Wikipedia

Integral lipat: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Templat dengan kontrol karakter Unicode)
Nkhanaart (bicara | kontrib)
54 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(9 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Short description|Perumuman dari integral tentu terhadap fungsi variabel banyak}}
{{Kalkulus}}
{{Calculus |Multivariable}}
[[Berkas:Areabetweentwographs.svg|jmpl|ka|Integral sebagai luasan antara dua kurva]]
[[File:Areabetweentwographs.svg|thumb|right|Integral sebagai luasan antara dua kurva.]]
[[Berkas:Volume under surface.png|ka|jmpl|Integral lipat dua sebagai volume di bawah luasan&nbsp;<math>z= 10-\frac{x^2-y^2}{8}</math>. Daerah persegi panjang di dasar volume adalah domain integrasi, sedangkan permukaan adalah grafik fungsi dua variabel yang akan diintegrasikan.]]
[[File:Volume under surface.png|right|thumb|Integral lipat dua sebagai volume terhadap permukaan {{math|''z'' {{=}} 10 − {{sfrac|''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup>|8}}}}. Pada bagian bawah benda (di grafik tersebut), daerah berbentuk persegi panjang merupakan domain pengintegralan, sedangkan permukaannya merupakan integral dari grafik dari fungsi dua variabel.]]
 
Dalam [[matematika]] (khususnya dalam cabang [[kalkulus multivariabel]]), '''Integralintegral lipat''' adalah generalisasimerupakan [[integral tentu]] terhadapdari [[fungsi (matematika)|fungsi]]variabel beberapareal variabelbanyak]], contohnya seperti {{math|''f''(''x'',&nbsp; ''y'')}} or&nbsp;atau {{math|''f''(''x'',&nbsp; ''y'',&nbsp; ''z'')}}. Integral suatudari fungsi dua variabel terhadappada luasandaerah di '''R'''bidang [[garis bilangan real|bilangan real]] (<supmath>\mathbb{R}^2</supmath>) dinamakandisebut '''integral lipat dua''', dan integral dari fungsi tiga variabel pada volumedaerah '''R''''di ruang tiga dimensi bilangan real (<supmath>\mathbb{R}^3</supmath>) dinamakandisebut '''integral lipat tiga'''.<ref name= "Stewart">[[{{cite book |author-link=James Stewart (mathematician) |last=Stewart, |first=James]] (|date=2008). ''|title=Calculus: Early Transcendentals'', |edition=6th ed., |publisher=Brooks Cole Cengage Learning. ISBN |isbn=978-0-495-01166-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref>
 
== Pendahuluan Pengenalan==
SamaIntegral seperti integral pastitentu dari fungsi positif dari satu variabel yang mewakili [[luas]] dari daerah antara [[grafik fungsi]] dan sumbu-{{mvar|x}}. sumbuMirip dengan sebelumnya, '''integral lipat dua''' dari fungsi positif dua variabel mewakili [[volume]] dari wilayahdaerah antara permukaan yang ditentukandidefinisikan olehmelalui fungsi (padadi [[bidang Kartesius]] berdimensi tiga, dimensidengan {{math|''z'' {{=}} ''f''(''x'', ''y'')}}) dan bidang yang berisimemuat [[Domain fungsifungsinya|domain]] fungsinya. <ref name = "Stewart" /> BilaIntegral ada lebih banyak variabel, beberapa integrallipat akan menghasilkanmemberikan [[hipervolume]] dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.
 
IntegrasiPengintegralan bergandabanyak dari suatu fungsi didalam variabel {{mvar|n}} variabel: {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} di ataspada domain {{mvar|D}} paling seringbiasanya diwakili oleh tandasimbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan eksekusiyang terbalik (tanda integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), diikutiditunjukkan oleh argumen fungsi dan integrandargumen integran dalam urutan yang benarwajar (integral sehubungan denganpada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). TheDomain domainpengintegralannya of integration is baik diwakilimewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada setiap tandasimbol integral, atau disingkat denganoleh variabel di tandasimbol integral paling sebelah kanan:<ref>{{cite book|last1=Larson |last2=Edwards |date=2014 |title=KalkulusMultivariable MultivariabelCalculus |url=https://archive.org/details/multivariablecal0000lars |edition=10th |publisher=Cengage Learning |isbn= 978-1-285-08575-3}}</ref>
 
:<math> \int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>
 
Karena konsep [[antiturunan]] hanya didefinisikan untuk fungsi satu variabel nyata tunggalreal, definisi umum dari [[integral tak tentutaktentu]] biasanya tidak segeralangsung meluasmemperluas ke beberapaintegral intelipat.
 
== Definisi Matematikasecara matematis==
bagiUntuk {{math|''n'' > 1}}, pertimbangkan apa yang disebut "setengah terbuka"misalkan {{mvar|nT}} adalah domain ''[[Hiper-Persegi panjanghyperrectangle]]'' dimensiberdimensi {{mvar | Tn}}, dengan interval "setengah terbuka". Maka, secara matematis didefinisikan sebagai:
 
:<math>T= [ a_1, b_1) \times [ a_2, b_2) \times \cdots \times [ a_n, b_n) \subseteq \mathbf{R}^n.</math>
 
[[partisiPartisi (teori himpunan) | Partisi]] setiapmasing-masing interval {{mathMath|[''a''<sub>''j''</sub>'', ''b''</sub>''j''</sub>'')}} menjadidengan keluarga yang terbatashingga {{mvar|I<sub>j</sub>}} dari subinterval yang tidak tumpang tindihtak-bertindih {{mvar|i<sub>j<sub>α</sub></sub>}}, dengan setiapmasing-masing subinterval ditutuptertutup di ujungsebelah kiri, dan terbuka di ujungsebelah kanan. Maka, keluarga hingga dari ''subrectangle'' {{mvar|C}} yang dinyatakan sebagai
 
Kemudian keluarga terbatas sub-persegipanjang {{mvar|C}} diberikan oleh
 
:<math>C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n</math>
 
merupakan [[partisi (teori himpunan)|partitisi]] dari {{mvar|T}}. Dalam artian, ''subrectangle'' {{mvar|C<sub>k</sub>}} tak bertindih dan gabungan dari interval tersebut adalah {{mvar|T}}. Agar dapat menjelaskan lebih lanjut, misalkan {{math|''f'' : ''T'' → '''R'''}} adalah fungsi yang didefinisikan oleh {{mvar|T}}. Misalkan pula partisi {{mvar|C}} dari {{mvar|T}} seperti yang didefinsikan sebelumnya, sehingga {{mvar|C}} adalah keluarga dari ''subrectangle'' {{mvar|m}}, dinyatakan sebagai {{mvar|C<sub>m</sub>}}. Secara matematis, ditulis sebagai
adalah [[Partisi (teori himpunan)|partisi]] dari {{mvar|T}}; yaitu, sub-persegipanjang {{mvar|C<sub>k</sub>}} tidak tumpang tindih dan serikat mereka {{mvar|T}}.
 
Jika rumus {{math|''f'' : ''T'' → '''R'''}} menjadi fungsi yang didefinisikan pada {{mvar|T}}. Pertimbangkan partisi {{mvar|C}} dari {{mvar|T}} seperti yang didefinisikan di atas, seperti itu bahwa {{mvar|C}} adalah keluarga dari sub-persegi panjang {{mvar|m}} {{mvar|C<sub>m</sub>}} and
 
:<math>T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m</math>
 
KamiKita dapat memperkirakanmenghitung totalnyahampiran dari total volume berdimensi {{math|(''n'' + 1)}} volumedengan dimensibatas yangbawahnya dibatasiadalah di bawah oleh''hyperrectangle'' {{mvar|nT}} hyperrectangle dimensiberdimensi {{mvar|Tn}} dan dibatas atasnya olehadalah grafik {{mvar|nf}} grafik dimensiberdimensi {{mvar|fn}}. denganHal ini dapat ditunjukkan melalui [[jumlah Riemann]] berikut:
 
:<math>\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)</math>
 
<!--wheredengan {{mvar|P<sub>k</sub>}} isadalah atitik point indi {{mvar|C<sub>k</sub>}} anddan {{math|m(''C''<sub>''k''</sub>)}} ismerupakan thehasilkali productdari ofpanjang theinterval lengthsyang ofhasilkali theKartesius intervals whose Cartesian product isadalah {{mvar|C<sub>k</sub>}}, also knownjuga asdikenal thesebagai measureukuran ofdari {{mvar|C<sub>k</sub>}}.
 
The '''diameterDiameter''' of asuatu ''subrectangle'' {{mvar|C<sub>k</sub>}} ismerupakan thepanjang largestinterval ofpaling the lengths of the intervalsterbesar, whosedengan [[Cartesianhasilkali productCartesius]]nya isadalah {{mvar|C<sub>k</sub>}}. TheDiameter diameter of a given partitiondari ofpartisi {{mvar|T}} isyang defineddiberikan asdinyatakan thesebagai largestdiameter ofterpanjang thedari diameters''subrectangle'' ofdalam the subrectangles in the partitionpartisi. Intuitively,Secara asintuitif, theketika diameter ofdari the partitionpartisi {{mvar|C}} isdibatasi restrictedlebih smallerkecil anddan smaller,lebih thekecil numberlagi, ofjumlah subrectangles''subrectangle'' {{mvar|m}} getssemakin largerbesar, anddan the measureukuran {{math|m(''C''<sub>''k''</sub>)}} ofdari eachmasing-masing ''subrectangle'' growssemakin smallerkecil. The functionFungsi {{mvar|f}} is said to bedikatakan '''terintegralkan Riemann integrable''' if thejika [[limit (mathematics)|limit]]
 
:<math>S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)</math>
 
existsada, wheredengan thelimitnya limitmengambil issemua taken over all possible partitions ofpartisi {{mvar|T}} ofyang mungkin dari diameter at mostsetidaknya {{mvar|δ}}.<ref>{{cite book |last=Rudin |first=Walter |authorlinkauthor-link=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi |url-access=registration |series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |isbn=978-0-07-054235-8}}</ref>
 
IfJika {{mvar|f}} isadalah Riemannterintegralkan integrableRiemann, maka {{mvar|S}} is called thedisebut '''integral Riemann integral''' ofdari {{mvar|f}} overpada {{mvar|T}} anddan isdinyatakan denotedsebagai
 
:<math> \int \cdots \int_T\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>
 
atau bentuk integral di atas seringkali disingkat sebagai
Frequently this notation is abbreviated as
 
: <math>\int_T\!f(\mathbf{x})\,d^n\mathbf{x}.</math>
 
wheredengan {{math|'''x'''}} represents the {{mvar|n}}-tuplemewakili {{math|(''x''<sub>1</sub>, ...&hellip;, ''x<sub>n</sub>'')}} andkelipatan {{mvar|n}} dan {{math|''d''{{isup|''n''}}'''x'''}} is the {{math|n}}-dimensional volumemerupakan [[DifferentialDiferensial (infinitesimal)|differentialdiferensial]] volume berdimensi {{mvar|n}}.
 
[[Integral Riemann]] suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi {{mvar|n}} dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.
The Riemann integral of a function defined over an arbitrary bounded {{math|n}}-dimensional set can be defined by extending that function to a function defined over a half-open rectangle whose values are zero outside the domain of the original function. Then the integral of the original function over the original domain is defined to be the integral of the extended function over its rectangular domain, if it exists.
 
In what follows theIntegral Riemann integral inberdimensi {{mathmvar|n}} dimensions will be called thedisebut '''multiple integral lipat'''.-->
 
=== Properti Sifat-sifat===
Integral berganda memilikiAda banyak sifat integral lipat yang sama dengan sifat integral dari fungsi satu variabel (linieritasseperti linearitas, komutatifkomutitativitas, monotonitaskemonotonan, dan seterusnya)sebagainya. SalahSifat satu sifatyang penting dari banyakmengenai integral lipat adalah bahwa nilai suatu integral tidakadalah bergantungbebas padadari urutan integralintegran dalamterhadap kondisisyarat-syarat tertentu. PropertiSifat populer ini dikenal sebagai [[Teoremateorema Fubini]].<ref name="a">{{cite book|last=Jones |first=Frank |date=2001 |title=Integrasi Lebesgue diIntegration on RuangEuclidean EuklidesSpace |url=https://archive.org/details/lebesgueintegrat00jone_950 |url-access=limited |publisher=Jones and Bartlett |pages=[https://archive.org/details/lebesgueintegrat00jone_950/page/n546 527]–529 |isbn=}}{{ISBN missing}}</ref>
 
=== Kasus tertentu istimewa===
Ada berbagai kasus istimewa terkait dengan integral lipat. '''Integral lipat dua''' dari {{mvar|f}} di {{mvar|T}} ditulis
Dalam kasus {{math|''T'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup>}}, integral
 
:<math> l = \iint_T f(x,y)\, dx\, dy </math>
 
adalahuntuk kasus {{nowrap|<math>T \subseteq \R^2</math>,}} sedangkan '''integral gandalipat tiga''' dari {{mvar|f}} padadi {{mvar|T}}, dan jika {{math|''T'' ⊆ '''R'''<sup>3</sup>}} the integralditulis
 
:<math> l = \iiint_T f(x,y,z)\, dx\, dy\, dz</math>
 
untuk kasus <math>T \subseteq \R^3</math>.
adalah '''integral tripel''' dari {{mvar|f}} pada {{mvar|T}}.
 
Perhatikan bahwa, menurut kesepakatankonvensi, integral lipat ganda memilikimempunyai dua tanda integral, dansedangkan integral rangkaplipat tiga memilikimempunyai tiga; ini adalah ketentuan notasi yang berguna saat menghitungtanda integral berganda sebagai integral iterasi, seperti yang ditunjukkan nanti di artikel ini.
 
==Metode-metode pengintegralan==
== Perubahan variabel ==
Pada beberapa kasus, penyelesaian masalah terkait dengan integral lipat melibatkan sebuah pencarian mengenai cara untuk mereduksi integral lipat menjadi [[integral teriterasi]], sebuah deret dari integral satu variabel, yang masing-masing integral dapat diselesaikan langsung. Namun, hal ini dibenarkan melalui [[teorema Fubini]], asalkan fungsinya [[Fungsi kontinu|kontinu]]. Terkadang metode ini dapat memperoleh hasil pengintegralan dengan menguji langsung tanpa melakukan perhitungan apapun.
{{See also|Integral dengan substitusi#Substitusi untuk beberapa variabel}}
 
Berikut adalah beberapa contoh-contoh terkait metode-metode pengintegralan:<ref name="Stewart" />
Batasan integral seringkali tidak mudah dipertukarkan (tanpa normalitas atau dengan formula kompleks untuk diintegrasikan). Seseorang membuat [[perubahan variabel]] untuk menulis ulang integral di wilayah yang lebih "nyaman", yang dapat dijelaskan dalam rumus yang lebih sederhana. Untuk melakukannya, fungsinya harus disesuaikan dengan koordinat baru.
 
===Fungsi konstan integran===
<blockquote>'''Contoh 1a.''' Fungsinya adalah {{math|''f''(''x'', ''y'') {{=}} (''x'' − 1)<sup>2</sup> + {{sqrt|''y''}}}}; jika seseorang mengadopsi substitusi {{math|''x''′ {{=}} ''x'' − 1}}, {{math|''y''′ {{=}} ''y''}} karena itu {{math|''x'' {{=}} ''x''′ + 1}}, {{math|''y'' {{=}} ''y''′}} seseorang mendapatkan fungsi baru {{math|''f''<sub>2</sub>(''x'', ''y'') {{=}} (''x''′)<sup>2</sup> + {{sqrt|''y''}}}}.</blockquote>
Ketika integrannya adalah [[fungsi konstan]] {{mvar|c}}, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari {{mvar|c}} dan ukuran domain pengintegralan. Jika {{math|1=''c'' = 1}} dan domainnya merupakan subdaerah dari {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, maka integral memberikan volume daerah.
* Begitu pula untuk domain karena dibatasi oleh variabel asli yang diubah sebelumnya ({{mvar|x}} and {{mvar|y}} contohnya).
<blockquote>'''Contoh.''' Misalkan {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 2}} dan
* perbedaan {{mvar|dx}} dan {{mvar|dy}} mentransformasikan melalui nilai absolut [[matriks dan determinan Jacobian|
determinan matriks Jacobian]] yang berisi turunan parsial transformasi terkait variabel baru (pertimbangkan, sebagai contoh, transformasi diferensial dalam koordinat kutub).
 
:<math>D = \left\{ (x,y) \in \R^2 \ : \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \right\}</math>
Ada tiga "jenis" utama dari perubahan variabel (one in {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, two di {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}); namun, substitusi yang lebih umum dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip yang sama.
 
maka integral darinya adalah
<!--[Dalam pengembangan]====Polar coordinates====
 
:<math>\int_3^6 \int_2^4 \ 2 \ dx\, dy =2\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy= 2\cdot\operatorname{luas}(D) = 2 \cdot (2 \cdot 3) = 12,</math>
 
karena menurut definisi, diperoleh:
 
:<math>\int_3^6 \int_2^4 \ 1 \ dx\, dy=\operatorname{luas}(D).</math></blockquote>
 
===Metode menggunakan simetri===
Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]] terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki [[Nilai absolut|nilai mutlak]] yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi genap]] terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.
 
<blockquote>'''Contoh 1.''' Tinjau fungsi {{math|1=''f''(''x'',''y'') = 2 sin(''x'') − 3''y''<sup>3</sup> + 5}} diintegralkan pada domain
 
:<math>T=\left \{ ( x,y) \in \R^2 \ : \ x^2+y^2\le 1 \right \},</math>
 
sebuah cakram [[Jari-jari|berjari-jari]] 1 yang berpusat di titik asalnya dengan batas yang ditentukan.
 
Dengan menggunakan sifat linearitas, integral dari fungsi tersebut dapat diurai menjadi tiga bagian integral:
 
:<math>\iint_T \left(2\sin x - 3y^3 + 5\right) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy</math>
 
Fungsi {{math|2 sin(''x'')}} adalah fungsi ganjil di variabel {{mvar|x}} dan cakram {{mvar|T}} simetri terhadap sumbu-{{mvar|y}}, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi {{math|3''y''<sup>3</sup>}} adalah fungsi ganjil dari{{mvar|y}}, dan {{mvar|T}} simetri terhadap sumbu-{{mvar|x}}, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5''{{pi}}''.</blockquote>
 
<blockquote>'''Contoh 2.''' Tinjau fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = ''x'' exp(''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>)}} dan ketika mengintegralkan daerah [[Bola (matematika)|bola]] berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
:<math>T = \left \{ ( x,y, z) \in \R^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 \le 4 \right \},</math>
maka "bola" tersebut simetri dengan tiga sumbu. Namun, hal ini cukup mengintegralkannya terhadap sumbu-{{mvar|x}} untuk memperlihatkan bahwa hasilnya adalah 0, karena fungsinya adalah ganjil dari variabel tersebut.</blockquote>
 
<!-- ===Domain normal di {{math|R<sup>2</sup>}}===
{{See also|Urutan pengintegralan (kalkulus)}}
 
Metode ini dapat berlaku untuk setiap domain {{mvar|D}}, asalkan
* [[Proyeksi ortografi|proyeksi]] dari {{mvar|D}} ke sumbu-{{mvar|x}} atau sumbu-{{mvar|y}} dibatasi oleh nilai {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}; dan
* setiap garis yang tegak lurus dengan sumbu tersebut yang melalui antara dua nilai tersebut memotong domain dalam suatu interval, yang titik akhirnya dinyatakan sebagai grafik dari dua fungsi, {{mvar|α}} and {{mvar|β}}.
Domain {{mvar|D}} disebut ''domain normal''. Namun, beberapa literatur di tempat lain yang mengatakan bahwa domain normal terkadang disebut domain jenis I atau jenis II domain, tergantung sumbu domain manakah yang berserabut. Biasanya, fungsi yang diintegralkan harus terintegralkan Riemann pada domain, karena hal ini benar jika (misalkan) fungsinya adalah kontinu.
 
====Domain normal terhadap sumbu-{{mvar|x}}====
Jika domain {{mvar|D}} normal terhadap sumbu-{{mvar|x}} dan {{math|''f'' : ''D'' → '''R'''}} adalah [[fungsi kontinu]], maka {{math|''α''(''x'')}} dan {{math|''β''(''x'')}} (yang dinyatakan pada interval {{math|[''a'', ''b'']}}) merupakan dua fungsi yang menentukan domain {{mvar|D}}. Maka, menurut teorema Fubini:<ref>{{Cite book|title=Calculus, 8th Edition|last=Stewart|first=James|publisher=Cengage Learning|isbn=978-1285740621|date=2015-05-07}}</ref>
:<math>\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = \int_a^b dx \int_{ \alpha (x)}^{ \beta (x)} f(x,y)\, dy.</math>
 
====Domain normal terhadap sumbu-{{mvar|y}}====
Jika domain {{mvar|D}} normal terhadap sumbu-{{mvar|y}} dan {{math|''f'' : ''D'' → '''R'''}} adalah fungsi kontinu, maka {{math|''α''(''y'')}} dan {{math|''β''(''y'')}} (yang dinyatakan pada {{math|[''a'', ''b'']}})) merupakan dua fungsi yang menentukan domain {{mvar|D}}. Lagi, maka menurut teorema Fubini:
 
:<math>\iint_D f(x,y)\, dx\, dy = \int_a^b dy \int_{\alpha (y)}^{ \beta (y)} f(x,y)\, dx.</math>
 
====Domain normal di {{math|R<sup>3</sup>}}====
Jika {{mvar|T}} domain yang normal terhadap bidang-{{mvar|xy}} dan ditentnukan melalui fungsi {{math|''α''(''x'', ''y'')}} dan {{math|''β''(''x'', ''y'')}}, maka
 
:<math>\iiint_T f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iint_D \int_{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)} f(x,y,z) \, dz\, dx\, dy</math>
 
This definition is the same for the other five normality cases on {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. It can be generalized in a straightforward way to domains in {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}.
 
===Mengubah variabel===
{{See also|Integral substitusi#Substitusi untuk variabel banyak}}
 
Batas pengintegralan acapkali tidak dapat diubah dengan mudah (tanpa adanya normalitas atau dengan rumus yang bentuknya kompleks untuk diintegralkan). Rumus dengan bentuk yang kompleks dapat ditulis ulang menjadi integral dalam daerah yang lebih "enak" untuk dilihat dengan cara [[Perubahan variabel|mengubah variabel]]<nowiki/>nya. Untuk melakukannya, fungsi harus beradopsi dengan koordinat baru.
 
<blockquote>'''Contoh 1a.''' Fungsi adalah {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = (''x'' − 1)<sup>2</sup> + {{sqrt|''y''}}}}, jika ia adopsi substitusi variabel {{math|1=''u'' = ''x'' − 1}} dan {{math|1=''v'' = ''y''}} menjadi {{math|1=''x'' = ''u'' + 1}}, {{math|1=''y'' = ''v''}}. Jadi, diperoleh fungsi baru, yaitu {{math|1=''f''<sub>2</sub>(''u'', ''v'') = (''u'')<sup>2</sup> + {{sqrt|''v''}}}}.</blockquote>
* Hal ini mirip dengan domain karena dibatasi oleh variabel asli yang diubah sebelumnya ({{mvar|x}} and {{mvar|y}} contohnya).
* Diferensial {{mvar|dx}} dan {{mvar|dy}} transformasi melalui nilai mutlak dari [[matriks dan determinan Jacobi|
determinan matriks Jacobi]] yang memuat turunan parsial dari transformasi terkait variabel baru (misalkan, sebagai contoh, transformasi diferensial dalam koordinat polar).
 
Ada tiga "jenis" utama dalam mengubah variabel (satu di antaranya di {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, dua di antaranya di {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}). Namun, substitusi pada umumnya dapat dilakukan menggunakan prinsip yang sama.
 
====Polar coordinates====
{{See also|Polar coordinate system}}
[[File:Passaggio in coordinate polari.svg|thumb|270px|right|Transformation from cartesian to polar coordinates.]]
Baris 94 ⟶ 153:
:<math>f(x,y) \rightarrow f(\rho \cos \varphi,\rho \sin \varphi ).</math>
 
<blockquote>'''Example 2a.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x'' + ''y''}} and applying the transformation one obtains
:<math>f(\rho, \varphi) = \rho \cos \varphi + \rho \sin \varphi = \rho(\cos \varphi + \sin \varphi ).</math></blockquote>
 
<blockquote>'''Example 2b.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}, in this case one has:
:<math>f(\rho, \varphi) = \rho^2 \left(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi\right) = \rho^2</math>
using the [[Pythagorean trigonometric identity]] (very useful to simplify this operation).</blockquote>
Baris 104 ⟶ 163:
[[File:Esempio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg|thumb|230px|right|Example of a domain transformation from cartesian to polar.]]
 
<blockquote>'''Example 2c.''' The domain is {{math|1=''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 4}<nowiki>}</nowiki>}}, that is a circumference of radius 2; it's evident that the covered angle is the circle angle, so {{mvar|φ}} varies from 0 to 2{{pi}}, while the crown radius varies from 0 to 2 (the crown with the inside radius null is just a circle).</blockquote>
 
<blockquote>'''Example 2d.''' The domain is {{math|1=''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≥ 4, ''y'' ≥ 0}<nowiki>}</nowiki>}}, that is the circular crown in the positive {{mvar|y}} half-plane (please see the picture in the example); {{mvar|φ}} describes a plane angle while {{mvar|ρ}} varies from 2 to 3. Therefore the transformed domain will be the following [[rectangle]]:
 
:<math>T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le \pi \}.</math>
Baris 114 ⟶ 173:
:<math>\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \varphi)} = \begin{vmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{vmatrix} = \rho</math>
 
which has been obtained by inserting the partial derivatives of {{math|1=''x'' {{=}} ''ρ'' cos(''φ'')}}, {{math|1=''y'' {{=}} ''ρ'' sin(''φ'')}} in the first column respect to {{mvar|ρ}} and in the second respect to {{mvar|φ}}, so the {{mvar|dx dy}} differentials in this transformation become {{mvar|ρ dρ dφ}}.
 
Once the function is transformed and the domain evaluated, it is possible to define the formula for the change of variables in polar coordinates:
Baris 120 ⟶ 179:
:<math>\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) \rho \, d \rho\, d \varphi.</math>
 
{{mvar|φ}} is valid in the {{mathclosed-closed|[0, 2π]}} interval while {{mvar|ρ}}, which is a measure of a length, can only have positive values.</blockquote>
 
<blockquote>'''Example 2e.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'') {{=}} ''x''}} and the domain is the same as in Example 2d. From the previous analysis of {{mvar|D}} we know the intervals of {{mvar|ρ}} (from 2 to 3) and of {{mvar|φ}} (from 0 to {{pi}}). Now we change the function:
 
:<math>f(x,y) = x \longrightarrow f(\rho,\varphi) = \rho \cos \varphi.</math>
Baris 141 ⟶ 200:
The domain transformation can be graphically attained, because only the shape of the base varies, while the height follows the shape of the starting region.
 
<blockquote>'''Example 3a.''' The region is {{math|1=''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≥ 4, 0 ≤ ''z'' ≤ 5}<nowiki>}</nowiki>}} (that is the "tube" whose base is the circular crown of Example 2d and whose height is 5); if the transformation is applied, this region is obtained:
:<math>T = \{ 2 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ 0 \le z \le 5 \}</math>
(that is, the parallelepiped whose base is similar to the rectangle in Example 2d and whose height is 5).
Baris 153 ⟶ 212:
This method is convenient in case of cylindrical or conical domains or in regions where it is easy to individuate the ''z'' interval and even transform the circular base and the function.</blockquote>
 
<blockquote>'''Example 3b.''' The function is {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''}} and as integration domain this [[cylinder (geometry)|cylinder]]: {{math|1=''D'' {{=}} {''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> ≤ 9, −5 ≤ ''z'' ≤ 5 }<nowiki>}</nowiki>}}. The transformation of {{mvar|D}} in cylindrical coordinates is the following:
 
:<math>T = \{ 0 \le \rho \le 3, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ -5 \le z \le 5 \}.</math>
Baris 178 ⟶ 237:
The better integration domain for this passage is the sphere.
 
<blockquote>'''Example 4a.''' The domain is {{math|1=''D'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> ≤ 16}} (sphere with radius 4 and center at the origin); applying the transformation you get the region
:<math>T = \{ 0 \le \rho \le 4, \ 0 \le \varphi \le \pi, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \}.</math>
 
Baris 202 ⟶ 261:
In the following examples the roles of {{mvar|φ}} and {{mvar|θ}} have been reversed.
 
<blockquote>'''Example 4b.''' {{mvar|D}} is the same region as in Example 4a and {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>}} is the function to integrate. Its transformation is very easy:
 
:<math>f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) = \rho^2,</math>
Baris 222 ⟶ 281:
:<math>D = \left \{ x^2 + y^2 + z^2 \le 9a^2 \right \}</math>
 
and {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}} is the function to integrate.
 
Looking at the domain, it seems convenient to adopt the passage to spherical coordinates, in fact, the intervals of the variables that delimit the new {{mvar|T}} region are obviously:
Baris 230 ⟶ 289:
However, applying the transformation, we get
 
:<math>f(x,y,z) = x^2 + y^2 \longrightarrow \rho^2 \sin^2 \theta \cos^2 \varphi + \rho^2 \sin^2 \theta \sin^2 \varphi = \rho^2 \sin^2 \theta.</math>.
 
Applying the formula for integration we obtain:
Baris 236 ⟶ 295:
:<math>\iiint_T \rho^2 \sin^2 \theta \rho^2 \sin \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi</math>
 
which can be solved by turning it into an iterated integral.
which is very hard to solve. This problem will be solved by using the passage to cylindrical coordinates. The new {{mvar|T}} intervals are
 
<math>\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \underbrace{\int_0^{3a}\rho^4 d\rho}_{I} \,\underbrace{\int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta}_{II}\, \underbrace{\int_0^{2\pi} d \varphi}_{III}</math>.
 
<math>I = \left.\int_0^{3a}\rho^4 d\rho = \frac{\rho^5}{5}\right\vert_0^{3a} = \frac{243}{5}a^5</math>,
 
<math>II = \int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = -\int_0^\pi \sin^2\theta \, d(\cos \theta) = \int_0^\pi (\cos^2\theta-1) \, d(\cos \theta) = \left.\frac{\cos^3\theta}{3}\right|^\pi_0 - \left.\cos\theta\right|^\pi_0 = \frac{4}{3}</math>,
 
<math>III = \int_0^{2\pi} d \varphi = 2\pi</math>.
 
 
Collecting all parts,
 
<math>\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = I\cdot II\cdot III = \frac{243}{5}a^5\cdot \frac{4}{3}\cdot 2\pi = \frac{648}{5}\pi a^5</math>.
 
 
Alternatively, this problem can be solved by using the passage to cylindrical coordinates. The new {{mvar|T}} intervals are
 
:<math>T=\left\{0 \le \rho \le 3a, \ 0 \le \varphi \le 2 \pi, \ - \sqrt{9a^2 - \rho^2} \le z \le \sqrt{9a^2 - \rho^2}\right\};</math>
Baris 256 ⟶ 331:
Thanks to the passage to cylindrical coordinates it was possible to reduce the triple integral to an easier one-variable integral.</blockquote>
 
See also the differential volume entry in [[nabla in cylindrical and spherical coordinates]]. -->
 
== Contoh ==
 
=== Integral ganda di atas persegi panjang ===
Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel {{mvar|f}} di suatu wilayah {{mvar|A}}:
Baris 322 ⟶ 396:
=== Menghitung volume ===
Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.
* '''[[Tabung (geometri)|Tabung]]''': Volume silindertabung dengan tinggi {{mvar|h}} dan dasar lingkaran jari-jari {{mvar|R}} dapat dihitung dengan mengintegrasikan fungsi konstanta {{mvar|h}} di atas alas lingkaran, menggunakan koordinat kutub.
::<math>\mathrm{Volume} = \int_0^{2\pi} d \varphi\, \int_0^R h \rho \, d \rho = 2 \pi h \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^R = \pi R^2 h</math>
 
Baris 348 ⟶ 422:
&= \frac{\ell^3}{3} - \frac{\ell^3}{6} = \frac{ \ell^3}{6}\end{align}</math>
 
:Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah [[piramidpiramida]]
 
::<math>\mathrm{Volume} = \frac13 \times \text{luas dasar} \times \text{tinggi} = \frac13 \times \frac{\ell^2}{2} \times \ell = \frac{ \ell^3}{6}.</math>
Baris 355 ⟶ 429:
 
== Beberapa integral tak wajar ==
Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan '''double [[integral tidak tepat]] rangkap dua''' atau '''integral tidak tepat rangkap tiga'''.
 
== Lihat pula ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Integral_lipat"