Integral lipat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) memperbaiki alihbahasa |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (8 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Perumuman dari integral tentu terhadap fungsi variabel banyak}}
{{Calculus |Multivariable}}
[[File:Areabetweentwographs.svg|thumb|right|Integral sebagai
[[File:Volume under surface.png|right|thumb|Integral lipat dua sebagai volume terhadap permukaan {{math|''z'' {{=}} 10 − {{sfrac|''x''<sup>2</sup> − ''y''<sup>2</sup>|8}}}}. Pada bagian bawah benda (di grafik tersebut), daerah berbentuk persegi panjang merupakan domain pengintegralan, sedangkan permukaannya merupakan integral dari grafik dari fungsi dua variabel.]]
Dalam [[matematika]] (khususnya dalam cabang [[kalkulus multivariabel]]), '''integral lipat''' merupakan [[integral tentu]] dari [[fungsi variabel real banyak]], contohnya seperti {{math|''f''(''x'', ''y'')}} atau {{math|''f''(''x'', ''y'', ''z'')}}. Integral dari fungsi dua
==Pengenalan==
Integral tentu dari fungsi positif satu variabel yang mewakili [[luas]] daerah antara [[grafik fungsi]] dan sumbu-{{mvar|x}}. Mirip dengan sebelumnya, '''integral lipat dua''' dari fungsi positif dua variabel mewakili [[volume]] daerah antara permukaan yang didefinisikan melalui fungsi (di [[bidang Kartesius]] berdimensi tiga, dengan {{math|''z'' {{=}} ''f''(''x'', ''y'')}}) dan bidang yang memuat [[Domain fungsinya|domain]] fungsinya.<ref name = "Stewart" /> Integral lipat akan memberikan [[hipervolume]] dari fungsi multidimensi jika ada banyaknya variabel.
Pengintegralan banyak dari fungsi dalam variabel {{mvar|n}}: {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} pada domain {{mvar|D}} biasanya diwakili oleh simbol integral bersarang yang dihitung dalam urutan yang terbalik (integral paling sebelah kiri dihitung terakhir), ditunjukkan oleh fungsi dan argumen integran dalam urutan wajar (integral pada argumen paling sebelah kanan dihitung terakhir). Domain pengintegralannya mewakili secara simbolis untuk setiap argumen pada simbol integral, atau disingkat oleh variabel di simbol integral paling sebelah kanan:<ref>{{cite book|last1=Larson |last2=Edwards |date=2014 |title=Multivariable Calculus |url=https://archive.org/details/multivariablecal0000lars |edition=10th |publisher=Cengage Learning |isbn= 978-1-285-08575-3}}</ref>
:<math> \int \cdots \int_\mathbf{D}\, f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \,dx_1 \!\cdots dx_n </math>
Baris 16:
==Definisi secara matematis==
Untuk {{math|''n'' > 1}}, misalkan {{mvar|T}} adalah domain ''[[
:<math>T= [ a_1, b_1) \times [ a_2, b_2) \times \cdots \times [ a_n, b_n) \subseteq \R^n.</math>
Baris 50:
dengan {{math|'''x'''}} mewakili {{math|(''x''<sub>1</sub>, …, ''x<sub>n</sub>'')}} kelipatan {{mvar|n}} dan {{math|''d''{{isup|''n''}}'''x'''}} merupakan [[Diferensial (infinitesimal)|diferensial]] volume berdimensi {{mvar|n}}.
[[Integral Riemann]] suatu fungsi yang didefinsikan pada batas sembarang himpunan berdimensi {{mvar|n}} dapat didefinisikan dengan memperluas fungsi tersebut menjadi sebuah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang setengah terbuka, dengan nilainya nol berada di luar domain fungsi aslinya. Maka, integral dari fungsi asli pada domain asli dinyatakan menjadi integral dari fungsi yang diperluas pada domain berupa persegi panjang, jika ada.
Integral Riemann berdimensi {{mvar|n}} disebut '''integral lipat'''.
Baris 76:
===Fungsi konstan integran===
Ketika integrannya adalah [[fungsi konstan]] {{mvar|c}}, integral dari fungsi tersebut sama dengan hasil kali dari {{mvar|c}} dan ukuran domain pengintegralan. Jika {{math|1=''c'' = 1}} dan domainnya merupakan subdaerah dari {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, maka integral memberikan luas daerah. Namun jika domainnya merupakan subdaerah dari {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, maka integral memberikan volume daerah.
<blockquote>'''Contoh.''' Misalkan {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 2}} dan
Baris 90:
===Metode menggunakan simetri===
Ketika domain pengintegralan adalah simetri terhadap asalnya, yang terhadap salah satu variabel pengintegralan, dan integran adalah [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi ganjil]] terhadap variabel tersebut, maka integralnya sama dengan nol, ketika integral pada dua bagian domain memiliki [[Nilai absolut|nilai mutlak]] yang sama, namun dengan tanda yang berlawanan. Ketika integran adalah [[Fungsi ganjil dan genap|fungsi genap]] terhadap variabel tersebut, maka integralnya dua kali integral pada satu bagian domain, ketika integral pada dua bagian domain adalah sama.
<blockquote>'''Contoh 1.''' Tinjau fungsi {{math|1=''f''(''x'',''y'') = 2 sin(''x'') − 3''y''<sup>3</sup> + 5}} diintegralkan pada domain
Baris 102:
:<math>\iint_T \left(2\sin x - 3y^3 + 5\right) \, dx \, dy = \iint_T 2 \sin x \, dx \, dy - \iint_T 3y^3 \, dx \, dy + \iint_T 5 \, dx \, dy</math>
Fungsi {{math|2 sin(''x'')}} adalah fungsi ganjil di variabel {{mvar|x}} dan cakram {{mvar|T}} simetri terhadap sumbu-{{mvar|y}}, sehingga nilai dari integral pertama adalah 0. Mirip contoh sebelumnya, fungsi {{math|3''y''<sup>3</sup>}} adalah fungsi ganjil dari{{mvar|y}}, dan {{mvar|T}} simetri terhadap sumbu-{{mvar|x}}, dan seterusnya hingga mencapai hasil akhir, yaitu nilai dari integral ketiga. Jadi, integral aslinya sama dengan 5 kalinya dari luas cakram, yaitu 5''{{pi}}''.</blockquote>
<blockquote>'''Contoh 2.''' Tinjau fungsi {{math|1=''f''(''x'', ''y'', ''z'') = ''x'' exp(''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup>)}} dan ketika mengintegralkan daerah [[Bola (matematika)|bola]] berjari-jari 2, yang berpusat di titik asli,
Baris 296:
which can be solved by turning it into an iterated integral.
<math>\iiint_T \rho^4 \sin^3 \theta \, d\rho\, d\theta\, d\varphi = \underbrace{\int_0^{3a}\rho^4 d\rho}_{I} \,\underbrace{\int_0^\pi \sin^3\theta\,d\theta}_{II}\, \underbrace{\int_0^{2\pi} d \varphi}_{III}</math>.
Baris 335 ⟶ 334:
== Contoh ==
=== Integral ganda di atas persegi panjang ===
Mari kita asumsikan bahwa kita ingin mengintegrasikan fungsi multivariabel {{mvar|f}} di suatu wilayah {{mvar|A}}:
Baris 398 ⟶ 396:
=== Menghitung volume ===
Menggunakan metode yang dijelaskan sebelumnya, dimungkinkan untuk menghitung volume beberapa padatan umum.
* '''[[Tabung (geometri)|Tabung]]''': Volume
::<math>\mathrm{Volume} = \int_0^{2\pi} d \varphi\, \int_0^R h \rho \, d \rho = 2 \pi h \left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^R = \pi R^2 h</math>
Baris 424 ⟶ 422:
&= \frac{\ell^3}{3} - \frac{\ell^3}{6} = \frac{ \ell^3}{6}\end{align}</math>
:Hal ini sesuai dengan rumus volume sebuah [[
::<math>\mathrm{Volume} = \frac13 \times \text{luas dasar} \times \text{tinggi} = \frac13 \times \frac{\ell^2}{2} \times \ell = \frac{ \ell^3}{6}.</math>
Baris 431 ⟶ 429:
== Beberapa integral tak wajar ==
Dalam kasus domain tidak terikat atau fungsi tidak terikat di dekat batas domain, kita harus memperkenalkan '''
== Lihat pula ==
| |||