Wikipedia

Fungsi invers trigonometri: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.199 suntingan
→Daftar: Ada beberapa kata atau kalimat yang belum diterjemahkan
Nkhanaart (bicara | kontrib)
55 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(8 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Periksa terjemahan|en|Invers trigonometric functions}}
'''Fungsi trigonometri invers''' adalah [[fungsi invers]] suatu [[fungsi trigonometri]] (dengan [[domain fungsi|domain]] yang terbatas). Dalam kata lain, fungsi trigonometri invers adalah fungsi invers suatu fungsi [[sinus]], [[kosinus]], [[tangen]], [[kotangen]], [[sekan]] dan [[kosekan]], dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain. Fungsi trigonometri invers sering digunakan di bidang teknik, navigasi, fisika dan [[geometri]].▼
 
▲'''Fungsi trigonometri invers trigonometri''' adalah [[fungsi invers]] suatu [[fungsi trigonometri]] (dengan [[domain fungsi|domain]] yang terbatas). DalamDengan kata lain, fungsi trigonometri invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi [[sinus]], [[kosinus]], [[tangen]], [[kotangen]], [[sekan]] dan [[kosekan]], dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain. Fungsi trigonometri invers seringtrigonometri deretng digunakan di bidang teknik, navigasi, fisika dan [[geometri]].
 
== Dalamdalam kalkulus ==
 
==={{anchor|Turunan}}Turunan dari fungsi trigonometri invers trigonometri ===
:{{Main|Diferensiasi fungsi trigonometri}}
 
Baris 16 ⟶ 17:
\frac{d}{dz} \arccsc(z) &{} = -\frac{1}{z^2 \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}} \; ; &z &{}\neq -1, 0, +1
\end{align}</math>
Hanya untuk nilai riil '' <math>x ''</math>:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx} \arcsec(x) &{} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \; ; & |x| > 1\\
Baris 22 ⟶ 23:
\end{align}</math>
 
Untuk turunancontoh sampelturunannya: bila <math>\theta = \arcsin(x)</math>, kita mendapatkan:
:<math>\frac{d \arcsin(x)}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin(\theta)} = \frac{d \theta}{\cos(\theta) \, d \theta} = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 
Baris 35 ⟶ 36:
\arccsc(x) &{}= \int_x^\infty \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz = \int_{-\infty}^x \frac{1}{z \sqrt{z^2 - 1}} \, dz \; , & x &{} \geq 1\\
\end{align}</math>
Jika '' <math>x ''</math> sama dengan 1, integral dengan domain terbatas adalah [[integral tak tentu]], tetapi masih terdefinisi dengan baik.
 
=== SeriDeret tak terbatas ===
Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi trigonometri terbalik juga dapat dihitung menggunakan [[deret pangkat]], sebagai berikut. Untuk busur, deret dapat diturunkan dengan memperluas turunannya, <math display="inline">\tfrac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math>, as asebagai [[deret binomial series]], dan mengintegrasikan istilah demi istilah (menggunakan definisi integral seperti di atas). Deret untuk arctangen juga bisa diturunkan dengan memperluas turunan <math display="inline">\frac{1}{1+z^2}</math> dalam sebuah [[deret geometris]], dan menerapkan definisi integral di atas (lihat [[deret Leibniz]]).
 
: <math>
Baris 52 ⟶ 53:
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{2n+1} \, ; \qquad |z| \le 1 \qquad z \neq i,-i</math>
 
SeriDeret untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya dapat diberikan dalam hal ini sesuai dengan hubungan yang diberikan di atas. Sebagai contoh, <math>\arccos(x) = \pi/2 - \arcsin(x)</math>, <math>\arccsc(x) = \arcsin(1/x)</math>, anddan so onseterusnya. Deret Seri lainlainnya diberikan oleh:<ref name="Borwein_2004"/>
 
:<math>2\left(\arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom {2n} n}.</math>
 
[[Leonhard Euler]] menemukan deret untuk arctangentinvers tangen yang menyatu lebih cepat daripada [[deret Taylor]]:
 
: <math>\arctan(z) = \frac z {1 + z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k + 1)(1 + z^2)}.</math><ref>{{citation|title= Derivasi dasar deret Euler untuk fungsi arktangen|journal = The Mathematical Gazette | author = Hwang Chien-Lih | doi = 10.1017/S0025557200178404 | year = 2005 | volume = 89 | issue = 516|pages = 469–470 }}</ref>
Baris 69 ⟶ 70:
:<math>\arctan(z) = i\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n - 1}\left(\frac{1}{(1 + 2i/z)^{2n-1}} - \frac{1}{(1 - 2i/z)^{2n - 1}}\right),</math>
 
dimana <math>i=\sqrt{-1}</math> adalah [[satuanbilangan imajiner]].{{citation needed|date=April 2019}}
 
==== Pecahan lanjutan untuk arctangeninvers tangen ====
Dua alternatif dari deret pangkat untuk arctangeninvers tangen adalah [[pecahan lanjutan umum]] berikut:
 
: <math>\arctan(z) =
Baris 79 ⟶ 80:
</math>
 
Yang kedua ini berlaku di [[bidang kompleks]] potong. Ada dua potongan, dari - '''i''' ke titik tak terhingga, menuruni sumbu imajiner, dan dari '''i''' ke titik tak terhingga, menuju berfungsi paling baik untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] yang berjalan dari −1 hingga 1. Penyebut parsial adalah bilangan asli ganjil, dan pembilang parsial (setelah yang pertama) hanya (''nz'')<sup>2</sup>, dengan setiap kotak sempurna muncul sekali. Yang pertama dikembangkan oleh [[Leonhard Euler]]; yang kedua oleh [[Carl Friedrich Gauss]] menggunakan [[deret hipergeometrik Gaussian]].
 
=== Integral tak tentu dari fungsi trigonometri invers trigonometri ===
 
Untuk nilai nyata dan kompleks ''z'':
Baris 93 ⟶ 94:
\end{align}</math>
 
Foruntuk realriil ''x'' ≥ 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \ln \left( x + \sqrt{x^2-1} \right) + C\\
Baris 99 ⟶ 100:
\end{align}</math>
 
Foruntuk allsemua realriil ''x'' nottidak betweenantara -1 anddan 1:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \sgn(x) \ln\left(\left| x + \sqrt{x^2-1}\right|\right) + C\\
Baris 105 ⟶ 106:
\end{align}</math>
 
Nilai absolutmutlak diperlukan untuk mengimbangi nilai negatif dan positif dari fungsi arcsecantarcsekan dan arccosecantarckosekan. Fungsi signum juga diperlukan karena nilai[[Nilai absolut|nilai mutlak]] dalam [[#Turunan | turunan]] dari kedua fungsi tersebut, yang membuat dua solusi berbeda untuk nilai positif dan negatif x. Ini dapat disederhanakan lebih lanjut menggunakan definisi logaritmik dari [[Fungsi hiperbolik invers#Representasi logaritmik|fungsi hiperbolik invers]]:
:<math>\begin{align}
\int \arcsec(x) \, dx &{}= x \, \arcsec(x) - \operatorname{arcosh}(|x|) + C\\
Baris 111 ⟶ 112:
\end{align}</math>
 
Nilai absolutmutlak dalam argumen fungsi arcosh menciptakan setengah negatif grafiknya, membuatnya identik dengan fungsi logaritmik signum yang ditunjukkan di atas.
 
Semua antiturunan ini dapat diturunkan menggunakan [[integrasi oleh bagian]] dan bentuk turunan sederhana yang ditunjukkan di atas.
Baris 145 ⟶ 146:
| '''kosinus invers''' || ''y'' = {{math|arccos(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[kosinus|cos]](''y'')}}|| −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ {{pi}} || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
|-
| '''tangen invers''' || ''y'' = {{math|arctan(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[Fungsi trigonometrik#Definisi segitiga siku-siku|tan]](''y'')}}|| semua-∞ bilangan≤ riilx ≤ ∞ || −{{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' < {{sfrac|{{pi}}|2}} || −90° < ''y'' < 90°
|-
| '''kotangen invers''' || ''y'' = {{math|arccot(''x'')}} ||''x'' = {{math|[[Kotangen|cot]](''y'')}}|| semua-∞ bilangan≤ riilx ≤ ∞ || 0 < ''y'' < {{pi}} || 0° < ''y'' < 180°
| 0 < ''y'' < {{pi}} || 0° < ''y'' < 180°
|-
| '''sekan invers''' || ''y'' = {{math|arcsec(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[Fungsi trigonometrik#Definisi segitiga siku-siku|sec]](''y'')}}|| ''x'' ≤ −1 atau 1 ≤ ''x'' ≥ 1 || 0 ≤ ''y'' <≤ {{sfrac|{{pi}}|2}}; y atau≠ {{sfrac|{{pi}}|2}} < ''y'' ≤ {{pi}} || 0° ≤ ''y'' <≤ 90180°; atau 90° < ''y'' ≤≠ 18090°
|-
| '''kosekan invers''' || ''y'' = {{math|arccsc(''x'')}} || ''x'' = {{math|[[Kosekan|csc]](''y'')}}|| ''x'' ≤ −1 atau 1 ≤ ''x'' ≥ 1 || −{{sfrac|{{pi}}|2}} ≤ ''y'' < 0 atau 0 < ''y'' ≤ {{sfrac|{{pi}}|2}}; y ≠ 0 || −90° ≤ ''y'' <≤ 090°; atau 0° < ''y'' ≤≠ 900°
|-
|}
 
== Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri invers trigonometri ==
 
{|class="wikitable"
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Fungsi_invers_trigonometri"