Bijeksi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) pindahkan beberapa gambar ke bagian baru, Galeri; tambahkan templat fungsi |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (3 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Fungsi}}[[Berkas:Bijection.svg|jmpl|200x200px|
Dalam [[matematika]], '''bijeksi''', '''fungsi bijektif''', '''korespondensi satu-ke-satu''', atau '''fungsi terbalikkan''' adalah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] yang melibatkan elemen-elemen dari dua [[Himpunan (matematika)|himpunan]]. Setiap elemen dari satu himpunan dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan lainnya. Setiap elemen dari himpunan lainnya dipasangkan dengan tepat ke satu elemen dari himpunan pertama. Tidak ada elemen yang tidak berpasangan atau memiliki lebih dari satu pasangan. Dalam istilah matematika, fungsi bijektif {{Nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} adalah pemetaan satu-ke-satu (injeksi) dan ''onto'' (surjektif) dari himpunan ''X'' ke himpunan ''Y.''<ref name=":0">{{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#otoc|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — One-to-One Correspondence|last=|first=|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|archive-url=|archive-date=|access-date=2019-12-07|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html|title=Injective, Surjective and Bijective|website=www.mathsisfun.com|access-date=2019-12-07}}</ref> Istilah ''korespondensi satu-ke-satu'' tidak boleh disalahartikan dengan ''fungsi satu-ke-satu'' (fungsi injeksi).
Sebuah bijeksi dari himpunan ''X'' ke himpunan ''Y'' memiliki [[fungsi invers]] dari ''Y'' ke ''X.'' Jika ''X'' dan ''Y'' adalah [[himpunan hingga]], maka keberadaan suatu bijeksi berarti bahwa kedua himpunan tersebut memiliki jumlah elemen yang sama. Untuk himpunan tak berhingga, digunakan konsep [[bilangan kardinal]]—cara untuk membedakan berbagai ukuran himpunan tak berhingga. Fungsi bijektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri disebut [[permutasi]] dan himpunan semua permutasi dari suatu himpunan membentuk sebuah [[Grup simetrik|grup simetris]]. Fungsi bijektif sangat penting dalam berbagai bidang matematika termasuk definisi isomorfisme, [[homeomorfisme]], difeomorfisme, [[Grup permutasi|kelompok permutasi]], dan peta projektif.
== Definisi ==
Baris 12:
# tidak ada elemen ''Y'' yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen ''X.''
Apabila sifat nomor (1) dan (2) terpenuhi, maka pasangan tersebut adalah sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dengan [[Domain fungsi|domain]] ''X.'' Pada umumnya, sifat nomor (1) dan (2) lebih umum ditulis sebagai pernyataan tunggal berupa "setiap elemen ''X'' dipasangkan dengan tepat ke satu elemen ''Y."'' Fungsi yang memenuhi sifat nomor (3) dikatakan "''onto'' ''Y''" atau disebut surjeksi (atau '''fungsi surjektif'''). Fungsi yang memenuhi sifat nomor (4) dikatakan sebagai "fungsi satu-ke-satu" dan disebut injeksi (atau '''fungsi injektif''').<ref>There are names associated to properties (1) and (2) as well. A relation which satisfies property (1) is called a ''total relation'' and a relation satisfying (2) is a ''single valued relation''.</ref> Dengan terminologi ini, bijeksi adalah fungsi gabungan antara surjeksi dan injeksi. Dengan kata lain, bijeksi adalah fungsi "satu-ke-satu" sekaligus fungsi "onto".<ref name=":0"
Bijeksi terkadang dilambangkan dengan simbol anak panah ke kanan berkepala dua dan memiliki ekor (⤖), seperti pada ''f'' : ''X'' ⤖ ''Y''. Simbol ini merupakan kombinasi dari simbol anak panah ke kanan berkepala dua (↠), yang digunakan untuk melambangkan surjeksi dan anak panah ke kanan berekor (↣) yang digunakan untuk melambangkan injeksi.
Baris 35:
* Untuk semua himpunan ''X'', fungsi identitas '''1'''<sub>''X''</sub>: ''X'' → ''X'', '''1'''<sub>''X''</sub>(''x'') = ''x'' adalah sebuah fungsi bijektif.
* Fungsi ''f'': '''R''' → '''R''', ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 merupakan fungsi bijektif karena untuk setiap ''y'' ada suatu ''x'' = (''y'' - 1)/2 sedemikian sehingga ''f''(''x'') = ''y''. Secara umum, setiap fungsi linear real, ''f'': '''R''' → '''R''', ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' (dengan ''a'' adalah nol) adalah sebuah bijeksi. Setiap bilangan real ''y'' diperoleh dari (atau dipasangkan dengan) bilangan real ''x'' = (''y'' - ''b'')/''a''.
* Fungsi ''f'': ''R'' → (−π/2, π/2) untuk ''f(x'') = arctan(''x'') adalah fungsi bijektif karena setiap bilangan real ''x'' dipasangkan dengan tepat ke satu sudut ''y'' dalam interval (−π/2, π/2) sehingga terpenuhi tan(''y'') = ''x'' (atau ''y'' = arctan(''x'')). Apabila kodomain (-π/2, π/2) dibuat lebih besar untuk menyertakan kelipatan [[bilangan bulat]] dari π/2, maka fungsi ini tidak lagi menjadi onto (surjektif) karena tidak ada lagi bilangan real yang dapat dipasangkan dengan kelipatan π/2 oleh fungsi arctan ini.
* Fungsi eksponensial, ''g'': '''R''' → '''R''', ''g''(''x'') = e<sup>''x''</sup> bukan fungsi bijektif karena tidak ada nilai ''x'' dalam '''R''' yang menyebabkan ''g''(''x'') = −1 menunjukkan bahwa ''g'' tidak ''onto'' (surjektif). Namun jika kodomain terbatas ke bilangan real positif <math>\scriptstyle \R^+ \;\equiv\; \left(0,\, +\infty\right)</math>, maka ''g'' akan bersifat bijektif; inversnya (lihat di bawah) adalah fungsi [[Logaritma alami|logaritma natural]] ln.
* Fungsi ''h'' : '''R''' → '''R''' <sup>+</sup>, ''h'' ( ''x'' ) = ''x'' <sup>2</sup> bukan fungsi bijektif: misalnya, ''h'' (−1) = ''h'' (1) = 1, menunjukkan bahwa ''h'' bukan fungsi satu-ke-satu (injeksi). Namun, jika [[Domain fungsi|domain]] dibatasi <math>\scriptstyle\R^+_0 \;\equiv\; \left[0,\, +\infty\right)</math>, maka ''h'' akan menjadi fungsi bijektif; kebalikannya adalah fungsi [[akar kuadrat]] positif.
== Invers ==
Baris 50:
== Komposisi ==
Komposisi <math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> dari dua bijeksi ''f'': ''X → Y'' dan ''g'': ''Y → Z'' adalah sebuah bijeksi, dengan invers dari <math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> adalah <math>\scriptstyle (g \,\circ\, f)^{-1} \;=\; (f^{-1}) \,\circ\, (g^{-1})</math>.
[[Berkas:
Sebaliknya jika komposisi <math>\scriptstyle g \, \circ\, f</math> dari dua fungsi adalah bijeksi, maka ''f'' adalah injeksi dan ''g'' adalah surjeksi.<ref>{{Cite book|last=Deloro|first=Adrien|date=2007|url=https://webusers.imj-prg.fr/~adrien.deloro/teaching-archive/Rutgers-Math300.pdf|title=Introduction to Mathematical Reasoning|location=|publisher=|isbn=|pages=|url-status=live}}</ref>
Baris 59:
== Galeri ==
{{Gallery|Image:Injection.svg|Sebuah fungsi injektif non-surjektif (injeksi, '''bukan bijeksi''')|Image:Bijection.svg|Sebuah fungsi injektif subjektif (
== Lihat pula ==
{{wikiportal|Matematika}}
Baris 82:
* {{Cite book|title=An Introduction to Mathematical Reasoning|last=Iglewicz|last2=Stoyle|publisher=MacMillan}}
* {{Cite book|title=Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics|last=Devlin|first=Keith|publisher=Chapman & Hall/ CRC Press|year=2004}}
* {{Cite book|title=Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs|url=https://archive.org/details/isbn_8800003757534|last=D'Angelo|last2=West|publisher=Prentice Hall|year=2000}}
* {{Cite book|url=https://archive.org/details/nutsboltsofproof00anto|title=The Nuts and Bolts of Proofs|last=Cupillari|publisher=Wadsworth|url-access=registration}}
* {{Cite book|title=Introduction to Abstract Mathematics|last=Bond|publisher=Brooks/Cole}}
* {{Cite book|title=Introduction to Advanced Mathematics|last=Barnier|last2=Feldman|publisher=Prentice Hall|year=2000}}
* {{Cite book|title=A Primer of Abstract Mathematics|year=1998|url=https://archive.org/details/primerofabstract0000ashr|last=Ash|publisher=MAA}}
== Pranala luar ==
| |||