Sudut (geometri): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Image suggestions feature: 1 image added. |
||
| (34 revisi perantara oleh 13 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Gambar yang dibentuk oleh dua sinar bertemu di satu titik yang sama}}
{{
{{Sudut}}
[[Berkas:Two rays and one vertex.png|thumb|right|Sudut dibentuk oleh dua sinar yang memancar dari suatu titik sudut.]]
Dalam [[geometri Euklides]], sebuah '''sudut''' adalah gambar yang dibentuk oleh dua [[Sinar (geometri)|sinar]], yang disebut juga ''sisi'' dari sudut, berbagi titik akhir yang sama, yang disebut ''[[puncak (geometri)|puncak/
Sudut dibentuk oleh dua sinar terletak pada [[bidang (geometri)|bidang]] yang memuat sinar. Sudut juga dibentuk oleh irisan dua bidang. Ini disebut [[sudut dihedral]]. Dua [[kurva]] irisan juga mendefinisikan sudut, yang merupakan sudut [[singgung]] di titik persimpangan. Misalnya, [[sudut bola]] dibentuk oleh dua [[lingkaran besar]] pada [[bola]] sama dengan sudut dihedral antara bidang yang berisi lingkaran besar.
''Sudut'' juga digunakan untuk [[
== Sejarah ==
[[Euklides]] mendefinisikan sudut bidang sebagai kemiringan satu sama lain, pada bidang, dari dua garis yang bertemu satu sama lain, dan tidak terletak lurus terhadap satu sama lain. Menurut [[Proclus]], sudut harus berupa kualitas atau kuantitas, atau hubungan. Konsep pertama digunakan oleh [[Eudemus dari Rhodes|Eudemus]], yang menganggap sudut sebagai penyimpangan dari [[garis lurus]]; yang kedua oleh [[Karpus dari Antiokhia]], yang menganggapnya sebagai interval atau ruang antara garis irisan; Euklides mengadopsi konsep ketiga.<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref><!-- Paragraf ini dikutip dari EB1911, tetapi sumbernya tampaknya adalah Heath.-->
==
Dalam [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]], biasanya menggunakan [[huruf Yunani]] (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var>φ</var>, . . . ) sebagai [[Variabel (matematika)|variabel]] yang menunjukkan ukuran beberapa sudut<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-17|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> (untuk menghindari kebingungan dengan makna lainnya, simbol {{math|[[Pi|π]]}} biasanya tidak digunakan untuk tujuan ini). Huruf Romawi kecil (''a'',
Dalam gambar geometris, sudut diidentifikasi dengan label lampiran pada tiga titik yang mendefinisikannya. Misalnya, sudut dititik A dibatasi oleh sinar AB dan AC (yaitu garis dari titik A ke titik B dan titik A ke titik C) dilambangkan dengan ∠BAC (dalam Unicode {{unichar|2220|SUDUT|HTML=}}) atau <math>\widehat{\rm BAC}</math>. Dimana tidak ada risiko kebingungan, terkadang sudut hanya disebut dengan titik puncaknya (dalam "sudut A").
Baris 29 ⟶ 28:
* Sudut lebih besar dari sudut siku-siku dan lebih kecil dari sudut lurus (antara 90° dan 180°) disebut ''sudut tumpul''.
* Sudut sama dengan {{sfrac|2}} putaran (180° atau {{math|π}} radian) disebut ''sudut lurus''.
* Sudut yang lebih besar dari sudut lurus tetapi kurang dari 1
* Sudut sama dengan 1 putaran (360 ° atau 2{{math|π}} radian) disebut ''sudut penuh'', ''sudut lengkap'', ''sudut bulat'' atau ''perigon''
* Sudut yang bukan kelipatan sudut siku-siku disebut ''sudut miring''.
Baris 40 ⟶ 39:
|image1=Right angle.svg
|width1=111
|caption1=[[Sudut
|image2=Angle obtuse acute straight.svg
|width2=200
|caption2= Sudut lancip (<var>a</var>), tumpul (<var>b</var>), dan lurus (<var>c</var>). Sudut lancip dan tumpul disebut juga sudut miring.
|image3=Reflex angle.svg
Baris 55 ⟶ 54:
|style = "width:3em;" | nol
|style = "width:3em;" | lancip
|style = "width:3em;" | sudut
|style = "width:3em;" | tumpul
|style = "width:3em;" | lurus
Baris 103 ⟶ 102:
===Pasangan sudut ekivalen ===
* Sudut yang memiliki ukuran yang sama (yaitu besaran yang sama) dikatakan ''sama'' atau ''[[Kongruensi (geometri)|kongruen]]''. Suatu sudut ditentukan oleh ukurannya dan tidak bergantung pada panjang sisi-sisi sudut tersebut (misalnya, semua "sudut siku-siku" sama besar).
* Dua sudut yang terbagi sisi terminal, namun berbeda ukurannya dengan kelipatan [[bilangan bulat]] dari satu putaran, disebut ''sudut koterminal''.
* ''Sudut referensi'' adalah versi lancip dari setiap sudut yang ditentukan dengan pengurangan atau penambahan sudut lurus berulang kali putaran ({{sfrac|2}}, 180°, atau {{math|π}} (radian), ke hasil seperlunya, sampai besaran berupa sudut lancip, nilai antara 0 dan {{sfrac|4}} turn, 90°, atau {{sfrac|{{math|π}}|2}} radian. Misalnya, sudut 30 derajat memiliki sudut acuan 30 derajat, dan sudut 150 derajat juga memiliki sudut acuan 30 derajat (180-150). Sudut 750 derajat memiliki sudut referensi 30 derajat (750-720).<ref>{{cite web|url=http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|title=Mathwords: Reference Angle|website=www.mathwords.com|access-date=26 April 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171023035017/http://www.mathwords.com/r/reference_angle.htm|archive-date=23 October 2017}}</ref>
Baris 122 ⟶ 121:
* ''Sudut damping/berdekatan'', sering disingkat sebagai ''adj. ∠s'', adalah sudut memiliki titik dan sisi yang sama namun tidak memiliki titik interior yang sama. Dengan kata lain, ia adalah sudut dampingan, atau berdekatan, berbagi "lengan". Sudut-sudut damping dijumlahkan dengan sudut siku-siku, sudut lurus, atau sudut penuh adalah istimewa dan masing-masing disebut sudut ''kelengkapan'', ''suplemen'', dan ''eksplemen'' (lihat ''{{section link|#Menggabungkan pasangan sudut}}'' di bawah).
Sebuah [[Transversal (geometri)|transversal]] adalah garis irisan sepasang garis (
===Menggabungkan pasangan sudut===
Baris 128 ⟶ 127:
{{anchor|sudut komplementer}}
[[Berkas:Complement angle.svg|thumb|150px|Sudut ''komplekmen'' <var>a</var> dan <var>b</var> (<var>b</var> adalah ''komplekmen'' dari <var>a</var>, dan <var>a</var> adalah komplemen dari <var>b</var>).]]
* ''Sudut komplementer'' adalah pasangan sudut dengan ukuran satu sudut siku-siku ({{sfrac|4}} putar, 90°, atau radian {{sfrac|{{math|π}}|2}}.<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Jika dua sudut komplekmen damping, sisi-sisinya yang tidak membentuk sudut siku-siku. Dalam geometri Euklides, dua sudut lancip pada [[segitiga siku-siku]] komplekmen, karena jumlah sudut dalam dari sebuah [[segitiga]] adalah 180 derajat, dan sudut siku-siku itu sendiri berjumlah 90 derajat.
:Kata sifat komplementer berasal dari bahasa Latin ''complementum'', terkait dengan kata kerja ''complere'', "untuk mengisi". Sudut lancip "diisi" oleh komplekmen untuk membentuk sudut siku-siku.
:Perbedaan antara sudut dan sudut siku-siku disebut "komplekmen" sudut.<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref>
Baris 138 ⟶ 137:
\end{align}
</math>
:[[Tangen]] suatu sudut sama dengan [[kotangen]] komplemen dan garis irisannya sama dengan [[
:[[Awalan]] "[[ko (fungsi awalan)|ko-]]" dalam nama beberapa rasio trigonometri mengacu pada kata "komplemen".
{{clear|right}}
Baris 157 ⟶ 156:
[[Berkas:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|Sudut internal dan eksternal.]]
* Sudut yang merupakan bagian dari [[poligon sederhana]] disebut ''[[sudut interior]]'' jika terletak di bagian dalam poligon sederhana tersebut. [[Poligon cekung]] sederhana memiliki setidaknya satu sudut dalam yang merupakan sudut refleks.
*: Dalam [[geometri Euklides]], ukuran sudut dalam dari [[segitiga]] dijumlahkan dengan {{math|π}} radian, 180°, atau putaran {{sfrac|2}}; ukuran sudut dalam dari [[poligon cembung|cembung]] [[kuadrilateral]] sederhana berjumlah 2{{math|π}} radian, 360°, atau putaran 1. Secara umum, ukuran sudut dalam dari sebuah cembung sederhana [[poligon]] dengan sisi ''n'' berjumlah (''n''
* Suplemen sudut dalam disebut ''[[sudut luar]]'', yaitu sudut dalam dan sudut luar membentuk [[#Pasangan linear|pasangan sudut linear]]. Ada dua sudut luar pada setiap titik poligon, masing-masing ditentukan dengan panjang salah satu dari dua sisi poligon yang bertemu di titik sudut; kedua sudut ini vertikal dan karenanya sama besar. Sudut luar mengukur jumlah rotasi yang dilakukan pada sebuah titik untuk menelusuri poligon.{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} Jika sudut dalam yang bersesuaian adalah sudut refleks, sudut luar harus dianggap [[Bilangan negatif|negatif]]. Bahkan dalam poligon tidak sederhana dimungkinkan untuk menentukan sudut luar, namun apabila memilih [[orientasi (matematika)|orientasi]] dari [[bidang (matematika)|bidang]] (atau [[permukaan (matematika)|permukaan]]) untuk menentukan tanda sudut luar mengukur.
*: Dalam geometri Euklides, jumlah sudut luar poligon cembung sederhana, jika hanya satu dari dua sudut luar diasumsikan pada setiap simpul, akan menjadi satu putaran penuh (360°). Sudut luar disebut juga "sudut luar tambahan". Sudut luar biasanya digunakan dalam [[Logo (bahasa pemrograman)|program Penyu Logo]] saat menggambar poligon biasa.
Baris 165 ⟶ 164:
* Beberapa penulis menggunakan nama ''sudut luar'' dari poligon sederhana yang berarti ''sudut luar kelengkapan'' (''bukan'' suplemen!) dari sudut dalam.<ref>{{citation|editor=D. Zwillinger|title=CRC Standard Mathematical Tables and Formulae|place=Boca Raton, FL|publisher=CRC Press|year=1995|page= 270}} seperti dikutip dalam {{MathWorld |urlname=ExteriorAngle |title=Exterior Angle}}</ref> Ini bertentangan dengan penggunaan di atas.
===Sudut bidang terkait
* Sudut antara dua [[Bidang (matematika)|bidang]] (seperti dua wajah damping dari [[polihedron]]) disebut ''[[sudut dihedral]]''.<ref name="Chisholm 1911"/> Ini didefinisikan sebagai sudut lancip antara dua garis [[Normal (geometri)|normal]] terhadap bidang.
* Sudut antara bidang dan garis lurus yang berpotongan sama dengan sembilan puluh derajat dikurangi sudut antara garis irisan dan garis melalui titik damping dan damping normal terhadap bidang.
Baris 176 ⟶ 175:
[[Berkas:Angle measure.svg|right|thumb|Pengukuran sudut {{math|''θ''}} adalah {{nowrap|{{sfrac|''s''|''r''}} radian}}.]]
Untuk mengukur sudut <var>[[theta|θ]]</var>, sebuah [[busur lingkaran]] pusat di titik sudut yang digambar dengan sepasang [[Kompas (susunan)|
Sudut yang dinyatakan dengan satuan sudut lain kemudian dapat diperoleh dengan mengalikan sudut dengan konstanta konversi sesuai dari bentuk {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}}, di mana ''k'' adalah ukuran putaran penuh yang dinyatakan dalam satuan yang dipilih (misalnya, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} untuk [[derajat (sudut)|derajat]] atau 400
:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>
Baris 199 ⟶ 198:
Sebagian besar satuan pengukuran sudut didefinisikan sedemikian rupa sehingga satu [[putaran (geometri)|putaran]] (yaitu satu lingkaran penuh) sama dengan satuan ''n'', untuk beberapa bilangan bulat ''n''. Dua pengecualian adalah radian (dan subkelipatan desimalnya) dan bagian diameter.
;[[putaran (
;[[Kuadran (lingkaran)|Kuadran]] (''n''
;[[Sekstan (lingkaran)|Sekstan]] (''n''
[[Berkas:Angle radian.svg|right|thumb|''θ'' = {{sfrac|''s''|''r''}} rad = 1 rad.]]
;[[Radian]] (''n''
;[[Sudut jam]] (''n''
;[[Titik kompas|(Kompas) titik atau angin]] (''n''
;[[Heksakontade]] (''n''
;[[Pechus]] (''n''
;[[Derajat biner]] (''n''
;[[Derajat (sudut)|Derajat]] (''n'' = 360): "Derajat", dilambangkan dengan lingkaran superskrip kecil (°), adalah 1/360 putaran, jadi satu "putaran" adalah 360°. Kasus derajat untuk rumus yang diberikan sebelumnya, ''derajat'' dari ''n'' = 360° unit diperoleh dengan menyetel ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}. Satu keuntungan dari subunit [[seksagesimal]] lama ini adalah bahwa banyak sudut yang umum dalam geometri sederhana diukur sebagai bilangan bulat derajat. Pecahan derajat dapat ditulis melalui notasi desimal normal (misalnya 3,5° untuk tiga setengah derajat), namun subunit seksagesimal "menit" dan "detik" dari sistem "derajat-menit-detik" juga digunakan, khususnya untuk [[Sistem koordinat geografis|koordinat geografis]] dan dalam [[astronomi]] dan [[balistik]].▼
▲;[[Derajat (sudut)|Derajat]] (''n''
;[[Bagian diameter]] (''n'' = 376.99...): ''Bagian diameter'' (terkadang digunakan dalam matematika Islam) memiliki {{sfrac|60}} radian. Satu "bagian diameter" kira-kira 0,95493°. Ada sekitar 376.991 bagian diameter per putaran.▼
▲;[[Bagian diameter]] (''n''
;[[Grad (sudut)|Grad]] (''n'' = 400):''grad'', juga disebut ''grade'', ''[[gradian]]'', atau ''gon'', memiliki {{sfrac|400}} putaran, jadi sudut siku-siku adalah 100 derajat.<ref name=":0" /> Ini adalah subsatuan desimal dari kuadran. Sebuah [[kilometer]] secara historis didefinisikan sebagai [[subtending]] sebuah [[senti]]-grad busur sepanjang [[lingkaran besar]] di Bumi. Jadi, kilometer adalah analog desimal dari mil laut [[seksagesimal]].{{cn|date=May 2021}} Lulusan sebagian besar digunakan di [[triangulasi (survei)|triangulasi]] dan [[survei]] kontinental.▼
▲;[[Grad (sudut)|Grad]] (''n''
;[[Miliradian]]: Miliradian (mrad, terkadang mil) didefinisikan sebagai seperseribu radian, yang berarti bahwa satu putaran [[putaran (geometri)|putaran]] terdiri dari 2000{{math|π}} mrad (atau sekitar 6283,185... mrad), dan hampir semua [[bidikan teleskopik|bidikan lingkup]] untuk [[senjata api]] dikalibrasi dengan definisi ini. Juga, ada tiga definisi turunan lainnya digunakan untuk artileri dan navigasi yang "kira-kira" sama dengan satu miliradian. Di bawah tiga definisi lain ini, satu putaran menghasilkan tepat 6000, 6300, atau 6400 mrad, yang sama dengan rentang dari 0,05625 hingga 0,06 derajat (3,375 hingga 3,6 menit). Sebagai perbandingan, miliradian sebenarnya adalah 0,05729578... derajat (3,43775... menit). Satu "[[NATO]] mil" didefinisikan sebagai {{sfrac|6400}} putaran. Sama seperti milliradian yang sebenarnya, masing-masing definisi lainnya mengeksploitasi sifat subtensi yang berguna dari mil, yaitu bahwa nilai satu miliradian kira-kira sama dengan sudut yang dibentuk oleh lebar 1 meter jika dilihat dari jarak 1 km ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ {{sfrac|1000}}).▼
▲;[[Miliradian]]: Miliradian (mrad, terkadang mil) didefinisikan sebagai seperseribu radian, yang berarti bahwa satu putaran [[putaran (geometri)|putaran]] terdiri dari 2000{{math|π}}
;[[
;[[Detik busur]] (''n'' = 1,296.000): ''detik busur'' (atau ''detik busur'', atau hanya ''kedua'') adalah {{sfrac|60}} dari menit busur dan {{sfrac|3600}} derajat. Ini dilambangkan dengan prima ganda ( ″ ). Misalnya, 3° 7′ 30″ sama dengan 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} derajat, atau 3,125 derajat.
;[[Miliardetik]] (''n'' = 1,296.000.000): mas▼
;[[Mikro detik busur]] (''n'' = 1,296.000.000.000): µas▼
===Sudut positif dan negatif===
Meskipun definisi pengukuran sudut tidak mendukung konsep sudut negatif,
Dalam [[sistem koordinat Kartesius]] dua dimensi, sudut biasanya ditentukan oleh kedua sisinya, dengan titik puncaknya di titik asal. ''Sisi awal'' berada di [[sumbu-x]] positif, sedangkan sisi lain atau ''sisi terminal'' ditentukan oleh ukuran dari sisi awal dalam radian, derajat, atau putaran. Dengan ''sudut positif'' mewakili rotasi ke arah [[sumbu-y]] positif dan ''sudut negatif'' mewakili rotasi ke arah sumbu-''y'' negatif. Ketika koordinat Kartesian diwakili oleh ''posisi standar'', ditentukan oleh sumbu-''x'' ke kanan dan sumbu-''y'' ke atas, rotasi positif adalah [[anti-arah jarum jam]] dan rotasi negatif adalah [[arah jarum jam]].
Dalam banyak konteks, sudut-''θ'' secara efektif setara dengan sudut "satu putaran penuh ''θ'' minus". Misalnya, orientasi yang direpresentasikan sebagai −45° secara efektif dengan orientasi yang direpresentasikan sebagai 360°
Dalam geometri tiga dimensi, "arah jarum jam" dan "anti-arah jarum jam" tidak memiliki arti mutlak, jadi arah sudut positif dan negatif harus ditentukan relatif terhadap beberapa referensi, yang biasanya adalah [[Vektor (geometris)|vektor]] melewati titik sudut dan tegak lurus pada bidang dimana sinar sudut berada.
Baris 265 ⟶ 266:
{{Main article|Bagi-dua#Sudut bagi|Pembagian sudut}}
[[Matematika Yunani|Matetikawan Yunani kuno]] mengetahui bagaimana cara membagi dua sudut (membaginya menjadi dua sudut yang sama besar) hanya dengan
==
Dalam [[ruang Euklides]], sudut ''θ'' antara dua [[vektor Euklides]] '''u''' dan '''v''' terkait dengan [[
:<math> \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \cos(\theta) \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
Baris 274 ⟶ 275:
Rumus ini menyediakan metode yang mudah untuk menemukan sudut diantara dua bidang (atau permukaan lengkung) dari [[vektor normal]] dan antara [[garis miring]] dari persamaan vektor.
===
Untuk menentukan sudut dalam riil abstrak [[ruang
:<math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \cos(\theta)\ \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
Dalam kompleks [[ruang
:<math> \operatorname{Re} \left( \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right) = \cos(\theta) \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
atau, menggunakan [[nilai absolut]], dengan
:<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| .</math>
Baris 307 ⟶ 308:
==Sudut dalam geografi dan astronomi==
[[Berkas:Two rays and one vertex.sr.png|jmpl|Dua sinar dan satu titik sudut]]
Dalam [[geografi]], lokasi titik dimana Bumi diidentifikasi menggunakan ''[[sistem koordinat geografis]]''. Sistem ini menentukan [[lintang]] dan garis [[bujur]] dari setiap lokasi dalam hal sudut yang dibentuk di pusat Bumi, menggunakan [[ekuator]] dan (biasanya) [[meridian Greenwich]] sebagai referensi.
Baris 314 ⟶ 316:
Para astronom juga mengukur ''ukuran semu'' objek sebagai [[diameter sudut]]. Misalnya, [[bulan purnama]] memiliki diameter sudut sekitar 0,5°, jika dilihat dari Bumi. Biasanya seseorang mengatakannya sebagai, "Diameter Bulan dalam bentuk sudut setengah derajat". [[Rumus sudut-kecil]] digunakan untuk mengubah pengukuran sudut tersebut menjadi rasio jarak/ukuran.
:
==Lihat pula==
Baris 357 ⟶ 360:
* {{SpringerEOM|mode=cs2 |last=Sidorov |first=L. A. |date=2001 |id=Angle&oldid=13323 |title=Angle}}
* {{citation |last=Jacobs |first=Harold R. |date=1974 |title=Geometry|publisher=W. H. Freeman|isbn=978-0-7167-0456-0|pages=97, 255}}
* {{citation
* {{citation |last=Shute |first=William G. |last2=Shirk |first2=William W. |last3=Porter |first3=George F. |date=1960 |title=Plane and Solid Geometry |publisher=American Book Company |pages=25–27}}
* {{citation |last1=Wong |first1=Tak-wah |last2=Wong |first2=Ming-sim |date=2009 |chapter=Angles in Intersecting and Parallel Lines |title=New Century Mathematics |location=Hong Kong |publisher=Oxford University Press |edition=1 |volume=1B |pages=161–163 |isbn=978-0-19-800177-5}}
Baris 366 ⟶ 369:
{{Wikibooks|Geometri|Sudut Terpadu}}
* {{cite EB9 |wstitle=Angle |volume=2 |pages=29–30 |mode=cs2|short=x }}
{{Bangun}}{{Authority control}}▼
▲{{Authority control}}
[[Kategori:Sudut| ]]
| |||