Grup terbangkit terbatas: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (2 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Periksa terjemahan|en|Boundedly generated group}}
Dalam [[matematika]], [[grup (matematika)|grup]] disebut '''terbangkit terbatas''' jika dapat dinyatakan sebagai
== Definisi ==
Grup ''G'' disebut ''terbangkit terbatas'' jika terdapat bilangan bagian
: <math>g = s_1^{k_1} \cdots s_m^{k_m},</math>
Himpunan hingga ''S'' menghasilkan ''G'', jadi grup
Definisi
== Sifat ==
Baris 19 ⟶ 20:
* [[Grup torsi]] [[Grup terbangkit hingga|terbangkit terbatas]] tetap ''berhingga'' jika itu merupakan terbangkit terbatas; secara ekuivalen, grup torsi terbangkit terbatas-''tak hingga'' bukan merupakan terbangkit terbatas.
Sebuah ''karakter semu'' pada grup diskrit ''G'' didefinisikan sebagai fungsi bernilai [[bilangan real|real]]
:''f''(''gh'') − ''f''(''g'') − ''f''(''h'') adalah terbatas seragam dan ''f''(''g''<sup>''n''</sup>) = ''n''·''f''(''g'').
Baris 25 ⟶ 26:
== Contoh ==
* Jika ''n'' ≥ 3, maka grup SL<sub>''n''</sub>('''Z''') yang merupakan terbangkit terbatas
*
* Grup SL<sub>2</sub>('''Z''') bukan merupakan terbangkit terbatas, karena berisi subgrup bebas dengan dua generator indeks 12.
*
== Grup bebas yang bukan merupakan terbangkit secara terbatas ==
Karena untuk setiap ''n'' ≥ 2, [[grup bebas]] pada ''2 generator'' F<sub>2</sub> berisi sebagai grup bebas pada
===
Karena generasi terbatas dipertahankan di bawah pengambilan gambar homomorfik, jika satu grup yang terbangkit hingga dengan setidaknya dua generator diketahui bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk grup bebas pada jumlah generator yang sama, dan karenanya untuk semua grup bebas. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada gugus bebas (non-siklik) yang memiliki terbangkit terbatas, maka cukup untuk menghasilkan satu contoh dari grup terbangkit hingga yang bukan terbangkit secara terbatas, dan [[grup torsi]] tak hingga yang terbangkit secara terbatas akan berfungsi. Keberadaan grup tersebut merupakan solusi negatif [[Teorema Gold-Shafarevich|Golod dan Shafarevich]] dari [[Masalah Burnside|masalah Burnside umum]] pada tahun 1964; kemudian, contoh eksplisit lain dari grup torsi terbangkit hingga secara tak hingga dikembangkan oleh Aleshin, Olshanskii, dan Grigorchuk yang menggunakan [[teori automata|automata]]. Akibatnya, grup bebas peringkat setidaknya dua bukan termasuk terbangkit secara terbatas.
Baris 43 ⟶ 44:
: log ''M''(''n'') ≤ ''n''/''e''
===Geometri hiperbolik===
Baris 72 ⟶ 73:
dalam generator dan kebalikannya. Ini memberikan pemadatan alami dari [[pohon (teori graf)|pohon]] yang diberikan oleh [[grafik Cayley]] sehubungan dengan generator. Urutan kata semi-ketakhinggaan konvergen ke kata lain yang serupa asalkan segmen awal sependapat setelah tahap tertentu, sehingga ''X'' salah satu kompak (dan [[termetrikkan]]). Grup bebas bertindak dengan perkalian kiri pada kata-kata semi-ketakhinggaan. Selain itu, setiap elemen ''g'' pada F<sub>''n''</sub> memiliki tepat dua titik tetap ''g''<sup> ±∞</sup>, yaitu kata-kata ketakhinggaan tereduksi yang diberikan oleh batas ''g''<sup> ''n''</sup> sebagai ''n'' cenderung ±∞. Selain itu, ''g''<sup> ''n''</sup>·''w'' cenderung ''g''<sup> ±∞</sup> karena ''n'' cenderung ±∞ untuk kata semi-ketakhinggaan ''w''; dan lebih umum jika ''w''<sub>''n''</sub> cenderung ''w'' ≠ ''g''<sup> ±∞</sup>, lalu ''g''<sup> ''n''</sup>·''w''<sub>''n''</sub> cenderung ''g''<sup> +∞</sup> sebagai ''n'' cenderung ∞.
Jika F<sub>''n''</sub> terbangkit secara hingga dapat ditulis sebagai produk dari grup siklik C<sub>''i''</sub> dihasilkan oleh elemen ''h''<sub>''i''</sub>. Misalkan ''X''<sub>0</sub> menjadi [[himpunan bagian]] yang dapat dihitung yang diberikan oleh banyak orbit F<sub>''n''</sub> berhingga
dari titik tetap ''h''<sub>''i''</sub><sup> ±∞</sup>, titik tetap dari ''h''<sub>''i''</sub> dan semua konjugatnya. Karena ''X'' tidak terhitung, disitulah adalah elemen ''g'' dengan titik tetap di luar ''X''<sub>0</sub> dan titik ''w'' di luar ''X''<sub>0</sub> berbeda dari titik tetap ini. Kemudian untuk beberapa suburutan (''g''<sub>''m''</sub>) dari (''g''<sup>''n''</sup>)
| |||