Deret geometrik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k memperbaiki kesalahan tampilan rumus matematika di →Bukti kekonvergenan |
Tag: pranala ke halaman disambiguasi |
||
(10 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 77:
=== Rumus ===
[[Berkas:Geometric_squares3.png|jmpl|Turunan geometrik berikut dari <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r}</math> mulai dengan mewakili suku-suku dari deret geometrik <math display="inline">1, r, r^2, \dots, r^i, \dots</math> sebagai luas persegi bertindih,
<math display="inline">A_0,A_1,A_2,\dots,A_i,\dots</math> masing-masing. Setiap luas persegi bertindih <math display="inline">A_i</math> memiliki luas berbentuk L tak bertindih <math display="inline">L_i = A_i - A_{i + 1} = A_i \cdot (1 - r)</math>. Oleh karena itu, <math display="inline">\frac{A_i}{L_i} = \frac{1}{1 - r}</math> atau <math display="inline">A_i = \frac{L_i}{1 - r}</math>. Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>. Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah <math display="inline">1 </math> (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math> juga harus <math display="inline">\frac{1}{1 - r}</math>, di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r}</math>, di mana diturunkan untuk rentang <math display="inline">0 < r < 1</math> tetapi bisa diperpanjang hingga rentang <math display="inline">-1 < r < 1</math> dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap <math display="inline">r</math> (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil <math display="inline">r</math> (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah <math display="inline">S = \frac{a}{1 - r^2} + \frac{ar}{1 - r^2} = \frac{a \cdot (1 + r)}{(1 - r)(1 + r)} = \frac{a}{1 - r}</math>.]]
Baris 88:
dimana <math>a</math> adalah suku pertama dari deret, dan <math>r</math> adalah rasio. Salah satunya bisa menurunkan rumus untuk penjumlahan, <math>s</math>, sebagai berikutː
Karena <math>n</math> mendekati tak terhingga, nliai absolut <math>r</math> harus lebih kecil dari satu untuk deret ke konvergen. Penjumlahannya kemudian menjadi
Ketika <math>a = 1</math>, ini bisa disederhanakan menjadi
Baris 102 ⟶ 100:
=== Bukti kekonvergenan ===
Kita bisa membuktikan bahwa deret geometrik konvergen menggunakan rumus penjumlahan untuk sebuuah [[
: <math>\begin{align}
Baris 124 ⟶ 122:
Perhatikan bahwa
Dengan demikian,
Baris 175 ⟶ 172:
: <math>0.9999\ldots \;=\; \frac{9}{9} \;=\; 1</math>.
Artinya, sebuah desimal berulang dengan panjang berulang <math>n </math> sama dengan hasil bagi dari bagian berulang (sebagai sebuah [[bilangan bulat]]) dan <math>10^n - 1</math>.
=== Kuadratur Archimedes dari parabola ===
Baris 201 ⟶ 198:
: <math>\frac{1}{1 -r}\;=\;\frac{1}{1 -\frac{1}{4}}\;=\;\frac{4}{3}</math>.
Perhitungan ini menggunakan [[metode
=== Geometri fraktal ===
[[Berkas:Koch_Snowflake_Triangles.png|jmpl|Interior dari [[kepingan salju Koch]] adalah sebuah gabungan dari banyaknya segitiga tak terhingga.]]
Dalam studi [[fraktal]], deret geometrik
Sebagai contoh, luas dalam kepingan salju Koch bisa dijelaskan sebagai gabungan dari banyaknya [[segitiga sama sisi]] tak terhingga (lihat gambar). Setia sisi dari segitiga berwarna hijau tepatnya 1/3 ukuran dari sebuah sisi dari segitiga besar berwarna biru, dan karena itu tepat 1/9 luas. Demikian pula, setiap segitiga berwarna kuning memiliki 1/9 luas dari sebuah segitiga berwarna hijau, dan seterusnya. Mengambil segitiga berwarna biru sebagai sebuah satuan luas, total area dari kepingan salju adalah
Baris 220 ⟶ 217:
Kekonvergenan dari sebuah deret geometrik mengungkapkan bahwa sebuah penjumlahan dari sebuah bilangan takhingga yang dijumlahkan memang bisa terbatas, dan juga memungkinkan salah satu untuk menyelesaikan banyaknya paradonks [[Zeno dari Elea|Zeno]].. Sebagai contoh, paradoks dikotomi Zeno menyatakan bahwa gerakan itu tidak mungkin, sebagai salah satu bisa dibagi setiap lintasan yang hingga menjadi sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah dimana setiap langkah diambil menjadi setengah jarak yang tersisa. Kesalaan Zeno ada dalam asumsi bahwa jumlah dari sebuah bilangan takhingga dari langkah-langkah terhingga tidak bisa terhingga. Ini tentu saja tidak benar, sebagaimana dibuktikan oleh kekonvergenan dari deret geometrik dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2} </math>.
Ini, bagaimanpun, bukanlah resolusi lengkap untuk paradoks dikotomi Zeno. Tegasnya, kecuali kita memungkinkan untuk waktu bergerak mundur, dimana ukuran langkah mulia dengan <math display="inline">r = \frac{1}{2} </math> dan mendekati nol sebagai limit, deret takhingga ini jika tidak harus dimulai dengan sebuah langkah sangat kecil. Memperlakukan [[infinitesimal]] dalam cara ini biasanya bukan sesuatu yang didefinisikan secara matematis dengan ketat, diluar [[Kalkulus nonstandar|Kalkulus Nonstandar]]. Jadi, meskipun benar bahwa di seluruh penjumlahan takhingga menghasilkan sebuah bilangan terhingga, kita tidak dapat menciptakan sebuah pengurutan sederhana dari suku-suku ketika dimulai dari sebuah infintesimal, dan karena itu kita tidak cukup emenggambarkan langkah pertma dari setiap aksi yang diberikan.
=== Euklid ===
Baris 276 ⟶ 273:
* [[0.999...]] – Perpanjang desimal alternatif dari bilangan 1
* [[Asimtot]] – Dalam geometri, limit dari tangen pada sebuah titik yang cenderung ke takhingga
* [[Barisan geometri
* [[Deret (matematika)]] – Penjumlahan takhingga
* [[Deret geometrik divergen]]
Baris 292 ⟶ 289:
* [[1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + ⋯]]
* [[1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯]]
* Sebuah deret geometrik adalah sebuah deret satuan (deret penjumlahan konvergen
* Suku dari sebuah deret geometrik juga suku dari sebuah [[Bilangan Fibonacci|urutan Fibonacci]] yang digeneralisasi (<math>F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2}</math> tetapi tanpa membutuhkan <math>F_0 = 0</math> dan <math>F_1 = 1</math>) ketika sebuah rasio deret geometrik <math>r </math><math>r </math> sama dengan [[rasio emas]] (yaitu rasio <math display="inline">r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}</math>).
* Satu-satu deret geometrik yang adalah sebuah deret satuan dan juga memiliki suku-suku dari sebuah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] yang digeneralisasi memiliki [[rasio emas]] sebagai skalanya <math>a </math> dan konjugasinya [[rasio emas]] sebagai rasionya <math>r </math> (yaitu <math display="inline">a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> dan <math display="inline">r = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}</math>). Itu adalah sebuah deret satuan karena <math>a + r = 1</math> dan <math>\left| r \right| < 1</math>, itu adalah sebuah [[Bilangan Fibonacci|barisan Fibonacci]] yang digeneralisasi karena <math display="inline">1 + r = r^2</math>, dan itu adalah sebuah [[deret selang-seling]] karena <math>r < 0</math>.
== Referensi ==
{{Reflist}}
* Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 10, 1972.
* Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 278–279, 1985.
Baris 326 ⟶ 323:
{{refend}}
==
* "Geometric progreDssion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Baris 334 ⟶ 331:
* {{Cite web|last=Casselman|first=Bill|title=A Geometric Interpretation of the Geometric Series|url=http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|format=Applet|archive-url=https://web.archive.org/web/20070929083805/http://merganser.math.gvsu.edu/calculus/summation/geometric.html|archive-date=2007-09-29|url-status=dead}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/GeometricSeries/ "Geometric Series"] by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
{{Topik kalkulus}}
[[Kategori:Deret geometrik]]
[[Kategori:Rasionalis]]
[[Kategori:Artikel
|