Distribusi Maxwell-Boltzmann: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k r2.7.2+) (bot Mengubah: uk:Розподіл Максвелла — Больцмана |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (24 revisi perantara oleh 14 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Hide in print|1={{Probability distribution
}}}}
Dalam [[fisika]], khususnya [[mekanika statistik]], '''distribusi Maxwell-Boltzmann''' yang menggambarkan kecepatan partikel dalam [[gas]], di mana partikel bergerak bebas antara [[tumbukan]] kecil
Ini merupakan [[distribusi probabilitas]] untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud gas - Besaran dari vektor [[kecepatan]], yang berarti pada suhu tertentu, partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain <ref>
Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk [[gas ideal]] di dalam [[kesetimbangan termodinamika]] dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari [[teori kinetik gas]], yang memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental, termasuk [[tekanan]] dan [[difusi]] <ref>
Distribusi ini dinamai dari nama [[James Clerk Maxwell]] dan [[Ludwig Boltzmann]].
== Aplikasi Fisik ==
Biasanya distribusi Maxwell-Boltzmann mengacu pada kecepatan molekul, tetapi juga berlaku untuk distribusi [[
Untuk jumlah [[Vektor (geometris)
:<math>Z = \sqrt{X_1^2+X_2^2+X_3^2}</math>
disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter
== Distribusi (dalam berbagai bentuk) ==
Turunan asli oleh [[James Clerk Maxwell | Maxwell]] diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh [[Boltzmann]] mematahkan asumsi ini dengan [[teori kinetik]]. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari [[distribusi Boltzmann]] untuk energi (lihat juga [[statistik Maxwell-Boltzmann ]] dari [[mekanika statistik]]):<ref> McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 </ref><ref> Statistical Physics (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9-780471-91533 </ref>▼
▲Turunan asli oleh [[James Clerk Maxwell
:<math>
Baris 47 ⟶ 46:
dimana:
* ''i'' adalah [[Microstate (mekanika statistik)
* ''E''<sub>''i'' </sub> adalah tingkat energi dari microstate'' i''.
* ''T'' adalah temperatur kesetimbangan sistem.
* ''g<sub>i </sub>'' adalah faktor degenerasi, atau jumlah dari microstates yang mengalami [[
* ''k'' adalah [[konstanta Boltzmann.]]
* ''N''<sub>''i'' </sub> adalah jumlah molekul pada suhu kesetimbangan ''T'', dalam keadaan ''i'' yang memiliki energi ''E'' <sub >''i''</sub> dan degenerasi ''g<sub>i</sub>''.
* ''N'' adalah jumlah total molekul dalam sistem.
Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi ''g''<sub>''i''</sub>. Dalam hal ini ''i'' akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan ''g''<sub>''i''</sub> yang memiliki energi ''E''<sub>''i''</sub> yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai [[fungsi partisi (mekanika statistik)
==
Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh [[James Clerk Maxwell]] dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan [[Ludwig Boltzmann]]. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.
Untuk kasus sebuah "gas ideal" yang terdiri dari atom- atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar, semua energinya berada dalam bentuk [[energi kinetik]], dan ''g''<sub>i</sub> konstan untuk semua ''i''. Hubungan antara [[energi kinetik dan momentum]] untuk partikel yang besar adalah
:<math>
Baris 66 ⟶ 65:
\qquad\qquad (2) </math>
dimana ''p''<sup>2</sup> adalah kuadrat dari vektor momentum
'''p''' = [''p''<sub>''x''</sub>, ''p''<sub>''y''</sub>, ''p''<sub>''z''</sub>]. Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai:
Baris 77 ⟶ 76:
\qquad\qquad (3) </math>
dimana''Z'' adalah [[fungsi partisi (mekanika statistik)
:<math>
Baris 87 ⟶ 86:
\qquad\qquad (4)</math>
[[Konstanta normalisasi]] ''c'', dapat ditentukan dengan melihat
Dapat ditunjukkan bahwa:
Baris 105 ⟶ 104:
\qquad\qquad (6)</math>
Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang [[distribusi normal
Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk momentum (atau sama untuk vektor kecepatan) dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan [[teorema-H]] pada kesetimbangan dalam kerangka [[teori kinetik]].
==
Menggunakan ''p''² = 2''mE'', dan fungsi distribusi untuk besaran momentum (lihat [[# Distribusi untuk kecepatan
:<math>
Baris 135 ⟶ 134:
dimana <math>\epsilon</math> adalah energi per derajat kebebasan. Pada kesetimbangan, distribusi ini akan berlaku untuk sejumlah derajat kebebasan. Misalnya, jika partikelnya merupakan dipol massa yang kaku, partikel tersebut akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan. Energi dari setiap derajat kebebasan akan dijelaskan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan, dan total energi akan didistribusikan menurut distribusi chi-kuadrat dengan lima derajat kebebasan. Hal ini memiliki implikasi pada teori [[specific heat]] gas.
Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis [[gas dalam kotak
==
Mengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan ''f''<sub>'''v'''</sub> sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh
Baris 161 ⟶ 160:
</math>
Seperti momentum, distribusi ini dipandang sebagai produk dari tiga variabel independen [[distribusi normal
:<math>
Baris 179 ⟶ 178:
Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki [[distribusi normal]] dengan rata-rata <math>\mu_{v_x} = \mu_{v_y} = \mu_{v_z} = 0</math> dan standar deviasi <math>\sigma_{v_x} = \sigma_{v_y} = \sigma_{v_z} = \sqrt{\frac{kT}{m}}</math>, sehingga vektor memiliki distribusi normal 3-dimensi, disebut juga distribusi "multinormal", dengan rata-rata <math> \mu_{\mathbf{v}} = {\mathbf{0}} </math> dan standar deviasi <math>\sigma_{\mathbf{v}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}</math>.
==
[[
Biasanya, kita lebih tertarik pada kecepatan molekul daripada vektor kecepatan komponennya. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk kecepatan diambil dari distribusi vektor kecepatan, di atas. Perhatikan bahwa kecepatan adalah
Baris 190 ⟶ 189:
:<math> dv_x\, dv_y\, dv_z = v^2 \sin \phi\, dv\, d\theta\, d\phi </math>
dimana <math>\theta</math> dan <math>\phi</math> adalah "arah" (azimut dari vector kecepatan) dan "path angle" (elevasi sudut dari vektor kecepatan). Integrasi vektor kecepatan dari
:<math> f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}\left(\frac{m}{kT}\right)^3}\, v^2 \exp \left(\frac{-mv^2}{2kT}\right) </math>
Baris 196 ⟶ 195:
untuk kecepatan. Persamaannya menjadi [http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Maxwell distribution] dengan parameter distribusi <math>a=\sqrt{\frac{kT}{m}}</math>.
Kita
==
Kecepatan relatif diartikan sebagai <math>u = {v \over v_p}</math>, dimana <math>v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }</math> adalah kecepatan yang paling mungkin. Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda, bergantung pada suhu dan berat molekul.
==
Walaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau, dengan kata lain, sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu, kita
'''Kecepatan yang paling mungkin''', ''v''<sub>''p''</sub>, adalah kecepatan yang paling mungkin dimiliki oleh setiap molekul (dengan massa yang sama ''m'' ) dalam sistem dan sesuai dengan nilai maksimum atau [[Mode (statistik)
:<math>\frac{df(v)}{dv} = 0</math>
Baris 214 ⟶ 213:
:<math>v_p = \sqrt { \frac{2kT}{m} } = \sqrt { \frac{2RT}{M} }</math>
Dimana ''R'' adalah [[konstanta gas]] dan ''M'' = [[Avogadro konstan
Untuk nitrogen diatomik (N<sub>2</sub>, komponen utama dari [[udara]]) pada [[suhu kamar]] (300 [[derajat Kelvin
<math>v_p = 422 </math>m/s
Kecepatan rata-rata adalah rata-rata matematika dari distribusi kecepatan
Baris 229 ⟶ 228:
Typical speeds dihubungkan sebagai berikut:
:<math> 0.886 \langle v \rangle = v_p < \langle v \rangle < v_\mathrm{rms} = 1.085 \langle v \rangle.
==
[[
Ketika suhu gas meningkat dan ''kT'' mendekati atau melewati ''mc<sup>2</sup>'', distribusi probabilitas untuk <math>\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math> dalam relativistik Maxwellian untuk gas dinyatakan dengan distribusi Maxwell–Juttner:<ref name="Synge">
{{cite book
}}</ref>
:<math> f(\gamma) = \frac {\gamma^2 \beta }{\theta K_2(1/\theta)}
Baris 265 ⟶ 264:
|year=2009 |title=On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem |journal=arXiv:0910.1625v1 |url=http://arxiv.org/abs/0910.1625|accessdate=2011-10-22}}</ref>
==
* [[
▲* [[Boltzmann distribution]]
* [[Distribusi Maxwell–Jüttner]]
* [[
* [[
* [[
* [[
==
{{reflist}}
== Bacaan lebih lanjut ==
* Physics for Scientists and Engineers
* Thermodynamics, From Concepts to Applications (2nd Edition), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, USA), 2009,
* Chemical Thermodynamics, D.J.G. Ives, University Chemistry, Macdonald Technical and Scientific, 1971,
* Elements of Statistical Thermodynamics (2nd Edition), L.K. Nash, Principles of Chemistry, Addison-Wesley, 1974,
* Ward, CA & Fang, G 1999, 'Expression for predicting liquid evaporation flux: Statistical rate theory approach', Physical Review E, vol. 59, no. 1, pp. 429–40.
* Rahimi, P & Ward, CA 2005, 'Kinetics of Evaporation: Statistical Rate Theory Approach', International Journal of Thermodynamics, vol. 8, no. 9, pp. 1–14.
* [http://demonstrations.wolfram.com/TheMaxwellSpeedDistribution/ "The Maxwell Speed Distribution"] from The Wolfram Demonstrations Project at [[Mathworld]]▼
== Pranala luar ==
▲* {{en}} [http://demonstrations.wolfram.com/TheMaxwellSpeedDistribution/ "The Maxwell Speed Distribution"]
{{Authority control}}
▲{{DEFAULTSORT:Maxwell–Boltzmann Distribution}}
{{DEFAULTSORT:Distribusi Maxwell-Boltzmann}}
[[Kategori:Gas]]
[[
[[Kategori:Distribusi normal]]
[[Kategori:Distribusi partikel]]
[[Kategori:Fisika]]
[[Kategori:Statistika]]
| |||