Deret geometrik: Perbedaan antara revisi

[[Berkas:Geometric_squares2r.png|ka|jmpl|Deret geometri lain (skala umum <math display="inline">a = \frac{4}{9}</math> dan rasio umum <math display="inline">r = \frac{1}{9}</math>) ditunjukkan sebagai luas persegi berwarna ungu. Total luas berwarna ungu adalah <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\left(\frac{4}{9}\right)}{1 - \left(\frac{1}{9}\right)} = \frac{1}{2}</math>, yang bisa dikonfirmasi dengan mengamati bahwa di luar persegi dipartisi menjadi sebuah jumlah tak terhingga luas berbentuk L masing-masing empat persegi berwarna ungu dan empat persegi berwarna kuning, yang setengah berwarna ungu.]]

Dalam [[matematika]], sebuah '''deret geometrik''' adalah sebuah [[Deret (matematika)|deret]] dengan sebuah rasio konstanta antara [[Istilah (matematika)|suku]] yang berurutan. Sebagai contoh, [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯|deret]]

 

=== Rumus ===

 

<math display="inline">A_0,A_1,A_2,\dots,A_i,\dots</math> masing-masing. Setiap luas persegi bertindih <math display="inline">A_i</math> memiliki luas berbentuk L tak bertindih <math display="inline">L_i = A_i - A_{i + 1} = A_i \cdot (1 - r)</math>. Oleh karena itu, <math display="inline">\frac{A_i}{L_i} = \frac{1}{1 - r}</math> atau <math display="inline">A_i = \frac{L_i}{1 - r}</math>. Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>. Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah <math display="inline">1 </math> (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math> juga harus <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>, di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r}</math>, di mana diturunkan untuk rentang <math display="inline">0 < r < 1</math> tetapi bisa diperpanjang hingga rentang <math display="inline">-1 < r < 1</math> dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap <math display="inline">r</math> (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil <math display="inline">r</math> (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r^2} + \frac{ar}{1 - r^2} = \frac{a \cdot (1 + r)}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{a}{1 - r}</math>.]]

 

dimana <math>a</math> adalah suku pertama dari deret, dan <math>r</math> adalah rasio. Salah satunya bisa menurunkan rumus untuk penjumlahan, <math>s</math>, sebagai berikutː

 

Karena <math>n</math> mendekati tak terhingga, nliai absolut <math>r</math> harus lebih kecil dari satu untuk deret ke konvergen. Penjumlahannya kemudian menjadi

 

Ketika <math>a = 1</math>, ini bisa disederhanakan menjadi

 

=== Bukti kekonvergenan ===

 

: <math>\begin{align}

Karena

 

 

Kekonvergenan dari deret geometrik bisa juga didemonstrasikan dengan menulis deret sebagai sebuah [[deret teleskopik]] yang setara,

 

Perhatikan bahwa

 

Dengan demikian,

: <math>0.9999\ldots \;=\; \frac{9}{9} \;=\; 1</math>.

 

 

=== Kuadratur Archimedes dari parabola ===

: <math>\frac{1}{1 -r}\;=\;\frac{1}{1 -\frac{1}{4}}\;=\;\frac{4}{3}</math>.

 

 

=== Geometri fraktal ===

[[Berkas:Koch_Snowflake_Triangles.png|jmpl|Interior dari [[kepingan salju Koch]] adalah sebuah gabungan dari banyaknya segitiga tak terhingga.]]

 

Sebagai contoh, luas dalam kepingan salju Koch bisa dijelaskan sebagai gabungan dari banyaknya [[segitiga sama sisi]] tak terhingga (lihat gambar). Setia sisi dari segitiga berwarna hijau tepatnya 1/3 ukuran dari sebuah sisi dari segitiga besar berwarna biru, dan karena itu tepat 1/9 luas. Demikian pula, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/9 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya. Mengambil segitiga berwarna biru sebagai sebuah satuan luas, total area dari kepingan salju adalah

Kekonvergenan dari sebuah deret geometrik mengungkapkan bahwa sebuah penjumlahan dari sebuah bilangan takhingga yang dijumlahkan memang bisa terbatas, dan juga memungkinkan salah satu untuk menyelesaikan banyaknya paradonks [[Zeno dari Elea|Zeno]].. Sebagai contoh, paradoks dikotomi Zeno menyatakan bahwa gerakan itu tidak mungkin, sebagai salah satu bisa dibagi setiap lintasan yang hingga menjadi sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah dimana setiap langkah diambil menjadi setengah jarak yang tersisa. Kesalaan Zeno ada dalam asumsi bahwa jumlah dari sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah terhingga tidak bisa terhingga. Ini tentu saja tidak benar, sebagaimana dibuktikan oleh kekonvergenan dari deret geometrik dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2} </math>.

 

 

=== Euklid ===

* [[0.999...]] – Perpanjang desimal alternatif dari bilangan 1

* [[Asimtot]] – Dalam geometri, limit dari tangen pada sebuah titik yang cenderung ke takhingga

* [[Deret (matematika)]] – Penjumlahan takhingga

* [[Deret geometrik divergen]]

* [[1 + 2 + 4 + 8 + ...|1 + 2 + 4 + 8 + ⋯]]

* [[1 − 2 + 4 − 8 + ⋯]]

* Suku dari sebuah deret geometrik juga suku dari sebuah [[Bilangan Fibonacci|urutan Fibonacci]] yang digeneralisasi (<math>F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}</math> tetapi tanpa membutuhkan <math>F_0 = 0</math> dan <math>F_1 = 1</math>) ketika sebuah rasio deret geometrik <math>r </math><math>r </math> sama dengan [[rasio emas]] (yaitu rasio <math display="inline">r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}</math>).

* Satu-satu deret geometrik yang adalah sebuah deret satuan dan juga memiliki suku-suku dari sebuah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] yang digeneralisasi memiliki [[rasio emas]] sebagai skalanya <math>a </math> dan konjugasinya [[rasio emas]] sebagai rasionya <math>r </math> (yaitu <math display="inline">a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> dan <math display="inline">r = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math>). Itu adalah sebuah deret satuan karena <math>a + r = 1</math> dan <math>\left| r \right| < 1</math>, itu adalah sebuah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] yang digeneralisasi karena <math display="inline">1 + r = r^2</math>, dan itu adalah sebuah [[deret selang-seling]] karena <math>r < 0</math>.

 

== Referensi ==

* Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p.&nbsp;10, 1972.

* Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp.&nbsp;278–279, 1985.

{{refend}}

 

 

* "Geometric progreDssion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

* {{Cite web|last=Casselman|first=Bill|title=A Geometric Interpretation of the Geometric Series|url=http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|format=Applet|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929083805/http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|archive-date=2007-09-29|url-status=dead}}

* [http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ "Geometric Series"] by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[[Kategori:Deret geometrik]]

[[Kategori:Rasionalis]]