Grup kelas ideal: Perbedaan antara revisi

Dalam [[teori bilangan]], '''grup kelas ideal''' (atau '''grup kelas''') dari [[bidang bilangan aljabar]] {{math|''K''}} adalah grup hasil bagi {{math|''J_K''/''P_K''}} dimana {{math|''J_K''}} adalah grup [[pecahan ideal]] dari [[gelanggang bilangan bulat]] dari {{math|''K''}}, dan {{math|''P_K''}} adalah subgrup dari [[prinsip ideal]]. Grup kelas adalah ukuran [[faktorisasi unik]] dengan gelanggang [[bilangan bulat]] dari {{math|''K''}}. [[Urutan (teori grup)|Urutan]] dari [[grup hingga]], disebut '''bilangan kelas''' dari {{math|''K''}}.

Jika ''R'' adalah [[domain integral]], tentukan [[relasi (matematika)|relasi]] ~ bukan nol [[ideal pecahan]] dari ''R'' ke ''I'' ~ ''J'' bukan nol ''a'' dan ''b'' dari ''R'' sehingga (''a'')''I'' = (''b'')''J''. (Dimana notasi (''a'') berarti [[prinsip ideal]] dari ''R'' terdiri dari semua kelipatan ''a''.) Dengan mudah ditunjukkan bahwa ini adalah [[relasi ekuivalen]]. [[Kelas ekuivalenkesetaraan]] disebut ''kelas ideal'' dari ''R''.

Grup kelas ideal adalah (yaitu hanya memiliki satu elemen) jika dan hanya jika ideal ''R'' adalah pokok. Dalam pengertian ini, grup kelas ideal mengukur ''R'' dari menjadi [[domain ideal utama]], dan karena [[faktorisasi prima]] unik (domain Dedekind adalah [[domain faktorisasi unik]] jika dan hanya jika domain tersebut adalah domain ideal utama).

Jumlah kelas ideal ('''{{vanchor|kelas bilangan kelas}}'''<!--huruf tebal per WP:R#PLA--> dari ''R'') tidak hingga pada umumnya. Maka, grup abelian isomorfik dengan grup kelas ideal dari beberapa domain Dedekind.<ref>{{harvnb|Claborn|1966}}</ref> Jika ''R'' adalah gelanggang bilangan bulat aljabar, maka bilangan kelasnya selalu ''hingga''. Hal ini adalah salah satu hasil utama dari teori bilangan aljabar klasik.

:TentukanMendefinisikan sebuah peta dari ''R''^&times; ke himpunan dari semua ideal pecahan bukan nol dari ''R'' dengan elemen ke ideal utama (pecahan) yang dihasilkannya. [[Homomorfisme grup]]; [[Kernel (aljabar)|kernel]] adalah grup unit ''R'', dan kokernel-nya adalah grup kelas ideal dari '' R ''. GrupKegagaalan grup ini menjadi selang-selingtrivial merupakanadalah sebuah ukuran petadari kegagalan pemetaan menjadi sebuah isomorfisme: yaitu kegagalan ideal untuk bertindak seperti elemenunsur gelanggang, artinyadengan kata lain, seperti bilangan.

== KoneksiHubungan kedengan teori medan kelas ==

[[Teori medan kelas]] adalah cabang dari [[teori bilangan aljabar]] yang berusaha untuk mengklasifikasikan semua [[teori Galois | ekstensi abelian]] dari bidang bilangan aljabar tertentu, artinya ekstensi Galois dengan abelian [[grup Galois]]. Contoh yang sangat bagusini ditemukan di [[bidang kelas Hilbert]] dari bidang angkabilangan, yang dapat didefinisikan sebagai ekstensi abelian [[unramifid]] maksimal dari bidang tersebut. Bidang kelas Hilbert '' L '' dari bidang bilangan '' K '' unik dan memiliki propertisifat berikut:

* Setiap idealIdeal dari cincingelanggang bilangan bulat '' K '' menjadi pokok dalam '' L '', yaitu jika '' I '' adalah ideal integral dari '' K '' maka bayangan '' I '' adalah ideal utama dalam '' L ''.

* ''L'' adalah perpanjangan Galois dari '' K '' dengan grup Galois isomorfik ke grup kelas ideal '' K ''.

Tidak memiliki sifat yang mudahuntuk dibuktikan.

* [[Teorema Brauer–Siegel]]-rumus [[Analisis asimtotik | asimtotik]] untuk bilangan kelas

* [[Grup Picard]]-generalisasiperampatan dari grup kelas yang muncul di [[geometri aljabar]]

[[Kategori: Teori bilangan aljabar]]

[[Kategori: Ideal]]