codeplea. 23 August 2016. Retrieved 20 September 2016.</ref>
 
:: <math>(x^\wedge y)^\wedge z\ne x^\wedge(y^\wedge z)</math>
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Sifat_asosiatif"