Grup bebas: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Spasi dalam kategori) |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. |
||
| (2 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 2:
[[Gambar:F2 Cayley Graph.png|right|thumb|Diagram yang menunjukkan seperti apa [[grafik Cayley]] untuk grup gratis pada dua generator akan terlihat. Setiap simpul mewakili elemen dari grup bebas, dan setiap sisi mewakili perkalian dengan '' a '' atau '' b ''.]]
Dalam [[matematika]], '''grup bebas''' ''F''<sub>''S''</sub> di atas himpunan tertentu '' S '' terdiri dari semua [[Kata (teori grup)
Sebuah [[grup (matematika)
Gagasan terkait tetapi berbeda adalah [[grup abelian gratis]]; kedua gagasan adalah contoh khusus dari [[objek bebas]] dari [[aljabar universal]]. Dengan demikian, grup gratis ditentukan oleh [[#Sifat universal
== Sejarah ==
Grup bebas pertama kali muncul dalam studi [[geometri hiperbolik]], sebagai contoh [[grup Fuchsian]] (kelompok diskrit yang bekerja oleh [[isometri]] pada [[Geometri hiperbolik
<!-- perhatikan volume jurnal diterbitkan pada tahun 1964, tetapi ulasan JFM dan teks artikelnya menggunakan tanggal 1917---><!-- perhatikan volume jurnal diterbitkan pada tahun 1964, tetapi ulasan JFM dan teks artikelnya menggunakan tanggal 1917.--></ref><ref>{{cite journal | last = Nielsen | first = Jakob | author-link = Jakob Nielsen (mathematician) | title = On calculation with noncommutative factors and its application to group theory. (Translated from Danish) | journal = The Mathematical Scientist | volume = 6 (1981) | issue = 2 | pages = 73–85 | year = 1921 | ref = harv}}</ref><ref>{{cite journal | last = Nielsen | first = Jakob | author-link = Jakob Nielsen (mathematician) | title = Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen | journal = Mathematische Annalen | volume = 91 | issue = 3 | pages = 169–209 | year = 1924 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002269813&L=1 | doi = 10.1007/BF01556078 | ref = harv | access-date = 2020-12-07 | archive-date = 2016-03-05 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160305073827/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002269813&L=1 | dead-url = yes }}</ref> [[Max Dehn]] menyadari hubungannya dengan topologi, dan memperoleh bukti pertama dari [[teorema Nielsen–Schreier]] secara penuh.<ref>Lihat {{cite journal | last1 = Magnus | first1 = Wilhelm | authorlink1 = Wilhelm Magnus | last2 = Moufang | first2 = Ruth | authorlink2 = Ruth Moufang | title = Max Dehn zum Gedächtnis | journal = Mathematische Annalen | volume = 127 | issue = 1 | pages = 215–227 | year = 1954 | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002283808&L=1 | doi = 10.1007/BF01361121 | ref = harv | access-date = 2020-12-07 | archive-date = 2016-03-05 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160305072926/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=GDZPPN002283808&L=1 | dead-url = yes }}</ref> [[Otto Schreier]] published an algebraic proof of this result in 1927,<ref>{{cite journal | last = Schreier | first = Otto | author-link = Otto Schreier | title = Die Untergruppen der freien Gruppen | journal = Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg | volume = 5 | year = 1928 | pages = 161–183 | doi = 10.1007/BF02952517 | ref = harv}}</ref> dan [[Kurt Reidemeister]] memasukkan perawatan komprehensif kelompok bebas dalam bukunya tahun 1932 tentang [[topologi kombinatorial]].<ref>{{cite book | last = Reidemeister | first = Kurt | author-link = Kurt Reidemeister | title = Einführung in die kombinatorische Topologie | publisher = Wissenschaftliche Buchgesellschaft | date = 1972 (1932 original) | location = Darmstadt}}</ref> Kemudian pada tahun 1930-an, [[Wilhelm Magnus]] menemukan hubungan antara [[deret tengah bawah]] dari gruo bebas dan [[aljabar Lie bebas]].
Baris 19:
== Konstruksi ==
'''Grup bebas''' ''F<sub>S</sub>'' dengan '''genset bebas''' '' S '' dapat dibuat sebagai berikut. ''S'' adalah satu set simbol, dan kami anggap untuk setiap '' s '' di '' S '' ada simbol "invers" yang sesuai, ''s''<sup>−1</sup>, dalam satu himpunan ''S''<sup>−1</sup>. Karena ''T'' = ''S'' ∪ ''S''<sup>−1</sup>, dan tentukan '''[[kata (teori grup)
:<math>a b^3 c^{-1} c a^{-1} c\,</math>
adalah kata dalam '' S ''.
Baris 29:
Grup gratis '' F<sub> S </sub> '' didefinisikan sebagai grup dari semua kata tereduksi dalam '' S '', dengan [[rangkaian]] kata (diikuti dengan pengurangan jika perlu) sebagai grup operasi. Identitas adalah kata kosong.
Sebuah kata disebut '''berkurang secara siklis''' jika huruf pertama dan terakhirnya tidak saling bertolak belakang. Setiap kata [[Konjugasi kelas
== Sifat universal ==
Grup bebas ''F<sub>S</sub>'' adalah grup [[Universal (matematika)
[[Gambar:Free Group Universal.svg|center|100px]]
Artinya, homomorfisme ''F<sub>S</sub>'' → ''G'' berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan fungsi ''S'' → ''G''. Untuk grup yang tidak bebas, kehadiran [[presentasi grup
Untuk melihat bagaimana ini terkait dengan definisi konstruktif, pikirkan pemetaan dari '' S '' ke ''F<sub>S</sub>'' sebagai pengiriman setiap simbol ke kata yang terdiri dari simbol itu. Untuk membangun '' φ '' untuk yang diberikan {{mvar|f}}, catatan pertama bahwa '' φ '' mengirimkan kata kosong ke identitas '' G '' dan harus sesuai dengan {{mvar | f}} pada elemen '' S ''. Untuk sisa kata (terdiri dari lebih dari satu simbol), '' φ '' dapat diperpanjang secara unik, karena ini adalah homomorfisme, yaitu, ''φ''(''ab'') = ''φ''(''a'') ''φ''(''b'').
Baris 45:
{{further|Grup abelian bebas}}
[[Grup abelian bebas]] pada himpunan '' S '' didefinisikan melalui properti universal dengan cara yang analog, dengan modifikasi yang jelas:
Pertimbangkan pasangan ('' F '', '' φ ''), di mana '' F '' adalah grup abelian dan ''φ'': ''S'' → ''F'' adalah sebuah fungsi. '' F '' dikatakan sebagai '' 'grup abelian bebas di' 'S' 'sehubungan dengan ''φ'' jika untuk grup abelian '' G '' dan fungsi apa pun ''ψ'': ''S'' → ''G'', ada homomorfisme yang unik ''f'': ''F'' → ''G
:''f''(''φ''(''s'')) = ''ψ''(''s''), untuk '' s '' dalam '' S ''.
Baris 54:
== Masalah Tarski ==
Sekitar tahun 1945, [[Alfred Tarski]] bertanya apakah grup bebas pada dua atau lebih generator memiliki [[teori model
Sebuah pertanyaan serupa yang tidak terpecahkan (pada 2011) di [[teori probabilitas bebas]] menanyakan apakah [[aljabar grup von Neumann]] dari dua kelompok bebas yang dihasilkan tak terbatas non-abelian adalah isomorfik.
Baris 77:
|journal=Geom. Funct. Anal. |volume=16 |year=2006|issue= 3|pages= 707–730|ref=harv|mr=2238945 |doi=10.1007/s00039-006-0565-8}}
*[[Jean-Pierre Serre|Serre, Jean-Pierre]], ''Trees'', Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL<sub>2</sub>", 3rd edition, ''astérisque'' '''46''' (1983))
* P.J. Higgins, ''[http://doi.org/10.1112/jlms/s2-13.1.145 The fundamental groupoid of a graph of groups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230809151610/https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-13.1.145 |date=2023-08-09 }}'', [[Journal of the London Mathematical Society]] (2) '''13''' (1976), no. 1, 145–149.
* {{Cite book
| last=Aluffi
| |||