0 (angka): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Konten dalam edit ini adalah alih bahasa dari artikel Wikipedia Bahasa Inggris en:0 (oldid 1249315629); Lihat sejarahnya untuk atribusi. |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (3 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
| number = 0
| factorization =<math> 0 </math>
Baris 34:
=== Amerika pra-Kolombus ===
[[Berkas:Cero_maya.svg|jmpl|
[[Kalender Hitung Panjang|Kalender Hitung Panjang Mesoamerika]] yang dikembangkan di Meksiko bagian selatan-tengah dan Amerika Tengah, memerlukan penggunaan nol sebagai penanda-tempat dalam sistem angka posisional [[vigesimal]] (basis 20). Banyak [[glif]], termasuk [[quatrefoil]] parsial digunakan sebagai simbol nol untuk tanggal Hitung Panjang, dengan yang paling lawas memiliki tanggal 36 SM (pada Stela 2 di Chiapa de Corzo, [[Chiapas]]).{{efn|
Karena delapan dari tanggal-tanggal Hitung Panjang terlawas terletak di luar daerah Maya,{{sfnp|Diehl|2004|p=186}} umum dipercaya bahwa penggunaan nol di Amerika sudah ada sebelum Maya, dan mungkin penemuan dari [[Olmek]].<ref>{{Cite news|last=Mortaigne|first=Véronique|date=28 November 2014|title=The golden age of Mayan civilisation – exhibition review|url=https://www.theguardian.com/culture/2014/nov/28/mayan-civilisation-paris-exhibition|work=[[The Guardian]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20141128222215/http://www.theguardian.com/culture/2014/nov/28/mayan-civilisation-paris-exhibition|archive-date=28 November 2014|access-date=10 October 2015|url-status=live}}</ref> Banyak tanggal Hitung Panjang masa awal berada di daerah Olmek, walaupun peradaban Olmek telah berakhir abad ke-4 SM,<ref>{{Citation|last=Cyphers|first=Ann|title=The Olmec, 1800–400 bce|date=2014|work=The Cambridge World Prehistory|pages=1005–1025|editor-last=Renfrew|editor-first=Colin|url=https://www.cambridge.org/core/books/cambridge-world-prehistory/olmec-1800400-bce/2C66AF7B3D041260EE2BFC94DF085029|access-date=2024-08-13|place=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-11993-1|editor2-last=Bahn|editor2-first=Paul}}</ref> beberapa abad sebelum tanggal-tanggal Hitung Panjang.<ref>{{Cite web|title=Expedition Magazine {{!}} Time, Kingship, and the Maya Universe Maya Calendars|url=https://www.penn.museum/sites/expedition/time-kingship-and-the-maya-universe-maya-calendars/|website=Expedition Magazine|language=en|access-date=2024-08-13}}</ref>
Baris 54:
=== China ===
[[Berkas:Zero_in_Rod_Calculus.png|al=Five illustrated boxes from left to right contain a T-shape, an empty box, three vertical bars, three lower horizontal bars with an inverted wide T-shape above, and another empty box. Numerals underneath left to right are six, zero, three, nine, and zero|ka|jmpl|Ilustrasi nol menggunakan [[tongkat penghitung]] China, didasarkan pada contoh oleh ''A History of Mathematics''. Ruang kosong digunakan untuk mewakili nol.<ref name="Hodgkin">{{Cite book|last=Hodgkin|first=Luke|date=2005|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg|title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-152383-0|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg/page/85 85]|url-access=registration}}</ref>]]
''[[Sunzi Suanjing]]'', yang diperkirakan berasal dari sekitar abad ke-1 sampai ke-5 Masehi), dan catatan-catatan Jepang dari abad ke-18, menjelaskan cara sistem [[tongkat penghitung]] China abad ke-4 SM memungkinkan penghitungan desimal. Seperti yang dicatat dalam ''[[Xiahou Yang Suanjing]]'' (425-468 M), untuk mengalikan (atau membagi) sebuah angka dengan 10, 100, 1000, atau 10,000, yang perlu dilakukan dengan tongkat-tongkat di papan hitung, adalah memindahkannya ke depan (atau ke belakang) sebanyak 1, 2, 3, atau 4 tempat.<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Chinese_numerals|title=Chinese numerals|date=January 2004}}</ref> Tongkat-tongkat tersebut memberikan [[representasi desimal]] dari sebuah angka, dengan ruang kosong yang mewakili nol.<ref name="Hodgkin3">{{Cite book|last=Hodgkin|first=Luke|date=2005|url=https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg|title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-152383-0|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg/page/85 85]|url-access=registration}}</ref><ref>{{Cite web|title=Chinese numerals|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Chinese_numerals/|website=Maths History|language=en|access-date=2024-04-28}}</ref> Sistem tongkat penghitung adalah sistem [[notasi posisional]].<ref>{{harvnb|Shen|Crossley|Lun|1999|p=12}}: "the ancient Chinese system is a place notation system"</ref><ref>{{Citation|last=Eberhard-Bréard|first=Andrea|title=Mathematics in China|date=2008|encyclopedia=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|pages=1371–1378|editor-last=Selin|editor-first=Helaine|url=https://doi.org/10.1007/978-1-4020-4425-0_9453|access-date=2024-04-28|place=Dordrecht|publisher=Springer Netherlands|language=en|doi=10.1007/978-1-4020-4425-0_9453|isbn=978-1-4020-4425-0}}</ref>
Nol tidak dianggap sebagai angka pada masa itu, tapi sebagai "posisi kosong".<ref name="Crossley2">{{Cite book|last1=Shen|first1=Kangshen|last2=Crossley|first2=John N.|last3=Lun|first3=Anthony W.-C.|year=1999|url=https://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC|title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|page=35|quote=zero was regarded as a number in India ... whereas the Chinese employed a vacant position|author1-mask=Shen Kanshen}}</ref> Karya [[Qin Jiushao]] ''[[Risalah Matematika dalam Sembilan Bab]]'' tahun 1247 adalah teks matematika China tertua yang selamat, yang menggunakan simbol bulat [[Aksara Han Maharani Wu|〇]] untuk nol.<ref name="Qin2">{{Cite web|title=Mathematics in the Near and Far East|url=http://grmath4.phpnet.us/istoria/the_history_of%20math_greece/the_history_of%20math_greece_3-5.pdf|website=grmath4.phpnet.us|page=262|archive-url=https://web.archive.org/web/20131104120005/http://grmath4.phpnet.us/istoria/the_history_of%20math_greece/the_history_of%20math_greece_3-5.pdf|archive-date=4 November 2013|access-date=7 June 2012|url-status=live}}</ref> Asal usul dari simbol ini tidak jelas; mungkin dibawa dari India, atau dihasilkan dengan mengubah simbol persegi.<ref>{{cite book|last=Martzloff|first=Jean-Claude|year=2007|title=A History of Chinese Mathematics|publisher=Springer|isbn=978-3-540-33783-6|page=208|translator-last1=Wilson|translator-first1=Stephen S.}}</ref> Risalah tersebut juga menunjukkan bahwa penulis-penulis China sudah familiar dengan konsep bilangan negatif pada masa [[dinasti Han]] (abad ke-2).<ref name="struik332">Struik, Dirk J. (1987). ''A Concise History of Mathematics''. New York: Dover Publications. pp. 32–33. "''In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history.''"</ref>
Baris 61:
Seorang cendekiawan [[Chanda|sajak Sanskerta]] bernama [[Pingala]] (sekitar abad ke-3 atau ke-2 SM),<ref name="plofker">{{Cite book|last=Plofker|first=Kim|year=2009|title=Mathematics in India|title-link=Mathematics in India (book)|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-12067-6|pages=[https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA54 54–56]|quote=In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, [ ...] Pingala's use of a zero symbol [śūnya] as a marker seems to be the first known explicit reference to zero. ... In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, there are five questions concerning the possible meters for any value "n". [ ...] The answer is (2)<sup>7</sup> = 128, as expected, but instead of seven doublings, the process (explained by the sutra) required only three doublings and two squarings – a handy time saver where "n" is large. Pingala's use of a zero symbol as a marker seems to be the first known explicit reference to zero|author-link=Kim Plofker}}</ref><ref>{{Cite book|author=Vaman Shivaram Apte|year=1970|title=The Student's Sanskrit-English Dictionary|publisher=Motilal Banarsidass|isbn=978-81-208-0045-8|pages=648–649|chapter=Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India|access-date=21 April 2017|chapter-url=https://books.google.com/books?id=4ArxvCxV1l4C&pg=PA648}}</ref> menggunakan [[Sistem bilangan biner|barisan biner]] dalam bentuk suku kata pendek dan suku kata panjang (yang setara dengan dua suku kata pendek) untuk menentukan [[metrum]] Sanskerta yang valid; suatu notasi yang mirip dengan [[kode Morse]].<ref>{{Cite web|last=Hall|first=Rachel|date=February 15, 2005|title=Math for Poets and Drummers: The Mathematics of Rhythm|url=http://people.sju.edu/~rhall/Rhythms/Poets/arcadia.pdf|publisher=Saint Joseph's University|type=slideshow|archive-url=https://web.archive.org/web/20190122014628/http://people.sju.edu/~rhall/Rhythms/Poets/arcadia.pdf|archive-date=22 January 2019|access-date=20 December 2015|url-status=dead}}</ref> Pingala menggunakan kata [[Bahasa Sanskerta|Sanskerta]] ''[[Śūnyatā|śūnya]]'' secara eksplisit untuk merujuk nol.<ref name="plofker" />
[[Berkas:Bakhshali_manuscript_zero_detail.jpg|jmpl|Manuskrip Bakhshali, dengan angka "nol" diwakili oleh titik hitam (tahun 224–383)]]
Konsep nol sebagai angka dalam [[Notasi posisional|notasi nilai-tempat]] ''desimal'' dikembangkan di [[India]].<ref name="bourbaki46">{{harvnb|Bourbaki|1998|p=46}}</ref> Simbol nol berupa titik besar digunakan di keseluruhan [[manuskrip Bakhshali]], suatu panduan praktis tentang [[aritmetika]] untuk para pedagang.<ref name="Weiss">{{Cite news|last=Weiss|first=Ittay|date=20 September 2017|title=Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics|url=https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232|work=The Conversation|archive-url=https://web.archive.org/web/20180712124031/https://theconversation.com/nothing-matters-how-the-invention-of-zero-helped-create-modern-mathematics-84232|archive-date=12 July 2018|access-date=12 July 2018|url-status=live}}</ref> Pada tahun 2017, para peneliti di [[Bodleian Library]] melaporkan hasil [[penanggalan radiokarbon]] untuk tiga sampel dari manuskrip tersebut, dan mengindikasikan bahwa manuskrip tersebut berasal dari tiga abad yang berbeda: dari 224-383 Masehi, 680-779 Masehi, dan 885-993 Masehi. Tidak diketahui alasan fragmen-fragmen kulit [[Burja|kayu burja]] (''birch'') dari abad yang berbeda-beda dapat dikemas bersama untuk membentuk manuskrip tersebut. Jika tulisan pada fragmen-fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan usia kulit kayu tersebut, ini menunjukkan penggunaan tertua yang tercatat dari simbol nol di [[Asia Selatan]]. Jika tulisan pada fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan fragmen-fragmen tersebut, maka ini merupakan penggunaan simbol nol tertua yang tercatat di Asia Selatan. Namun, ada kemungkinan bahwa tulisan tersebut berasal dari periode waktu fragmen termuda, yaitu 885-993 Masehi. Penanggalan yang terakhir ini dianggap lebih konsisten dengan penggunaan nol yang canggih di dalam dokumen tersebut, karena beberapa bagian dari dokumen tersebut tampak menunjukkan bahwa nol digunakan sebagai angka, dan bukan hanya sebagai penanda posisi.<ref name="Devlin 2017">{{Cite news|last=Devlin|first=Hannah|author-link=Hannah Devlin|date=13 September 2017|title=Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol|url=https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol|work=The Guardian|issn=0261-3077|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120225416/https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol|archive-date=20 November 2017|access-date=14 September 2017|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite news|date=14 September 2017|title=Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'|url=http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14|work=Bodleian Library|archive-url=https://web.archive.org/web/20170914215604/http://www.bodleian.ox.ac.uk/bodley/news/2017/sep-14|archive-date=14 September 2017|access-date=25 October 2017|url-status=live}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Plofker|first1=Kim|last2=Keller|first2=Agathe|last3=Hayashi|first3=Takao|author-link3=Takao Hayashi|last4=Montelle|first4=Clemency|author-link4=Clemency Montelle|last5=Wujastyk|first5=Dominik|date=2017-10-06|title=The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating|url=https://journals.library.ualberta.ca/hssa/index.php/hssa/article/view/22|journal=History of Science in South Asia|language=en|volume=5|issue=1|pages=134–150|doi=10.18732/H2XT07|author-link1=Kim Plofker|doi-access=free}}</ref>
Teks [[Jainisme]] tentang [[kosmologi]] ''[[Lokavibhaga|Lokavibhāga]]'' yang ditulis tahun 458 M ([[era Saka]] 380) menggunakan sistem nilai-tempat desimal, termasuk nol. Dalam teks ini, ''[[Śūnyatā|śūnya]]'' ("hampa, kosong") juga digunakan untuk merujuk pada nol.{{sfnp|Ifrah|2000|p=416}}
Baris 83:
Berdasarkan [[epigrafi]], cabang ilmu [[arkeologi]] yang meneliti benda-benda tertulis masa lampau, titik hitam digunakan sebagai penanda-tempat desimal dalam [[manuskrip Bakhshali]], yang sebagiannya tertanggal dari tahun 224–993 M.<ref name="Devlin 20173">{{Cite news|last=Devlin|first=Hannah|author-link=Hannah Devlin|date=13 September 2017|title=Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol|url=https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol|work=The Guardian|issn=0261-3077|archive-url=https://web.archive.org/web/20171120225416/https://www.theguardian.com/science/2017/sep/14/much-ado-about-nothing-ancient-indian-text-contains-earliest-zero-symbol|archive-date=20 November 2017|access-date=14 September 2017|url-status=live}}</ref> Ada banyak prasasti lempengan tembaga dengan simbol o kecil yang sama, beberapa di antaranya mungkin berasal dari abad ke-6, tetapi tanggal atau keasliannya masih diragukan.{{sfn|Kaplan|2000}}
Sebongkah lauh (''inscription'') batu ditemukan di reruntuhan kuil dekat Sambor di [[Mekong]], [[Provinsi Kratié]], [[Kamboja]], memuat tulisan "605" dalam [[angka Khmer]] (seperangkat glif untuk [[sistem bilangan Hindu-Arab]]). Angka tersebut adalah tahun prasasti pada [[era Saka]], yang setara dengan tanggal 683 M.<ref>{{cite journal|last=Cœdès|first=George|author-link=George Cœdès|date=1931|title=A propos de l'origine des chiffres arabes|journal=Bulletin of the School of Oriental Studies, University of London|language=fr|publisher=Cambridge University Press|volume=6|pages=323–328|doi=10.1017/S0041977X00092806|jstor=607661|number=2|s2cid=130482979}}</ref><ref>{{cite journal|last=Diller|first=Anthony|date=1996|title=New Zeros and Old Khmer|url=sealang.net/sala/archives/pdf8/diller1996new.pdf|journal=[[Mon-Khmer Studies]]|volume=25|pages=125–132|
Penggunaan [[glif]] khusus yang tak-terbantahkan untuk angka-angka desimal meliputi simbol untuk angka nol (berupa lingkaran kecil), muncul dalam lauh batu yang ditemukan di [[Kuil Chaturbhuj]], [[Gwalior]], di India, dengan bertanggal 876 Masehi.{{sfnp|Ifrah|2000|p=400}}<ref>{{Cite web|last=Casselman|first=Bill|author-link=Bill Casselman (mathematician)|title=All for Nought|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero|website=ams.org|publisher=University of British Columbia), American Mathematical Society|archive-url=https://web.archive.org/web/20151206184352/http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero|archive-date=6 December 2015|access-date=20 December 2015|url-status=live}}</ref>
Baris 120:
=== Aljabar dasar ===
[[Berkas:Number_line_with_numbers_-3_to_3.svg|jmpl|300x300px|[[Garis bilangan]] dari -3 sampai 3, dengan 0 terletak di tengah.]]
Bilangan 0 adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat taknegatif]] terkecil, sekaligus bilangan bulat takpositif terbesar. [[Bilangan asli]] tepat setelah 0 adalah 1 dan tidak ada bilangan asli sebelum 0. Bilangan 0 dapat dianggap atau tidak dianggap sebagai bilangan asli;{{sfn|Cheng|2017|p=32}}<ref>{{Cite book|last1=Bunt|first1=Lucas Nicolaas Hendrik|last2=Jones|first2=Phillip S.|last3=Bedient|first3=Jack D.|year=1976|url=https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC|title=The historical roots of elementary mathematics|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-13968-5|pages=254–255|access-date=5 January 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160623174716/https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC|archive-date=23 June 2016|url-status=live}}, [https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA255 Extract of pp. 254–255] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160510195505/https://books.google.com/books?id=7xArILpcndYC&pg=PA255|date=10 May 2016}}</ref> setidaknya 0 adalah [[bilangan bulat]], sehingga juga merupakan [[bilangan rasional]] dan [[bilangan riil]].{{sfn|Cheng|2017|pp=41, 48–53}} Semua bilangan rasional merupakan [[bilangan aljabar]], termasuk 0. Ketika bilangan-bilangan riil diperluas untuk membentuk [[Bilangan kompleks|bilangan-bilangan kompleks]], 0 menjadi [[Titik nol|titik asal]] dari [[bidang kompleks]].
Bilangan nol dapat dianggap bukan positif maupun negatif,<ref>{{Cite web|author=Weisstein, Eric W.|title=Zero|url=http://mathworld.wolfram.com/Zero.html|website=Wolfram|language=en|archive-url=https://web.archive.org/web/20130601190920/http://mathworld.wolfram.com/Zero.html|archive-date=1 June 2013|access-date=4 April 2018|url-status=live}}</ref> atau alternatif lain, sekaligus positif dan negatif;<ref>{{Cite book|last=Weil|first=André|date=2012-12-06|url=https://books.google.com/books?id=NEHaBwAAQBAJ&pg=PA3|title=Number Theory for Beginners|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4612-9957-8|language=en|author-link=André Weil|access-date=6 April 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210614182810/https://books.google.com/books?id=NEHaBwAAQBAJ&pg=PA3|archive-date=14 June 2021|url-status=live}}</ref> umumnya 0 digambarkan di tengah [[garis bilangan]]. Nol adalah [[bilangan genap]]<ref>[[Lemma (mathematics)|Lemma]] B.2.2, ''The integer 0 is even and is not odd'', in {{Cite book|last=Penner|first=Robert C.|year=1999|url=https://archive.org/details/discretemathemat0000penn|title=Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures|publisher=World Scientific|isbn=978-981-02-4088-2|page=[https://archive.org/details/discretemathemat0000penn/page/34 34]}}</ref> (artinya kelipatan 2), dan juga [[Kelipatan (matematika)|kelipatan]] dari sebarang bilangan bulat, rasional, dan riil lainnya. Nol bukan [[bilangan prima]] maupun [[bilangan komposit]]: bukan prima karena bilangan prima bernilai lebih besar daripada 1 berdasarkan definisinya, dan bukan komposit karena tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan asli yang lebih kecil.<ref>{{Cite book|last=Reid|first=Constance|year=1992|title=From zero to infinity: what makes numbers interesting|title-link=From Zero to Infinity|publisher=[[Mathematical Association of America]]|isbn=978-0-88385-505-8|edition=4th|page=23|quote=zero neither prime nor composite}}</ref>
=== Kegunaan lainnya ===▼
Berikut adalah beberapa aturan dasar saat berurusan dengan bilangan 0. Aturan-aturan ini berlaku untuk sebarang bilangan riil maupun kompleks <math>x</math>, kecuali dinyatakan lainnya:
* [[Penambahan]]: <math>x+0=0+x=x.</math> Artinya, 0 adalah [[unsur identitas]] terhadap penambahan.
* [[Pengurangan]]: <math>x-0=x</math> dan <math>0-x=-x.</math>
* [[Perkalian]]: <math>x\cdot0=0\cdot x = 0.</math>
* [[Pembagian]]: <math>\tfrac{0}{x}=0</math>, untuk <math>x</math> bukan bernilai nol. Namun [[Pembagian oleh nol|{{sfrac|''x''|0}}]] [[Takterdefinisi (matematika)|tidak terdefinisi]] karena 0 tidak memiliki [[invers perkalian]] berdasarkan aturan sebelumnya di atas (tidak ada bilangan yang menghasilkan 1 ketika dikali dengan 0).{{sfn|Cheng|2017|p=47}}
* [[Perpangkatan]]: <math>x^0=\tfrac{x}{x}=1,</math> kecuali [[Nol pangkat nol|kasus ketika ''x'' = 0]] yang dianggap takterdefinisi dalam beberapa konteks. Untuk semua bilangan rill positif <math>x</math>, <math>0^x=0.</math>
Ekspresi <math>\tfrac{0}{0}</math>, yang dapat dihasilkan saat mencoba menentukan [[Limit (matematika)|limit]] dari ekspresi berbentuk <math display="inline">\tfrac{f(x)}{g(x) }</math>, dengan menerapkan operator <math>\lim</math> secara terpisah ke kedua fungsi, dikenal sebagai "[[bentuk tak tentu]]." Hal ini tidak mengartikan limit yang dicari tidak terdefinisi; melainkan limit dari <math display="inline">\tfrac{f(x)}{g(x) }</math>, jika ada, harus ditentukan dengan cara-cara lain, contohnya [[aturan L'Hôpital]].<ref>{{Cite book|last1=Herman|first1=Edwin|last2=Strang|first2=Gilbert|date=2017|url=https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1|title=Calculus|location=Houston, Texas|publisher=OpenStax|isbn=978-1-938168-02-4|volume=1|pages=454–459|oclc=1022848630|display-authors=etal|author-link2=Gilbert Strang|access-date=26 July 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20220923230919/https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1|archive-date=23 September 2022|url-status=live}}</ref>
Penjumlahan dari 0 bilangan (''[[jumlah kosong]]'') adalah 0, dan perkalian dari 0 bilangan (''[[perkalian kosong]]'') adalah 1. [[Faktorial]] <math>0!</math> sama dengan 1, sebagai kasus khusus dari perkalian kosong.<ref name="gkp">{{cite book|last1=Graham|first1=Ronald L.|last2=Knuth|first2=Donald E.|last3=Patashnik|first3=Oren|date=1988|title=Concrete Mathematics|title-link=Concrete Mathematics|location=Reading, MA|publisher=Addison-Wesley|isbn=0-201-14236-8|page=111|author1-link=Ronald Graham|author2-link=Donald Knuth|author3-link=Oren Patashnik}}</ref>
▲=== Kegunaan lainnya dalam matematika ===
[[Berkas:Nullset.svg|jmpl|129x129px|Himpunan kosong memiliki nol anggota.]]
Peran bilangan 0 sebagai [[bilangan cacah]] terkecil dapat diperumum maupun diperluas dalam banyak cara.
Dalam [[teori himpunan]], 0 adalah [[kardinalitas]] dari [[himpunan kosong]]: jika seseorang tidak memiliki apel, maka dia memiliki 0 apel. Faktanya, dalam beberapa perkembangan matematika aksiomatik dari teori himpunan, 0 ''[[Definisi|didefinisikan]]'' sebagai himpunan kosong.{{sfn|Cheng|2017|p=60}} Jika itu dilakukan, himpunan kosong menjadi [[penetapan kardinal]] von Neumann untuk himpunan tanpa anggota; akibatnya fungsi kardinalitas yang diterapkan pada himpunan kosong selanjutnya menghasilkan himpunan kosong sebagai nilai. Bilangan nol juga menjadi [[bilangan ordinal]] terkecil, selaras dengan pandangan himpunan kosong sebagai [[Urutan rapi|himpunan terurut-rapi]]. Dalam [[Teori urutan|teori tatanan]] (khususnya subcabang [[Kekisi (tatanan)|teori kekisi]]), 0 dapat mewakili [[Elemen terkecil dan terbesar|elemen terkecil]] suatu [[Kekisi (grup)|kekisi]] atau [[himpunan terurut parsial]] lainnya.
Peran 0 sebagai identitas penambahan dapat diperumum di luar aljabar dasar. Dalam [[aljabar abstrak]], 0 umumnya digunakan untuk mewakili [[elemen nol]], yang merupakan [[unsur identitas]] untuk penambahan (jika terdefinisi pada struktur yang bersangkutan) dan [[elemen penyerap]] untuk perkalian (jika terdefinisi). Beberapa contohnya meliputi [[elemen identitas]] dari [[Grup aditif|grup-grup aditif]] dan [[Ruang vektor|ruang-ruang vektor]]. Contoh lainnya adalah fungsi nol (atau peta nol) pada domain <math>D.</math> Ini adalah [[fungsi konstan]] dengan 0 sebagai nilainya; yakni fungsi yang didefinisikan sebagai <math>f(x)=0</math> untuk semua <math>x\in D.</math> Dalam konteks fungsi dari bilangan riil ke bilangan riil, fungsi nol adalah satu-satunya fungsi yang berupa [[fungsi genap]] sekaligus [[Fungsi ganjil dan genap|ganjil]].
Bilangan 0 juga digunakan dalam beberapa hal lainnya di banyak cabang matematika, beberapanya meliputi:
* [[Akar fungsi|Nilai-nilai nol dari fungsi]] <math>f</math> adalah semua titik <math>x</math> di domain fungsi dengan <math>f(x)=0.</math>
* Dalam [[kalkulus proposisional]], 0 dapat digunakan untuk mewakili [[nilai kebenaran]] salah.
* Dalam [[teori peluang]], 0 adalah nilai terkecil yang mungkin untuk peluang suatu kejadian.{{sfn|Kardar|2007|p=35}}
== Sains komputer ==
Komputer modern menyimpan informasi dalam [[Sistem bilangan biner|biner]], yakni sistem penulisan yang terdiri hanya dari dua simbol, umumnya dipilih "0" dan "1". Kode biner cocok digunakan untuk [[elektronika digital]], karena "0" dan "1" dapat diartikan ketiadaan atau keberadaan arus listrik dalam kabel.{{sfn|Woodford|2006|p=9}} [[Pemrogram komputer]] umumnya menggunakan [[Bahasa pemrograman tingkat tinggi|bahasa pemrograman tingkat-tinggi]] yang lebih mudah dipahami manusia ketimbang [[Bahasa mesin|instruksi-instruksi biner]] yang dapat langsung diproses oleh [[Unit Pemroses Sentral]]. Simbol 0 digunakan dalam aspek-aspek penting di bahasa tingkat-tinggi. Sebagai contoh, [[Tipe data boolean|variabel Boolean]] digunakan untuk menyimpan nilai antara ''benar'' atau ''salah'', dan 0 sering dipilih sebagai representasi numerik dari ''salah''.{{sfn|Hill|2020|p=20}}
Simbol 0 juga berperan dalam pengindeksan [[Larik (tipe data)|larik]]. Satu praktik umum sepanjang sejarah manusia adalah menghitung dari satu, dan ini diterapkan dalam bahasa pemrograman klasik seperti [[Fortran]] dan [[COBOL]].<ref>{{Cite book|last=Overland|first=Brian|date=2004-09-14|url=https://books.google.com/books?id=bW6MiHxPULUC&dq=cobol+array+index&pg=PT132|title=C++ Without Fear: A Beginner's Guide That Makes You Feel Smart|publisher=Pearson Education|isbn=978-0-7686-8488-9|pages=132|language=en}}</ref> Namun di akhir tahun 1950-an, [[LISP]] memperkenalkan [[penomoran berbasis-nol]] untuk larik, sedangkan [[Algol 58]] memperkenalkan indeks yang fleksibel untuk larik (memungkinkan bilangan positif, nol, dan negatif, untuk indeks dari larik); yang membuat bahasa-bahasa pemrograman masa selanjutnya memilih salah satu dari dua sudut pandang tersebut. {{Citation needed|date=June 2024}}Sebagai contoh, elemen-elemen larik di [[C (bahasa pemrograman)|C]] dinomori dari 0; sehingga untuk larik dengan ''n'' elemen, indeks larik berada di interval nilai 0 sampai ''n-''1.<ref>{{Cite book|last1=Oliveira|first1=Suely|last2=Stewart|first2=David E.|date=2006-09-07|url=https://books.google.com/books?id=E6a8oZOS8noC&dq=C+array+index+zero&pg=PA64|title=Writing Scientific Software: A Guide to Good Style|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-139-45862-7|pages=64|language=en}}</ref> Kerancuan terkait indeks berbasis-0 dan berbasis-1 dapat terjadi. Sebagai contoh, parameter indeks [[JDBC]] di Java dimulai dari 1, sedangkan [[Java (bahasa pemrograman)|Java]] sendiri menggunakan indeks berbasis-0.<ref>{{Cite web|title=ResultSet (Java Platform SE 8 )|url=https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/sql/ResultSet.html|website=docs.oracle.com|archive-url=https://web.archive.org/web/20220509185749/https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/java/sql/ResultSet.html|archive-date=9 May 2022|access-date=2022-05-09|url-status=live}}</ref>
Dalam [[Pangkalan data|basis data]], suatu medan (''field'') mungkin tidak memiliki nilai; dan dalam kasus seperti itu disebut memiliki [[nilai null]].<ref>{{Cite book|last1=Wu|first1=X.|last2=Ichikawa|first2=T.|last3=Cercone|first3=N.|date=25 October 1996|url=https://books.google.com/books?id=SdLsCgAAQBAJ&q=%C2%A0In+databases%2C+it+is+possible+for+a+field+not+to+have+a+value+%28null%29&pg=PT197|title=Knowledge-Base Assisted Database Retrieval Systems|publisher=World Scientific|isbn=978-981-4501-75-0|language=en|access-date=7 November 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20220331032618/https://books.google.com/books?id=SdLsCgAAQBAJ&q=%C2%A0In+databases%2C+it+is+possible+for+a+field+not+to+have+a+value+%28null%29&pg=PT197|archive-date=31 March 2022|url-status=live}}</ref> Untuk medan numerik nilai ini bukanlah bilangan 0, dan untuk medan teks bukanlah teks kosong. Keberadaan nilai null menghasilkan [[logika tiga-nilai]]. Dalam logika ini, kondisi juga dapat bernilai ''tak tentu'', selain bernilai ''benar'' atau ''salah''. Semua perhitungan yang menyertakan nilai null menghasilkan nilai null.<ref>{{cite web|author=<!--Not stated-->|date=12 December 2018|title=Null values and the nullable type|url=https://www.ibm.com/docs/en/rbd/9.5.1?topic=parts-null-values-nullable-type|website=IBM|archive-url=https://web.archive.org/web/20211123185142/https://www.ibm.com/docs/en/rbd/9.5.1?topic=parts-null-values-nullable-type|archive-date=23 November 2021|access-date=23 November 2021|quote=In regard to services, sending a null value as an argument in a remote service call means that no data is sent. Because the receiving parameter is nullable, the receiving function creates a new, uninitialized value for the missing data then passes it to the requested service function.|url-status=live}}</ref>
Dalam [[Bilangan biner bertanda|representasi bilangan bertanda]] di beberapa perangkat keras komputer, nol memiliki dua representasi berbeda: +0 yang dikelompokkan bersama dengan bilangan-bilangan positif, dan -0 yang dikelompokkan dengan yang negatif. Representasi ini dikenal dengan [[nol bertanda]], dan bentuk kedua sebelumnya terkadang disebut sebagai nol negatif. Representasi ini meliputi representasi biner [[besaran bertanda]], [[komplemen satu]] (tapi tidak bentuk biner [[komplemen dua]] yang digunakan di sebagian besar komputer modern), dan sebagian besar representasi bilangan [[Aritmetika titik kambang|titik kambang]] (seperti format titik kambang [[IEEE floating point|IEEE 754]] dan [[IBM hexadecimal floating-point|IBM S/390]]).{{citation needed|date=December 2023}}
Dalam istilah komputasi, [[Kurun (komputasi)|kurun]] adalah tanggal dan waktu yang diasosiasikan dengan stempel waktu (''timestamp'') nol. [[Waktu Unix|Kurun Unix]] dimulai pada tengah malam sebelum 1 Januari 1970.<ref>Paul DuBois. [https://books.google.com/books?id=lFsaBAAAQBAJ "MySQL Cookbook: Solutions for Database Developers and Administrators"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170224134429/https://books.google.com/books?id=lFsaBAAAQBAJ|date=24 February 2017}} 2014. p. 204.</ref><ref>Arnold Robbins; Nelson Beebe. [https://books.google.com/books?id=J9WbAgAAQBAJ "Classic Shell Scripting"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170224134147/https://books.google.com/books?id=J9WbAgAAQBAJ|date=24 February 2017}}. 2005. p. 274</ref><ref>Iztok Fajfar. [https://books.google.com/books?id=eHq9CgAAQBAJ "Start Programming Using HTML, CSS, and JavaScript"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170224134155/https://books.google.com/books?id=eHq9CgAAQBAJ|date=24 February 2017}}. 2015. p. 160.</ref> Kurun [[Classic Mac OS|Mac OS Klasik]] dan kurun [[Palm OS]] dimulai pada tengah malam sebelum 1 Januari 1904.<ref>Darren R. Hayes. [https://books.google.com/books?id=0qPfBQAAQBAJ "A Practical Guide to Computer Forensics Investigations"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170224134341/https://books.google.com/books?id=0qPfBQAAQBAJ|date=24 February 2017}}. 2014. p. 399</ref>
Di C, suatu [[bita]] yang mengandung nilai 0 digunakan untuk menandakan akhir dari karakter [[untaian]]. Simbol 0 juga digunakan sebagai cara standar untuk merujuk [[Null pointer|''null'' ''pointer'']] di kode.<ref>{{cite book|last=Reese|first=Richard M.|year=2013|url=https://books.google.com/books?id=-U155tRMLJgC&dq=C%20%22null%20pointer%22%200&pg=PT26|title=Understanding and Using C Pointers: Core Techniques for Memory Management|publisher=O'Reilly Media|isbn=978-1-449-34455-9}}</ref> Banyak [[Application programming interface|API]] dan [[sistem operasi]] mengharuskan aplikasi menghasilkan nilai bilangan sebagai [[nilai keluar]], umumnya nol untuk menandakan sukses dan tak-nol untuk menandakan suatu [[galat]] spesifik atau pesan peringatan.<ref>{{cite book|author=Marc J. Rochkind|year=1985|url=|title=Advanced UNIX Programming|location=Englewood Cliffs, NJ|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-011818-4|series=Prentice-Hall Software Series|volume=}} Here: Sect.5.5 "Exit system call", p.114.</ref>{{citation needed|date=December 2023|reason=Give citations about a couple of other APIs / OSs.}}
== Pranala luar ==
| |||