Medan bilangan aljabar: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''bidangmedan bilangan aljabar''' (atau lebih sederhana '''bilangan bidangmedan''') ''F'' adalah [[Tingkat ekstensi bidang | derajat]] (dan karenanya [[ekstensi aljabar | aljabar]]) [[ekstensi bidangmedan]] dari [[medan (matematika) | bidangmedan]] dari [[bilangan rasional]]'''<math>\Q</math>'''. Jadi ''F'' adalah bidangmedan yang berisi '''<math>\Q'''</math> dan memiliki [[dimensi Hamel | dimensi]] jika dianggap sebagai [[ruang vektor]] di atas '' '<math>\Q'</math> ''.

Studi tentang bidangmedan bilangan aljabar, dan, secara lebih umum, perluasan aljabar bidangmedan bilangan rasional, adalah topik utama [[teori bilangan aljabar]].

Pengertian bidangmedan bilangan aljabar bergantung pada konsep sebuah [[medan (matematika) | bidangmedan]]. BidangMedan terdiri dari [[himpunan (matematika) | himpunan]] elemen bersama-sama dengan dua operasi, yaitu [[penambahan]], dan [[perkalian]], dan beberapa asumsi distributivitas. Contoh bidangmedan yang menonjol adalah bidangmedan [[bilangan rasional]], biasanya dilambangkan '''<math>\Q</math>''', bersama dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya yang biasa.

Gagasan lain yang diperlukan untuk mendefinisikan bidangmedan bilangan aljabar adalah [[ruang vektor]]. Sejauh yang dibutuhkan di sini, ruang vektor dapat dianggap terdiri dari urutan (atau [[tupelRangkap|rbilanganp]])

yang entri adalah elemen dari bidangmedan tetap, seperti bidangmedan '''<math>\Q</math>'''. Dua urutan seperti itu dapat ditambahkan dengan menambahkan entri satu per satu. Selanjutnya, urutan apa pun dapat dikalikan dengan satu elemen '' c '' dari bidangmedan tetap. Kedua operasi ini dikenal sebagai [[penambahan vektor]] dan [[perkalian skalar]] memenuhi sejumlah propertisifat yang berfungsi untuk mendefinisikan ruang vektor secara abstrak. Ruang vektor diperbolehkan untuk menjadi "berdimensi tak hingga", artinya deretan yang menyusun ruang vektor memiliki panjang tak hingga. Namun, jika ruang vektor terdiri dari urutan '' hingga ''

===<span id="degreeofanumberfield"></span> Definisi ===

'''BidangMedan bilangan aljabar''' (atau hanya '''bidangmedan bilangan''') adalah terbatas dari [[derajatDerajat ekstensi bidang medan| derajat]] [[ekstensi bidang|ekstensi medan]] dari bidangmedan bilangan rasional. Di sini '''derajat''' berarti dimensi bidangmedan sebagai ruang vektor di atasnyaatas '''<math>\Q</math>'''.

* BidangMedan bilangan terkecil dan paling dasar adalah bidangmedan '''<math>\Q</math>''' dari bilangan rasional. Banyak propertisifat bidangmedan angkabilangan umum dimodelkan setelahhimpunanelah propertisifat '''<math>\Q</math>'''.

* [[Bilangan rasional GaussianGauss]], dilambangkandilambbilangann '''<math>\Q'''(''i'')</math> (dibaca sebagai "'''<math>\Q''' </math>[[Adjungsi (teori medan) | berdampingan]] ''<math>i''</math>"), membentuk contoh nontrivialtaktrivial pertama dari bidangmedan angkabilangan. Unsur-unsurnya adalah ekspresi bentuk

::''<math>a'' +'' bi''</math>

: di mana '' <math>a ''</math> dan '' <math>b ''</math> adalah bilangan rasional dan '' <math>i ''</math> adalah [[satuan imajiner]]. Ekspresi seperti itu dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikalikan sesuai dengan aturan aritmatikaaritmetika biasa dan kemudian disederhanakan

::''i''<supmath>i^2</sup> = −1-1</math>.

: Bilangan rasional GaussianGauss bukan nol adalah [[dapatElemen dibalikinvers|terbalikkan]], yang dapat dilihat dari identitasnya

: Oleh karena itu, rasio GaussianGauss membentuk bidangmedan bilangan yang berdimensi dua sebagai vektor ruang '''<math>\Q</math>'''.

* Secara lebih umum, untuk bilangan bulat [[bebas persegikuadrat]] '' d '', [[bidang kuadrat|medan kuadrat]] <math>\Q(\sqrt{d})</math> adalah medan bilangan yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat '' d '' dengan medan bilangan rasional. Operasi aritmetika dalam medan ini didefinisikan dalam [[analogi]] dengan kasus bilangan rasional Gauss, ''d'' = − 1.

== ζFungsi-fungsi<math>\zeta</math>, ''fungsi-<math>L''-fungsi</math> dan rumus bilangan kelas ==

Kegagalan [[faktorisasi]] unik diukur dengan [[NomorBilangan kelas (teori bilangan) | nomorbilangan kelas]], biasanya dilambangkan dengan '' <math>h ''</math>, kardinalitas dari apa yang disebut [[grup kelas ideal]]. Grup ini selalu terbatasterhingga. CincinGelanggang bilangan bulat ''O''<submath>''F''O_F</submath> memiliki faktorisasi unik [[jika dan hanya jika]] itu adalah cincingelanggang utama atau, ekuivalensetara, jika '' F '' memiliki [[Daftar bidang bilangan dengan bilangan kelas satu | bilangan kelas 1]]. Mengingat bidangmedan angkabilangan, nomor kelas seringkalisering kali sulit dihitung. [[Masalah bilangan kelas]], kembali ke [[Gauss]], berkaitan dengan keberadaan bidangmedan bilangan kuadrat imajiner (yaitu,'''<math>\Q'''(√\sqrt{{overline|−''d''}}), ''d'' ≥\ge 1</math> ) dengan nomor kelas yang ditentukan. [[Rumus nomor kelas]] menghubungkan '' h '' dengan invarian fundamentaldasar lainnya dari '' F ''. Ini melibatkan [[Fungsi zeta Dedekind]] ζ<submath>''F''\zeta_F(s)</submath>(s), berfungsi dalam variabel kompleks ''s'', didefinisikan oleh

(Produk melampaui semua cita-cita utama ''O''_''F'', <math>N(\mathfrak p)</math> menunjukkan norma ideal prima atau, ekuivalensetara, jumlah elemen (terbatas) dalam [[bidangmedan residu]] <math>O_F / \mathfrak p</math>. Produk tak terbatas hanya menyatu untuk [[Bagian riil | Re]](''s'') > 1, secara umum [[kelanjutan analitik]] dan [[persamaan fungsional]] untuk fungsi zeta diperlukan untuk mendefinisikan fungsi untuk semua 's'). Fungsi Dedekind zeta menggeneralisasi [[fungsi zeta Riemann]] <math>\zeta_\Q (s) = \zeta(s)</math>.

Rumus nomor kelas menyatakan itu ζ_''F''(''s'') memiliki [[tiang sederhana]] pada '' <math>s '' = 1</math> dan pada titik ini [[residu (analisis kompleks) | residu]] diberikan oleh

:<math> \frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h\cdot \operatorname{Reg}}{w \cdot \sqrt{|D|}}.</math>.

* [[Teorema satuan Dirichlet]], [[S-Satuan-S]]

* [[EkstensiPerluasan Kummer]]

* [[Teorema Minkowski]], [[Bilangan Geometrigeometri]]

* [[Grup dekomposisipenguraian]]

* [[BidangMedan genus]]