Kuantifer (logika): Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
Nkhanaart (bicara | kontrib)
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(3 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{periksaterjemahan|en|Quantifier (logic)}}
Dalam [[bahasa alami]], kuantifer mengubah kalimat tentang sesuatu yang memiliki beberapa properti menjadi kalimat tentang jumlah (kuantitas) benda sifat. Contoh bilangan dalam [[bahasa Inggris]] adalah "all", "some", "many", "few", "most", dan "no"; <ref>See [[Quantifier (linguistics)]] for details.</ref> Contoh kalimat terkuantifikasi adalah "semua orang fana", "beberapa orang fana", dan "tidak ada orang yang fana", adalah benar, dan salah.
 
Dalam [[logika matematika]], khususnya dalam [[Logika predikat tingkat pertama|logika orde pertama]], '''kuantifer''' mencapai tugas serupa, beroperasi pada [[Rumus well-formet|rumus matematika]] dari kalimat bahasa Inggris.
 
Lebih tepatnya, pembilang menentukan jumlah spesimen dalam [[domain wacana]] yang menggunakan [[rumus terbuka]]. Dua bilangan formal yang umum adalah "[[kuantifikasi universal]]" ([[Kuantifikasi universal|pembilang universal]], secara tradisional dilambangkan dengan [[Turned A|"∀"]] ), dan " [[Kuantifikasi eksistensial|eksistensial]] [[Kuantifikasi eksistensial|kuantifikasi]]" ([[Kuantifikasi eksistensial|pembilang eksistensial]], [[Ternyata E|"∃"]]). <ref name=":002">{{Cite web|date=2020-04-06|title=Comprehensive List of Logic Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/logic-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-09-04}}</ref> Misalnya, dalam [[aritmetika]], bilangan memungkinkan bahwa [[bilangan asli]] berlangsung, dengan menulis bahwa "untuk bilangan asli ''n'', bilangan asli ''m'' yang terbesar dari ''n'' "; ditulis sebagai formal sebagai "∀ ''n'' ∈ℕ. ∃ ''m'' ∈ℕ. ''m'' > ''n'' ". <ref>This formula can be proven true, since, given an arbitrary ''n'', choosing ''m'' e.g. as the [[Successor function|successor]] of ''n'' will do.</ref> Contoh di atas dapat diformalkan sebagai "∀ ''p'' ∈ ''P.'' ''M'' ( ''p'' )", <ref>Literally: "For each member ''p'' of the set of all people, ''p'' is mortal."</ref> "∃ ''p'' ∈ ''P.'' ''M'' ( ''p'' )", dan " [[Negasi|¬]] ∃ ''p'' ∈ ''P.'' ''M'' ( ''p'' )", <ref>Literally: "It is [[Negation (logic)|not]] true that there exists some member ''p'' of the set of all people such that ''p'' is mortal."</ref> ketika ''P'' menunjukkan [[Himpunan (matematika)|himpunan]], dan ''m'' ( ''p'' ) menunjukkan "''p'' adalah fana".
 
Rumus dimulai dengan kuantifer disebut rumus '''kuantifikasi'''. Kuantifer formal membutuhkan variabel, yang dikatakan ''[[Variabel bebas dan variabel terkait|terkait]]'', dan [[Rumus well-formet|subrumus]] menentukan sifat variabel.
Baris 42:
 
== Notasi ==
Dua bilangan yang umum adalah bilangan universal dan bilangan eksistensial. Simbol tradisional untuk pembilang universal adalah " [[Daftar simbol matematika|∀]] ", huruf yang diputar " [[A]] ", yang berarti "semua". Simbol yang sesuai untuk pembilang eksistensial adalah " [[∃]] ", huruf " [[E]] " yang diputar, yang berarti "ada". <ref name=":02">{{Cite web|date=2020-04-06|title=Comprehensive List of Logic Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/logic-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-09-04}}</ref> <ref>{{Cite web|title=Predicates and Quantifiers|url=https://www.csm.ornl.gov/~sheldon/ds/sec1.6.html|website=www.csm.ornl.gov|access-date=2020-09-04}}</ref> <ref>{{Cite web|title=1.2 Quantifiers|url=https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section01.02.html|website=www.whitman.edu|access-date=2020-09-04}}</ref>
 
Contoh translasi pernyataan terkuantifikasi dalam bahasa alami seperti [[bahasa Indonesia]] adalah sebagai berikut. Dengan pernyataan, "Setiap teman Udin suka menari atau suka pergi ke pantai (atau keduanya)", aspek kunci dapat diidentifikasi dan ditulis ulang menggunakan simbol termasuk bilangan. Jadi, misalkan ''X'' adalah himpunan dari semua teman Udin, U( ''x'' ) [[Predikat (logika matematika)|predikat]] "''x'' suka menari", dan ''Q''( ''x'' ) predikat "''x'' suka pergi ke pantai". Maka kalimat diatas dapat ditulis dalam notasi formal sebagai <math> \forall{x}{\in}X, U(x) \lor Q(x) </math>, yang dibaca, "untuk ''x'' yang merupakan anggota ''X'', U berlaku untuk ''x'' [[Logika disjungsi|atau]] ''Q'' berlaku untuk ''x'' ".
 
Beberapa ekspresi terkuantifikasi lainnya dibangun sebagai berikut,
 
: <math> \exists{x}\, U</math> <ref>{{Cite book|last=K.R. Apt|year=1990|title=Formal Models and Semantics|publisher=Elsevier|isbn=0-444-88074-7|editor-last=Jan van Leeuwen|series=Handbook of Theoretical Computer Science|volume=B|pages=493–574|chapter=Logic Programming}} Here: p.497</ref>&nbsp;&nbsp;<math>\forall{x}\, U </math>
 
untuk rumus U ''k''edua ungkapan ini (menggunakan definisi di atas) dibaca sebagai "ada teman Udin yang suka menari" dan "semua teman Udin suka menari". Notasi varian termasuk, untuk himpunan ''X'' dan himpunan anggota ''x'' :
 
: <math> \bigvee_{x} U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(\exists{x}) U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(\exists x \ . \ U)</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists x \ \cdot \ U</math>&nbsp;&nbsp;<math>(\exists x : U)</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists{x}(U)</math> <ref>{{Cite book|last=John E. Hopcroft and Jeffrey D. Ullman|year=1979|title=Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation|url=https://archive.org/details/introductiontoau00hopc|location=Reading/MA|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-02988-X}} Here: p.p.344</ref>&nbsp;&nbsp;<math>\exists_{x}\, U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists{x}{,}\, U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists{x}{\in}X \, U </math>&nbsp;&nbsp;<math>\exists\, x{:}X \, U</math>
 
Semua variasi berlaku untuk penghitungan universal. Variasi lain untuk pembilang universal adalah
 
: <math>\bigwedge_{x} U</math>&nbsp;&nbsp;<math>\bigvee x U</math> <ref>{{Cite book|last=Hans Hermes|year=1973|title=Introduction to Mathematical Logic|url=https://archive.org/details/introductiontoma0000herm|location=London|publisher=Springer|isbn=3540058192|series=Hochschultext (Springer-Verlag)|issn=1431-4657}} Here: Def. II.1.5</ref>&nbsp;&nbsp;<math>(x) \, U</math>
 
Beberapa versi notasi secara eksplisit menyebutkan kisaran kuantifikasi. Kisaran penghitungan harus selalu ditentukan; untuk teori matematika tertentu dapat dilakukan dengan beberapa cara:
Baris 93:
: Terdapat bilangan asli ''s'' sehingga untuk setiap bilangan asli ''n'', ''s'' = ''n'' <sup>2</sup>.
 
Hal ini jelas salah; ia menegaskan bahwa ada satu bilangan asli ''s'' yang merupakan kuadrat dari ''setiap'' bilangan asli. Ini karena [[sintaksis]] mengarahkan bahwa variabel apa pun tidak dapat menjadi fungsi dari variabel yang diperkenalkan selanjutnya.
 
Sebuah contoh non-trivial dari [[analisis matematis]] adalah konsep [[Kontinuitas seragam|keseragaman]] dan kontinuitas [[Fungsi kontinu|pointwise]], yang definisinya hanya berbeda dengan pertukaran dalam posisi dua bilangan. Fungsi ''f'' dari [[Bilangan riil|'''R''']] ke '''R'''.