Rank (aljabar linear): Perbedaan antara revisi

Peringkat umumnya dinyatakan sebagai <math>\text{rank}(\mathbf A)</math> atau <math>\text{rk}(\mathbf A)</math>;<ref name=":002">{{Harvard citation text|Roman|2005}} p. 48, § 1.16</ref> terkadang tanda kurung tidak digunakan, seperti pada notasi <math>\text{rank}\, \mathbf A</math>.<ref group="lower-roman">Notasi alternatif peringkat adalah <math>\rho (\Phi)</math> berdasarkan {{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008|p=52, §2.5.1}} dan {{Harvard citation text|Halmos|1974|p=90, § 50}}.</ref>

Matriks<math display="block">\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}</math>memiliki besar peringkat 2. Hal ini didapatkan dengan mengamati bahwa dua kolom pertama matriks tersebut saling [[Kebebasan linear|bebas linear]], sehingga besar peringkat dari matriks setidaknya sama dengan 2. Tapi karena kolom ketiga adalah [[kombinasi linear]] dari dua kolom pertama (yakni kolom kedua dikurang kolom pertama), maka ketiga kolom (dan sebagai akibatnya, matriks) saling bergantung linear, sehingga peringkat dari matriks harus kurang dari 3.

Hasil perhitungan peringkat dengan [[eliminasi Gauss]] ([[dekomposisi LU]]) untuk komputasi ''[[floating point]]'' pada komputer umumnya tidak dapat andalkan. Dalam kasus ini, alternatif dekomposisi yang memberikan informasi mengenai peringkat matriks lebih banyak digunakan. Salah satu alternatif yang efektif adalah dengan menggunakan [[Penguraian nilai singular|dekomposisi nilai singular]] (''singular value decomposition,'' SVD). Alternatif lain yang tidak mahal (secara komputasi) adalah [[dekomposisi QR]] dengan pivot, yang masih jauh lebih baik secara numerik ketimbang eliminasi Gauss. Penentuan besar peringkat memerlukan kriteria kapan sebuah nilai, sebagai contoh nilai singular pada SVD, dapat dianggap sama dengan 0. Kriteria ini bergantung pada jenis matriks dan tujuan yang ingin dilakukan.

Salah satu penerapan perhitungan peringkat sebuah matriks adalah untuk menentukan banyaknya solusi [[sistem persamaan linear]]. Berdasarkan [[teorema Rouché–Capelli]], sistem tidak konsisten jika peringkat dari matriks gabungan (''augmented matrix'') lebih besar dari peringkat matriks koefisien. Di sisi lain, jika peringkat kedua matriks tersebut sama, maka sistem setidaknya memiliki satu solusi. Solusi yang unik terjadi jika dan hanya jika besar peringkat sama dengan banyaknya variabel pada sistem. Selain kasus-kasus itu, sistem akan memiliki {{mvar|k}} parameter bebas, dengan {{mvar|k}} adalah selisih antara banyak variabel dan besar peringkat. Dalam kasus ini (dan mengasumsikan sistem persamaan ada atas bilangan real atau [[bilangan kompleks]]) sistem persamaan akan memiliki tak hingga banyaknya solusi.

* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|location=|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|pages=|author-link=Sheldon Axler}}

* {{Cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|year=1974|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|location=|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]|isbn=0-387-90093-4|edition=2nd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|volume=|pages=|author-link=Paul Halmos|orig-year=1958}}

* {{Cite book|last=Roman|first=Steven|year=2005|title=Advanced Linear Algebra|url=https://archive.org/details/advancedlinearal0000roma_b4n5|location=|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=0-387-24766-1|edition=2nd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|pages=|author-link=Steven Roman}}

* {{Cite book|last=Valenza|first=Robert J.|year=1993|title=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics|location=|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]|isbn=3-540-94099-5|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|pages=|orig-year=1951}}