Sudut (geometri): Perbedaan antara revisi

{{Distinguishdisambiginfo|Sudut (disambiguasi)}}

Dalam [[geometri Euklides]], sebuah '''sudut''' adalah gambar yang dibentuk oleh dua [[Sinar (geometri)|sinar]], yang disebut juga ''sisi'' dari sudut, berbagi titik akhir yang sama, yang disebut ''[[puncak (geometri)|puncak/veteksverteks]]'' dari sudut.<ref>{{harvnb|Sidorov|2001}}</ref>

== IndentifikasiIdentifikasi sudut ==

Dalam [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]], biasanya menggunakan [[huruf Yunani]] (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var>φ</var>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;) sebagai [[Variabel (matematika)|variabel]] yang menunjukkan ukuran beberapa sudut<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-17|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> (untuk menghindari kebingungan dengan makna lainnya, simbol {{math|[[Pi|π]]}} biasanya tidak digunakan untuk tujuan ini). Huruf Romawi kecil (''a'',  ''b'',  ''c'',  .  .  .  ) juga digunakan, seperti huruf besar Romawi dalam konteks [[poligon]]. Lihat gambar di artikel ini untuk contoh.

* Sudut yang lebih besar dari sudut lurus tetapi kurang dari 1  putaran (antara 180° dan 360°) disebut ''sudut refleks''.

* Sudut sama dengan 1 putaran (360 ° atau 2{{math|π}} radian) disebut ''sudut penuh'', ''sudut lengkap'', ''sudut bulat'' atau ''perigon'' .

|caption1=[[Sudut kanansiku-siku]]

|caption2= Sudut lancip (<var>a</var>), tumpul (<var>b</var>), dan lurus (<var>c</var>). Sudut lancip dan tumpul disebut juga sudut miring.

|style = "width:3em;" | sudut kanansiku-siku

* Dua sudut yang terbagi sisi terminal, namun berbeda ukurannya dengan kelipatan [[bilangan bulat]] dari satu putaran, disebut ''sudut koterminal''.

Sebuah [[Transversal (geometri)|transversal]] adalah garis irisan sepasang garis (seringkalisering kali sejajar), dan dikaitkan dengan ''sudut interior alternatif'', ''sudut padanan'', ''sudut interior'', dan ''sudut eksterior''.{{sfn|Jacobs|1974|p=255}}

* ''Sudut komplementer'' adalah pasangan sudut dengan ukuran satu sudut siku-siku ({{sfrac|4}} putar, 90°, atau radian {{sfrac|{{math|π}}|2}}.<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref> Jika dua sudut komplekmen damping, sisi-sisinya yang tidak membentuk sudut siku-siku. Dalam geometri Euklides, dua sudut lancip pada [[segitiga siku-siku]] komplekmen, karena jumlah sudut dalam dari sebuah [[segitiga]] adalah 180 derajat, dan sudut siku-siku itu sendiri berjumlah 90 derajat.

:[[Tangen]] suatu sudut sama dengan [[kotangen]] komplemen dan garis irisannya sama dengan [[kosecankosekan]] komplemen.

*: Dalam [[geometri Euklides]], ukuran sudut dalam dari [[segitiga]] dijumlahkan dengan {{math|π}} radian, 180°, atau putaran {{sfrac|2}}; ukuran sudut dalam dari [[poligon cembung|cembung]] [[kuadrilateral]] sederhana berjumlah 2{{math|π}} radian, 360°, atau putaran 1. Secara umum, ukuran sudut dalam dari sebuah cembung sederhana [[poligon]] dengan sisi ''n'' berjumlah (''n''  −  2){{math|π}}  radian, atau (''n''  −  2)180  derajat, (''n''  −  2)2 sudut siku-siku, atau putaran (''n''  −  2){{sfrac|1|2}}.

Untuk mengukur sudut <var>[[theta|θ]]</var>, sebuah [[busur lingkaran]] pusat di titik sudut yang digambar dengan sepasang [[Kompas (susunan)|kompasjangka]]. Perbandingan panjang <var>s</var> busur dengan jari-jari <var>r</var> lingkaran adalah banyaknya [[radian]] pada sudut tersebut. Secara konvensional, dalam matematika dan [[SI]], radian diperlakukan sama dengan nilai [[tanpa dimensi]] 1.

Sudut yang dinyatakan dengan satuan sudut lain kemudian dapat diperoleh dengan mengalikan sudut dengan konstanta konversi sesuai dari bentuk {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}}, di mana ''k'' adalah ukuran putaran penuh yang dinyatakan dalam satuan yang dipilih (misalnya, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} untuk [[derajat (sudut)|derajat]] atau 400  grad untuk [[gradian]]):

;[[putaran (geometri)|Putaran]] (''n''  =  1): ''Putaran'', juga ''siklus'', ''lingkaran penuh'', ''revolusi'', dan ''rotasi'', adalah gerakan atau ukuran lingkar komplekmen (seperti kembali ke titik yang sama) dengan lingkaran atau elips. Simbol yang digunakan dan belokan adalah ''cyc'', ''rev'', atau ''rot'', tergantung pada aplikasinya.

;[[Kuadran (lingkaran)|Kuadran]] (''n''  =  4): ''Kuadran'' adalah yang memiliki {{sfrac|4}} putaran, yaitu ''[[sudut kanan]]''. Ini adalah satuan yang digunakan di [[Elemen Euclid]]. 1 kuad = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}}&nbsp;rad = {{sfrac|4}} putaran = 100&nbsp;grad. Dalam bahasa Jerman simbol ^∟ telah digunakan untuk menunjukkan sebuah kuadran.

;[[Sekstan (lingkaran)|Sekstan]] (''n''  =  6): ''sekstan'' (''sudut [[segitiga sama sisi]]'') yang memiliki {{sfrac|6}} putaran. Ini adalah satuan yang digunakan oleh [[Babilonia]],<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> dan mudah dibuat dengan penggaris dan kompasjangka. Derajat, menit busur dan detik busur adalah subunit [[seksagesimal]] dari unit Babilonia. 1 Satuan Babilonia = 60° = {{pi}}/3  rad ≈ 1.047197551  rad.

;[[Radian]] (''n''  =  2{{pi}}  =  6.283...): ''[[Radian]]'' adalah sudut yang dibentuk oleh busur lingkaran panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Simbol untuk radian adalah ''rad''. Satu putaran adalah 2{{math|π}}  radian, dan satu radian adalah {{sfrac|180°|{{pi}}}}, atau sekitar 57,2958 derajat. Dalam teks matematika, sudut sebagai tanpa dimensi dengan radian sama dengan satu, sehingga satuan ''rad'' dihilangkan. Radian digunakan di hampir semua pekerjaan matematika di luar geometri praktis sederhana, misalnya untuk sifat dan "alami" yang ditampilkan [[fungsi trigonometri]] ketika argumennya dalam radian. Radian adalah satuan (turunan) dari pengukuran sudut dalam [[SI]], yang juga merupakan sudut sebagai tanpa dimensi.

;[[Sudut jam]] (''n''  =  24): ''Sudut jam'' astronomis yang memiliki {{sfrac|24}} putaran. Karena sistem ini dapat mengukur objek berputar sekali sehari (seperti posisi relatif bintang), subsatuan seksagesimal disebut ''menit waktu'' dan ''detik waktu''. Ini berbeda dari, dan 15 kali lebih besar dari, menit dan detik busur. 1  jam = 15° = {{sfrac|{{pi}}|12}}&nbsp;rad = {{sfrac|6}}&nbsp;kuad = {{sfrac|24}}&nbsp;putaran = {{sfrac|16|2|3}}&nbsp;grad.

;[[Titik kompas|(Kompas) titik atau angin]] (''n''  =  32): ''Titik'', yang digunakan dalam [[navigasi]], adalah {{sfrac|32}} putaran. 1  titik = {{sfrac|8}} sudut siku-siku = 11,25° = 12,5  grad. Setiap titik dibagi menjadi empat seperempat titik sehingga 1 putaran sama dengan 128 seperempat titik.

;[[Heksakontade]] (''n''  =  60): ''Heksakontade'' adalah satuan [[Eratosthenes]] yang digunakan dan sama dengan 6°, sehingga satu putaran dibagi menjadi 60 heksakontade.

;[[Pechus]] (''n''  =  144–180): ''Pechus'' adalah satuan [[Matematika Babilonia|Babilonia]] yang sama dengan sekitar 2° atau {{sfrac|2|1|2}}°.

;[[Derajat biner]] (''n''  =  256): ''Derajat biner'', juga dikenal sebagai ''[[radian biner]]'' (atau ''brad''), adalah {{sfrac|256}} dari satu putaran.<ref name="ooPIC"/> Derajat biner digunakan dalam komputasi sehingga sudut direpresentasikan secara efisien dalam satu [[bit]] (walaupun dengan presisi hingga). Ukuran sudut lain yang digunakan dalam komputasi didasarkan pada pembagian satu putaran menjadi 2^''n'' bagian yang sama untuk nilai ''n'' lainnya.<ref name="Hargreaves_2010"/>

;[[Derajat (sudut)|Derajat]] (''n''  =  360): "Derajat", dilambangkan dengan lingkaran superskrip kecil (°), adalah 1/360 putaran, jadi satu "putaran" adalah 360°. Kasus derajat untuk rumus yang diberikan sebelumnya, ''derajat'' dari ''n'' = 360° unit diperoleh dengan menyetel ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}. Satu keuntungan dari subunit [[seksagesimal]] lama ini adalah bahwa banyak sudut yang umum dalam geometri sederhana diukur sebagai bilangan bulat derajat. Pecahan derajat dapat ditulis melalui notasi desimal normal (misalnya 3,5° untuk tiga setengah derajat), namun subunit seksagesimal "menit" dan "detik" dari sistem "derajat-menit-detik" juga digunakan, khususnya untuk [[Sistem koordinat geografis|koordinat geografis]] dan dalam [[astronomi]] dan [[balistik]].

;[[Bagian diameter]] (''n''  =  376.99...): ''Bagian diameter'' (terkadang digunakan dalam matematika Islam) memiliki {{sfrac|60}} radian. Satu "bagian diameter" kira-kira 0,95493°. Ada sekitar 376.991 bagian diameter per putaran.

;[[Grad (sudut)|Grad]] (''n''  =  400): ''grad'', juga disebut ''grade'', ''[[gradian]]'', atau ''gon'', memiliki {{sfrac|400}} putaran, jadi sudut siku-siku adalah 100 derajat.<ref name=":0" /> Ini adalah subsatuan desimal dari kuadran. Sebuah [[kilometer]] secara historis didefinisikan sebagai [[subtending]] sebuah [[senti]]-grad busur sepanjang [[lingkaran besar]] di Bumi. Jadi, kilometer adalah analog desimal dari mil laut [[seksagesimal]].{{cn|date=May 2021}} Lulusan sebagian besar digunakan di [[triangulasi (survei)|triangulasi]] dan [[survei]] kontinental.

;[[Miliradian]]: Miliradian (mrad, terkadang mil) didefinisikan sebagai seperseribu radian, yang berarti bahwa satu putaran [[putaran (geometri)|putaran]] terdiri dari 2000{{math|π}}  mrad (atau sekitar 6283,185...  mrad), dan hampir semua [[bidikan teleskopik|bidikan lingkup]] untuk [[senjata api]] dikalibrasi dengan definisi ini. Juga, ada tiga definisi turunan lainnya digunakan untuk artileri dan navigasi yang "kira-kira" sama dengan satu miliradian. Di bawah tiga definisi lain ini, satu putaran menghasilkan tepat 6000, 6300, atau 6400 mrad, yang sama dengan rentang dari 0,05625 hingga 0,06 derajat (3,375 hingga 3,6 menit). Sebagai perbandingan, miliradian sebenarnya adalah 0,05729578... derajat (3,43775... menit). Satu "[[NATO]] mil" didefinisikan sebagai {{sfrac|6400}} putaran. Sama seperti milliradian yang sebenarnya, masing-masing definisi lainnya mengeksploitasi sifat subtensi yang berguna dari mil, yaitu bahwa nilai satu miliradian kira-kira sama dengan sudut yang dibentuk oleh lebar 1 meter jika dilihat dari jarak 1 &nbsp;km ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ {{sfrac|1000}}).

;[[Menit busur]] (''n''  =  21.600): ''menit busur'' (atau ''menit busur'', atau hanya ''menit'') adalah {{sfrac|60}} derajat = {{sfrac|21.600}} putaran. Ini dilambangkan dengan satu bilangan prima (  ′  ). Misalnya, 3°  30′ sama dengan 3  ×  60  +  30  =  210 menit atau 3  +  {{sfrac|30|60}} = 3,5 derajat. Format campuran dengan pecahan desimal juga terkadang digunakan, misalnya 3°  5.72′ = 3  +  {{sfrac|5.72|60}} derajat. Sebuah [[mil laut]] secara historis didefinisikan sebagai menit busur di sepanjang [[lingkaran besar]] Bumi.

;[[Detik busur]] (''n''  =  1,296.000): ''detik busur'' (atau ''detik busur'', atau hanya ''kedua'') adalah {{sfrac|60}} dari menit busur dan {{sfrac|3600}} derajat. Ini dilambangkan dengan prima ganda (  ″  ). Misalnya, 3°  7′  30″ sama dengan 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} derajat, atau 3,125  derajat.

;[[Miliardetik]] (''n''  =  1,296.000.000): mas

;[[Mikro detik busur]] (''n''  =  1,296.000.000.000): µas

Meskipun definisi pengukuran sudut tidak mendukung konsep sudut negatif, seringkalisering kali berguna untuk menerapkan konvensi yang memungkinkan nilai sudut positif dan negatif untuk mewakili [[Orientasi (geometri)|orientasi]] dan/atau [[Rotasi (matematika)|rotasi]] dalam arah berlawanan relatif terhadap beberapa referensi.

Dalam banyak konteks, sudut-''θ'' secara efektif setara dengan sudut "satu putaran penuh ''θ'' minus". Misalnya, orientasi yang direpresentasikan sebagai −45° secara efektif dengan orientasi yang direpresentasikan sebagai 360°  −45° atau 315°. Meskipun posisi akhirnya sama, rotasi fisik (gerakan) −45° tidak sama dengan rotasi 315°, misalnya rotasi dimegang sapu diletakkan di lantai berdebu akan meninggalkan jejak yang berbeda secara visual dari daerah yang disapu di lantai.

[[Matematika Yunani|Matetikawan Yunani kuno]] mengetahui bagaimana cara membagi dua sudut (membaginya menjadi dua sudut yang sama besar) hanya dengan menggunakan [[kompasLukisan jangka dan mistar|menggunakan jangka dan penggaris]], namun hanya bisa membagi tiga sudut tertentu. Pada tahun 1837 [[Pierre Wantzel]] menunjukkan bahwa untuk sebagian besar sudut, konstruksi ini tidak dapat dilakukan.

atau, menggunakan [[nilai absolut]], dengan

* {{citation |last=Slocum|first=Jonathan|date=2007 |url=http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html |title=Preliminary Indo-European lexicon&nbsp;— Pokorny PIE data |access-date=2 Feb 2010|publisher=[[Linguistics Research Center at UT Austin|University of Texas research department: linguistics research center]]|archive-date=2010-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20100627012240/http://www.utexas.edu/cola/centers/lrc/ielex/X/P0089.html|dead-url=yes}}