Deret geometrik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
FelixJL111 (bicara | kontrib) FelixJL111 memindahkan halaman Deret geometri ke Barisan dan deret geometri Tag: Pengalihan baru |
Tag: pranala ke halaman disambiguasi |
||
| (16 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
''Artikel ini berisi tentang deret geometri takhingga. Untuk penjumlahan terhingga, lihat [[barisan geometri]].''[[Berkas:GeometricSquares.svg|ka|jmpl|Setiap dari persegi berwarna ungu memiliki <math display="inline">\frac{1}{4}</math> dari luas persegi besar berikutnya <math display="inline">\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}, \text{ dst.} \right)</math>. Penjumlahan dari luas persegi berwarna ungu adalah sepertiga dari luas persegi besar.]]
[[Berkas:Geometric_squares2r.png|ka|jmpl|Deret geometri lain (skala umum <math display="inline">a = \frac{4}{9}</math> dan rasio umum <math display="inline">r = \frac{1}{9}</math>) ditunjukkan sebagai luas persegi berwarna ungu. Total luas berwarna ungu adalah <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\left(\frac{4}{9}\right)}{1 - \left(\frac{1}{9}\right)} = \frac{1}{2}</math>, yang bisa dikonfirmasi dengan mengamati bahwa di luar persegi dipartisi menjadi sebuah jumlah tak terhingga luas berbentuk L masing-masing empat persegi berwarna ungu dan empat persegi berwarna kuning, yang setengah berwarna ungu.]]
Dalam [[matematika]], sebuah '''deret geometrik''' adalah sebuah [[Deret (matematika)|deret]] dengan sebuah rasio konstanta antara [[Istilah (matematika)|suku]] yang berurutan. Sebagai contoh, [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|deret]]
: <math>\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots</math>
adalah geometrik, karena setiap suku yang berurutan bisa diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya oleh <math display="inline">\frac{1}{2}</math>.
Deret geometrik termasuk contoh yang paling sederhana dari [[deret tak terhingga]] dengan penjumlahan hingga, meskipun tidak semua dari mereka memiliki sifat ini. Menurut sejarah, deret geometrik memainkan peran penting dalam pengembangan [[kalkulus]] sebelumnya, dan mereka melanjutkan menjadi pusat dalam studi [[Deret konvergen|konvergensi]] deret. Deret geometris digunakan di seluruh matematika, dan mereka memiliki penerapan penting dalam [[fisika]], [[teknik]], [[biologi]], [[Ilmu ekonomi|ekonomi]], [[ilmu komputer]], [[teori antrean]], dan [[keuangan]].
== Rasio umum ==
[[Berkas:Geometric_Segment.svg|jmpl|Konvergensi dari deret geometrik dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2}</math> dan <math display="inline">a = \frac{1}{2}</math>]]
[[Berkas:Geometrische_reihe.svg|jmpl|Konvergensi dari deret geometrik dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2}</math> dan <math display="inline">a = \frac{1}{2}</math>]]
Isrilah dari sebuah deret geometrik membentuk sebuah [[Barisan dan deret geometri|progresi geometrik]], artinya rasio dari suku yang berurutan dalam deret adalah konstanta. Hubungan ini memungkinkan untuk mewakili dari sebuah deret geometrik menggunakan hanya dua suku, <math>r </math> dan <math>a </math>. suku <math>r </math> adalah rasio umum, dan <math>a </math> adalah suku pertama dari deret. Sebagai sebuah contoh deret geometrik diberikan dalam pendahuluan;
: [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|<math>\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots</math>]]
hanya dapat ditulis sebagai
: <math> a + a r + a r^2 + a r^3 + \cdots </math> , dengan <math> a = \frac{1}{2} </math> dan <math> r = \frac{1}{2} </math>.
Tabel berikut menunjukkan beberapa deret geometrik dengan
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
!Suku awal, <math>a </math>
!Rasio umum, <math>r </math>
!Contoh deret
|-
| style="text-align:center;" |<math>4 </math>
| style="text-align:center;" |<math>10</math>
|<math>4 + 40 + 400 + 4\ 000 + 40\ 000 + \dots</math>
|-
| style="text-align:center;" |<math>9 </math>
| style="text-align:center;" |<math>\frac{1}{3} </math>
|<math>9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots</math>
|-
| style="text-align:center;" |<math>7</math>
| style="text-align:center;" |<math>\frac{1}{10}</math>
|<math>7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + \dots</math>
|-
| style="text-align:center;" |<math>3</math>
| style="text-align:center;" |<math>1</math>
|<math>3 + 3 + 3 + 3 + 3 + \dots</math>
|-
| style="text-align:center;" |<math>1</math>
| style="text-align:center;" |<math>-\frac{1}{2}</math>
|<math>1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32} + \dots</math>
|-
| style="text-align:center;" |<math>3</math>
| style="text-align:center;" |<math>-1</math>
|<math>3 - 3 + 3 - 3 + 3 - \dots</math>
|}
Perilaku dari suku tergantung pada rasio umum <math>r </math>.
* Jika <math>r </math> diantara <math>-1</math> dan <math>+1</math>, suku dari deret mendekati nol dalam limit (menjadi lebih kecil dan lebih kecil, lihat [[Nilai absolut|ukurannya]]), dan deret konvergen dengan sebuah penjumlahan. Dalam kasus di atas, dimana <math>r </math> adalah <math>\frac{1}{2}</math>, deretnya konvergen dengan <math>1</math>.
* Jika <math>r </math> '''lebih besar daripada satu''' atau '''lebih kecil daripada negatif satu''', suku dari deret menjadi lebih besar dan lebih besar dalam ukurannya. Jumlah dari suku juga menjadi lebih besar dan lebih besar, dan deretnya tidak memiliki penjumlahan (deretnya [[Deret divergen|divergen]].)
* Jika <math>r </math> '''sama dengan satu''', semua suku dari deret akan sama. Deretnya divergen.
* Jika <math>r </math> adalah '''negatif satu''', sukunya mengambil dua nilai secara bergantian (sebagai contoh, <math>2, -2, 2, -2, 2, \dots</math>). Penjumlahan dari sukunya [[Ayunan (matematika)|berkisar]] antara dua nilai (sebagai contoh, <math>2, 0, 2, 0, 2, \dots</math>). Ini adalah berbagai jenis divergen dan lagi deretnya tidak memiliki jumlah. Lihat misalnya [[deret Grandi]]ː <math>1 - 1 + 1 - 1 + \dots</math>ː
== Jumlah ==
Jumlah dari sebuah deret geometrik adalah hingga selama nilai absolut dari rasio kurang dari 1, karena bilangan mendekati nol, mereka menjadi sangat kecil, memungkinkan sebuah penjumlahan untuk dihitung meskipun deretnya mengandung suku banyak yang takhingga.
=== Contoh ===
[[Berkas:Infinite_geometric_series_sum.svg|jmpl|300x300px|Derivasi visual dari penjumlahan suku takhingga dari sebuah deret geometrik]]
Tinjau penjumlahan dari deret geometrik berikut ini
: <math>s \;=\; 1 \,+\, \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \cdots</math>.
Deret ini memiliki rasio <math>\frac{2}{3}</math>. Jika kita mengalikan melalui oleh rasio ini, maka awalnya <math>1 </math> menjadi <math>\frac{2}{3}</math>, <math>\frac{2}{3}</math> menjadi <math>\frac{4}{9}</math>, dan begitu seterusnyaː
: <math>\frac{2}{3}s \;=\; \frac{2}{3} \,+\, \frac{4}{9} \,+\, \frac{8}{27} \,+\, \frac{16}{81} \,+\, \cdots </math>.
Deret baru ini sama dengan aslinya, kecuali bahwa suku pertama menghilang. Mengurangi deret baru <math>\frac{2}{3}s</math> dengan deret asli <math>s </math> membatalkan setiap suku dalam aslinya tetapi pertamanya,
: <math>s \,-\, \frac{2}{3}s \;=\; 1,\;\;\;\mbox{so }s=3.</math>
Sebuah teknik yang serupa bisa digunakan untuk mengevaluasi setiap ekspresi [[Kesamaan diri|serupa diri]].
=== Rumus ===
[[Berkas:Geometric_squares3.png|jmpl|Turunan geometrik berikut dari <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r}</math> mulai dengan mewakili suku-suku dari deret geometrik <math display="inline">1, r, r^2, \dots, r^i, \dots</math> sebagai luas persegi bertindih,
<math display="inline">A_0,A_1,A_2,\dots,A_i,\dots</math> masing-masing. Setiap luas persegi bertindih <math display="inline">A_i</math> memiliki luas berbentuk L tak bertindih <math display="inline">L_i = A_i - A_{i + 1} = A_i \cdot (1 - r)</math>. Oleh karena itu, <math display="inline">\frac{A_i}{L_i} = \frac{1}{1 - r}</math> atau <math display="inline">A_i = \frac{L_i}{1 - r}</math>. Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>. Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah <math display="inline">1 </math> (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math> juga harus <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>, di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r}</math>, di mana diturunkan untuk rentang <math display="inline">0 < r < 1</math> tetapi bisa diperpanjang hingga rentang <math display="inline">-1 < r < 1</math> dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap <math display="inline">r</math> (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil <math display="inline">r</math> (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r^2} + \frac{ar}{1 - r^2} = \frac{a \cdot (1 + r)}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{a}{1 - r}</math>.]]
[[Berkas:Geometric_squares4.png|jmpl|Berikut ini adalah sebuah turunan geometrik dari rumus untuk deret geometrik parsial <math>S = 1 + r + r^2 + \dots + r^{n - 1}</math> dengan rasio <math>r > 1</math>. Setiap suku dari deret <math>r^i</math> diwakli oleh luas dari persegi bertindih <math>A_i</math> yang dapat berubah menjadi luas berbentuk ;. Setiap luas berbentuk L <math>L_i = A_i - A_{i-1} = \left(1 -\frac{1}{r}\right)A_i = \frac{\left(r - 1\right)A_i}{r} = \left(r - 1\right)A_{i-1}</math>, yang ekuivalen dengan <math display="inline">L_{i + 1} = (r - 1)A_i</math>, atau <math display="inline">A_i = \frac{L_{i + 1}}{r - 1}</math>. Oleh karena itu, <math display="inline">S </math>, jumlah dari <math>A_i</math> pada <math>i = 0 </math> ke <math display="inline">n - 1</math> sama dengan jumlah dari <math display="inline">\frac{L_{i}}{r - 1}</math> pada <math display="inline">i = 1</math> ke <math display="inline">n</math>. Catat bahwa tak berskala <math>L_i</math> pada <math display="inline">i = 1</math> ke <math display="inline">n</math> hanya sebuah partisi <math>A_n</math> kurang takik dari kanan atas luas <math display="inline">A_0</math>, <math display="inline">S = \frac{A_n - A_0}{r - 1} = \frac{r^n - 1}{r - 1}</math>. Menerapkan sebuah skala <math display="inline">a</math> ke semua hasil jumlah bertindih dan luas tak bertindih dalam <math display="inline">S = \frac{a \cdot (r^n - 1)}{r - 1}</math>.
]]
Untuk <math>r \ne 1</math>, [[Barisan dan deret geometri|jumlah dari suku pertama <math display="inline">n</math> dari sebuah deret geometrik]] adalah
: <math>a + ar + a r^2 + a r^3 + \cdots + a r^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} ar^k= a \left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right),</math>
dimana <math>a</math> adalah suku pertama dari deret, dan <math>r</math> adalah rasio. Salah satunya bisa menurunkan rumus untuk penjumlahan, <math>s</math>, sebagai berikutː
Karena <math>n</math> mendekati tak terhingga, nliai absolut <math>r</math> harus lebih kecil dari satu untuk deret ke konvergen. Penjumlahannya kemudian menjadi
Ketika <math>a = 1</math>, ini bisa disederhanakan menjadi
: <math>1 \,+\, r \,+\, r^2 \,+\, r^3 \,+\, \cdots \;=\; \frac{1}{1-r}</math>,
sisi kiri menjadi sebuah deret geometrik dengan rasio <math>r</math>.
Rumusnya juga berlaku untuk kompleks <math>r</math>, dengan pembatasan yang sesuai, [[Nilai absolut|modulus]] <math>r</math> sangat kurang dari satu.
=== Bukti kekonvergenan ===
Kita bisa membuktikan bahwa deret geometrik konvergen menggunakan rumus penjumlahan untuk sebuuah [[barisan geometri]]kː
: <math>\begin{align}
1 + r + r^2 + r^3 + \cdots \ &= \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^n\right) \\
&= \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1-r^{n+1}}{1-r}.
\end{align}</math>
Karena
<math>\begin{align}
(1 + r + r^2 + \dots + r^n)(1 - r) &= (1-r) + (r - r^2) + \dots + (r^n - r^{n+1})\\
&= 1 + (-r + r -r^2 + r^2 - \dots - r^n + r^n) - r^{n+1}\\
&= 1 - r^{n+1} \,\, \text{dan}\,\, r^{n+1} \to 0 \,\,\text{untuk}\,\, | r | < 1
\end{align}</math>
Kekonvergenan dari deret geometrik bisa juga didemonstrasikan dengan menulis deret sebagai sebuah [[deret teleskopik]] yang setara,
: <math>
g(K) = \frac{r^{K}}{1-r}
</math>.
Perhatikan bahwa
Dengan demikian,
: <math>
S = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = (g(0) - g(1)) + (g(1) - g(2)) + (g(2) - g(3)) + \cdots
</math>.
Jika
: <math> |r| <1 </math>,
maka
: <math>
g(K)\longrightarrow 0 \text{ karena } K \to \infty
</math>.
Jadi <math>
S
</math> konvergen dengan
: <math>
g(0) = \frac{1}{1-r}
</math>.
== Penerapan ==
=== Desimal berulang ===
Sebuah desimal berulang dapat dianggap sebagai sebuah deret geometrik yang rasio adalah satu pangkat <math display="inline">
\frac{1}{10}
</math>. Sebagai contohː
: <math>0.7777\ldots \;=\; \frac{7}{10} \,+\, \frac{7}{100} \,+\, \frac{7}{1000} \,+\, \frac{7}{10000} \,+\, \cdots</math>.
Rumus untuk penjumlahan dari sebuah deret geometrik bisa digunakan untuk mengubah desimal menjadi sebuah pecahan,
: <math>0.7777\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{7/10}{1-1/10} \;=\; \frac{7/10}{9/10} \;=\; \frac{7}{9}</math>.
Rumusnya bekerja tidak hanya untuk sebuah angka tunggal berulang, tetapi juga untuk sebuah kelompok angka berulang. Sebagai contohː
: <math>0.123412341234\ldots \;=\; \frac{a}{1-r} \;=\; \frac{1234/10000}{1-1/10000} \;=\; \frac{1234/10000}{9999/10000} \;=\; \frac{1234}{9999}</math>.
Perhatikan bahwa setiap deret dari desimal berulang yang berulang juga dapat dengan mudah disederhanakan dengan berikut iniː
: <math>0.09090909\ldots \;=\; \frac{09}{99} \;=\; \frac{1}{11}</math>.
: <math>0.143814381438\ldots \;=\; \frac{1438}{9999}</math>.
: <math>0.9999\ldots \;=\; \frac{9}{9} \;=\; 1</math>.
Artinya, sebuah desimal berulang dengan panjang berulang <math>n </math> sama dengan hasil bagi dari bagian berulang (sebagai sebuah [[bilangan bulat]]) dan <math>10^n - 1</math>.
=== Kuadratur Archimedes dari parabola ===
[[Berkas:Parabolic_Segment_Dissection.svg|jmpl|300x300px|Pemisahan Archimedes dari sebuah segmen parabolik menjadi tak terhingga banyaknya segitiga]]
[[Archimedes]] mengunakan jumlah dari sebuah deret geometrik untuk menghitung luas tertutup oleh sebuah [[parabola]] dan sebuah garis lurus. Metodenya memisahkan luas menjadi sebuah jumlah segitiga yang tak terhingga.
Teorema Archimedes menyatakan bahwa total luas di bawah parabola adalah 4/3 dari luas segitiga berwarna biru.
Archimedes menentukan bahwa setiap segitiga berwarna hijau memiliki 1/8 luas dari segitiga berwarna biru, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/8 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya.
Mengasumsikan bahwa segitiga berwarna biru memiliki luas <math>1 </math>, total luas dari sebuah penjumlahan takhingga
: <math>1 \,+\, 2\left(\frac{1}{8}\right) \,+\, 4\left(\frac{1}{8}\right)^2 \,+\, 8\left(\frac{1}{8}\right)^3 \,+\, \cdots</math>.
Suku pertama mewakili luas dari segitiga berwarna biru, suku kedua mewakili luas dari dua segitiga berwarna hijau, suku ketiga mewakili luas dari empat segitiga berwarna kuning, dan seterusnya. Menyederhanakan pecahan-pecahan memberikan
: <math>1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots</math>.
Ini adalah sebuah deret geometrik dengan rasio <math display="inline">\frac{1}{4} </math> dan bagian pecahan sama dengan
: <math>\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3} </math>.
Penjumlahan dari
: <math>\frac{1}{1 -r}\;=\;\frac{1}{1 -\frac{1}{4}}\;=\;\frac{4}{3}</math>.
Perhitungan ini menggunakan [[metode penghabis]], sebuah versi sebelumnya [[integrasi]]. Menggunakan [[kalkulus]], luas yang sama bisa ditemukan oleh sebuah [[integral tentu]].
=== Geometri fraktal ===
[[Berkas:Koch_Snowflake_Triangles.png|jmpl|Interior dari [[kepingan salju Koch]] adalah sebuah gabungan dari banyaknya segitiga tak terhingga.]]
Dalam studi [[fraktal]], deret geometrik sering kali muncul sebagai [[keliling]], [[luas]], atau [[volume]] dari sebuah gambar yang [[Kesamaan diri|serupa diri]].
Sebagai contoh, luas dalam kepingan salju Koch bisa dijelaskan sebagai gabungan dari banyaknya [[segitiga sama sisi]] tak terhingga (lihat gambar). Setia sisi dari segitiga berwarna hijau tepatnya 1/3 ukuran dari sebuah sisi dari segitiga besar berwarna biru, dan karena itu tepat 1/9 luas. Demikian pula, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/9 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya. Mengambil segitiga berwarna biru sebagai sebuah satuan luas, total area dari kepingan salju adalah
: <math>1 \,+\, 3\left(\frac{1}{9}\right) \,+\, 12\left(\frac{1}{9}\right)^2 \,+\, 48\left(\frac{1}{9}\right)^3 \,+\, \cdots</math>.
Suku pertama dari deret ini mewakili luas dari segitiga berwarna biru, suku kedua , total luas dari tiga segitiga berwarna hijau, suku ketiga, total luas dari duabelas segitiga kuning, dan seterusnya. Tidak termasuk awalnya <math>1 </math>, deret ini adalah geometrik dengan rasio konstanta <math display="inline">r = \frac{4}{9}</math>. Suku pertama dari deret geometrik adalah <math display="inline">a = 3 \left(\frac{1}{9} \right) = \frac{1}{3}</math>, jadi jumlah dari
: <math>1\,+\,\frac{a}{1-r}\;=\;1\,+\,\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{9}}\;=\;\frac{8}{5}</math>.
Dengan demikian, kepingan salju Koch memiliki 8/5 luas dari segitiga alas.
=== Paradoks Zeno ===
Kekonvergenan dari sebuah deret geometrik mengungkapkan bahwa sebuah penjumlahan dari sebuah bilangan takhingga yang dijumlahkan memang bisa terbatas, dan juga memungkinkan salah satu untuk menyelesaikan banyaknya paradonks [[Zeno dari Elea|Zeno]].. Sebagai contoh, paradoks dikotomi Zeno menyatakan bahwa gerakan itu tidak mungkin, sebagai salah satu bisa dibagi setiap lintasan yang hingga menjadi sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah dimana setiap langkah diambil menjadi setengah jarak yang tersisa. Kesalaan Zeno ada dalam asumsi bahwa jumlah dari sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah terhingga tidak bisa terhingga. Ini tentu saja tidak benar, sebagaimana dibuktikan oleh kekonvergenan dari deret geometrik dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2} </math>.
Ini, bagaimanpun, bukanlah resolusi lengkap untuk paradoks dikotomi Zeno. Tegasnya, kecuali kita memungkinkan untuk waktu bergerak mundur, dimana ukuran langkah mulia dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2} </math> dan mendekati nol sebagai limit, deret takhingga ini jika tidak harus dimulai dengan sebuah langkah sangat kecil. Memperlakukan [[infinitesimal]] dalam cara ini biasanya bukan sesuatu yang didefinisikan secara matematis dengan ketat, diluar [[Kalkulus nonstandar|Kalkulus Nonstandar]]. Jadi, meskipun benar bahwa di seluruh penjumlahan takhingga menghasilkan sebuah bilangan terhingga, kita tidak dapat menciptakan sebuah pengurutan sederhana dari suku-suku ketika dimulai dari sebuah infintesimal, dan karena itu kita tidak cukup emenggambarkan langkah pertma dari setiap aksi yang diberikan.
=== Euklid ===
Buku IX, Proposisi 35<ref>. Ma</ref> [[Elemen Euk|Euclid's ''Elements'']] mengekspresikan jumlah parsial dari sebuah deret geometrik dalam suku anggota-anggota dari deret. Itu setara dengan rumus modern.
=== Ilmu ekonomi ===
Dalam [[ilmu ekonomi]], deret geometrik digunakan untuk mewakili [[nilai kini]] dari sebuah [[anuitas]] (jumlah uang untuk dibayar dalam interval-interval reguler).
Sebagai contoh, misalkan bahwa sebuah pembayaran $100 akan dibuat untuk pemiliknya dari anuitas sekali setahun (di akhir tahun) dalam [[perpetuitas]]. Menerima $100 setahun dari sekarang kurang berharga daripada $100 langsung, karena salah satu tidak bisa [[Investasi|menginvetasi]] uang hingga salah satu menerimanya. Khususnya, nilai kini $100 setahun ke depan adalah <math display="inline">\frac{$100}{1 + I}</math>, dimana <math>I</math> adalah suku bunga tahunan.
Demikian pula, pembayaran $100 dua tahun ke depan memiliki nilai saat ini <math display="inline">\frac{$100}{(1 + I)^2}</math> (kuadrat karena bunga dua tahun hilang dengan tidak menerima uang sekarang). Karena itu, nilai kini dari menerima uang $100 per tahun dalam perpetuitas adalah
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\$100}{(1+I)^n}</math>,
yang merupakan deret takhinggaː
: <math>\frac{\$ 100}{(1+I)} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^2} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^3} \,+\, \frac{\$ 100}{(1+I)^4} \,+\, \cdots</math>.
Ini adalah deret geometrik dengan rasio <math display="inline">\frac{1}{1 + I}</math>. Jumlah dari suku pertama dibagi dengan (dikurangi satu rasio).
: <math>\frac{\$ 100/(1+I)}{1 - 1/(1+I)} \;=\; \frac{\$ 100}{I}</math>.
Sebagai contoh, jika suku bunga tahunan 10% (<math>I = 0.10</math>), maka seluruh anuitas memiliki sebuah nilai kini <math>\frac{$100}{0.1} = $1 \ 000</math>.
Perhitungan semacam ini digunakan untuk menghitung [[tingkat persentase tahunan]] dari sebuah pinjaman (seperti [[kredit peminjaman rumah]]).
=== Deret pangkat geometrik ===
Rumus untuk sebuah deret geometrik
: <math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots</math>
bisa diartikan sebagai sebuah [[deret pangkat]] dalam pengertian [[teorema Taylor]], konvergen dimana <math>\left| x \right| < 1</math>. Dari ini, salah satu dapat mengekstrapolasi untuk mendapatkan deret pangkat lainnya. Sebagai contoh,
: <math>\begin{align}
\tan^{-1}(x)&=\int\frac{dx}{1+x^2}\\
&=\int\frac{dx}{1-(-x^2)}\\
&=\int\left(1 + \left(-x^2\right) + \left(-x^2\right)^2 + \left(-x^2\right)^3+\cdots\right)dx\\
&=\int\left(1-x^2+x^4-x^6+\cdots\right)dx\\
&=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots\\
&=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}.
\end{align}</math>
Dengan mendiferensiasikan deret geometrik, salah satunya mendapatkan varian<ref>Worl</ref>
: <math> \sum^{\infty}_{n=1}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\quad\text{ untuk }|x| < 1</math>.
Diperoleh serupaː
: <math>\sum^{\infty}_{n=2} n (n-1) x^{n-2}=\frac{2}{(1-x)^3}\quad\text{ untuk }|x| < 1</math> , dan
: <math>\sum^{\infty}_{n=3} n (n-1)(n-2) x^{n-3}=\frac{6}{(1-x)^4} \quad\text{ untuk }|x| < 1</math>.
== Lihat pula ==
* [[0.999...]] – Perpanjang desimal alternatif dari bilangan 1
* [[Asimtot]] – Dalam geometri, limit dari tangen pada sebuah titik yang cenderung ke takhingga
* [[Barisan geometri]]k
* [[Deret (matematika)]] – Penjumlahan takhingga
* [[Deret geometrik divergen]]
* [[Deret Neumann]]
* [[Fungsi hipergeometrik umum]]
* [[Uji akar]]
* [[Uji rasio]]
=== Deret geometrik spesifik ===
* [[Deret Grandi]]ː 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
* [[1 + 2 + 4 + 8 + ...|1 + 2 + 4 + 8 + ⋯]]
* [[1 − 2 + 4 − 8 + ⋯]]
* [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯]]
* [[1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ⋯]]
* [[1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯]]
* Sebuah deret geometrik adalah sebuah deret satuan (deret penjumlahan konvergen dengan 1) jika dan hanya jika <math>\left| r \right| < 1</math> dan <math>a + r = 1</math> (setara dengan bentuk yang lebih dikenal <math display="inline">S =\frac{1}{a - r} = 1</math> ketika <math>\left| r \right| < 1</math>). Karena itu, sebuah [[deret selang-seling]] juga sebuah deret satuan <math>-1 < r < 0 </math> dan <math>a + r = 1</math> (sebagai contoh, skala <math>a = 1.7</math> dan rasio <math>r = -0.7</math>).
* Suku dari sebuah deret geometrik juga suku dari sebuah [[Bilangan Fibonacci|urutan Fibonacci]] yang digeneralisasi (<math>F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}</math> tetapi tanpa membutuhkan <math>F_0 = 0</math> dan <math>F_1 = 1</math>) ketika sebuah rasio deret geometrik <math>r </math><math>r </math> sama dengan [[rasio emas]] (yaitu rasio <math display="inline">r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}</math>).
* Satu-satu deret geometrik yang adalah sebuah deret satuan dan juga memiliki suku-suku dari sebuah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] yang digeneralisasi memiliki [[rasio emas]] sebagai skalanya <math>a </math> dan konjugasinya [[rasio emas]] sebagai rasionya <math>r </math> (yaitu <math display="inline">a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> dan <math display="inline">r = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math>). Itu adalah sebuah deret satuan karena <math>a + r = 1</math> dan <math>\left| r \right| < 1</math>, itu adalah sebuah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] yang digeneralisasi karena <math display="inline">1 + r = r^2</math>, dan itu adalah sebuah [[deret selang-seling]] karena <math>r < 0</math>.
== Referensi ==
{{Reflist}} {{refbegin}}
* Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.
* Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278–279, 1985.
* Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 8, 1987.
* Courant, R. and Robbins, H. "The Geometric Progression." §1.2.3 in What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 13–14, 1996.
* Pappas, T. "Perimeter, Area & the Infinite Series." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 134–135, 1989.
* James Stewart (2002). ''Calculus'', 5th ed., Brooks Cole. {{ISBN|978-0-534-39339-7}}
* Larson, Hostetler, and Edwards (2005). ''Calculus with Analytic Geometry'', 8th ed., Houghton Mifflin Company. {{ISBN|978-0-618-50298-1}}
* Roger B. Nelsen (1997). ''Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking'', The Mathematical Association of America. {{ISBN|978-0-88385-700-7}}
* {{cite journal|author=Andrews, George E.|year=1998|title=The geometric series in calculus|journal=The American Mathematical Monthly|publisher=Mathematical Association of America|volume=105|issue=1|pages=36–40|doi=10.2307/2589524|jstor=2589524}}
===History and philosophy===
* C. H. Edwards, Jr. (1994). ''The Historical Development of the Calculus'', 3rd ed., Springer. {{ISBN|978-0-387-94313-8}}.
* {{cite journal|author=Swain, Gordon and Thomas Dence|date=April 1998|title=Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited|journal=Mathematics Magazine|volume=71|issue=2|pages=123–30|doi=10.2307/2691014|jstor=2691014}}
* [[Eli Maor]] (1991). ''To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite'', Princeton University Press. {{ISBN|978-0-691-02511-7}}
* Morr Lazerowitz (2000). ''The Structure of Metaphysics (International Library of Philosophy)'', Routledge. {{ISBN|978-0-415-22526-7}}
===Economics===
* Carl P. Simon and Lawrence Blume (1994). ''Mathematics for Economists'', W. W. Norton & Company. {{ISBN|978-0-393-95733-4}}
* Mike Rosser (2003). ''Basic Mathematics for Economists'', 2nd ed., Routledge. {{ISBN|978-0-415-26784-7}}
===Biology===
* Edward Batschelet (1992). ''Introduction to Mathematics for Life Scientists'', 3rd ed., Springer. {{ISBN|978-0-387-09648-3}}
* Richard F. Burton (1998). ''Biology by Numbers: An Encouragement to Quantitative Thinking'', Cambridge University Press. {{ISBN|978-0-521-57698-7}}
===Computer science===
* John Rast Hubbard (2000). ''Schaum's Outline of Theory and Problems of Data Structures With Java'', McGraw-Hill. {{ISBN|978-0-07-137870-3}}
{{refend}}
== Pranala luar ==
* "Geometric progreDssion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.
* Geometric Series at PlanetMath.org.
* {{Cite web|last=Peppard|first=Kim|title=College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series|url=http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/col_algebra/col_alg_tut54d_geom.htm|publisher=West Texas A&M University}}
* {{Cite web|last=Casselman|first=Bill|title=A Geometric Interpretation of the Geometric Series|url=http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|format=Applet|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929083805/http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|archive-date=2007-09-29|url-status=dead}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ "Geometric Series"] by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
{{Topik kalkulus}}
[[Kategori:Deret geometrik]]
[[Kategori:Rasionalis]]
[[Kategori:Artikel yang memuat pembuktian]]
| |||